Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (исправлено)

Поскольку h = u + Pv, dh = TdS + vdP, то

Это соотношение характеризует зависимость h от Р в изотерми- ческом процессе.

Аналогично

Полученные уравнения, особенно (3.3.2) и (3.3.6) имеют большое значение для термодинамических исследований свойств веществ. Уравнения (3.3.2) и (3.3.6) позволяют, используя данные о термических свойствах вещества (v = f (T, P)), находить калорические вели- чины u, h, а также решить обратную задачу – по известным u и h

вычислять термические свойства вещества. Интегрируя уравнение (3.3.6), получаем

здесь h(P , T) – энтальпия вещества в некотором начальном состо-

0

янии, имеющем ту же температуру Т, но другое Р . Аналогично для

0

(3.3.2)

51

Зная данные о термических свойствах, можно вычислить интегралы в (3.3.9) и (3.3.10). В обоих случаях интегрирование ведется вдоль изотермы.

Из уравнения du = TdS – Pdv получаем, что

3.4. Теплоемкость

Для изобарной теплоемкости

Поскольку при P=const TdS = dh, то

§ wh ·

CP ¨ ¸ . (3.4.2)

© wT ¹P

Аналогично для изохорной теплоемкости

52

Аппарат дифференциальных уравнений термодинамики позволяет установить ряд важных соотношений для теплоемкостей.

Дифференцируя соотношение h = u + Pv по Т при р= const, полу- чаем

Используя выражение (3.3.2), получаем

Для идеального газа

Ñ – C = R.

P v

Это выражение называется уравнением Майера.

53

Используя уравнение Максвелла (3.2.5), получаем

Аналогично

Дифференцируя уравнение (3.3.6) по Т при р=const, получим

Аналогичным образом из уравнения (3.3.2) получаем уравнение для зависимости теплоемкости Cv от объема

54

Деля (3.4.7) на (3.4.8), получаем

Комбинируя это уравнение с (3.4.6), нетрудно получить следующие два соотношения:

55

Глава 4

ОБРАТИМОСТЬ

И ПРОИЗВОДСТВО РАБОТЫ

Будем рассматривать изолированную систему, которая способна совершать работу только в том случае, если она находится в неравновесном состоянии, т.е. чтобы давления или температуры различ- ных тел, входящих в эту систему, не были абсолютно одинаковы. Если в системе имеются тела с различными давлениями, то отсутствует механическое равновесие; если же есть тела с различными температурами, в ней отсутствует термическое (тепловое) равновесие. По мере производства работы изолированная система будет приближаться к равновесному состоянию.

Примеры

1). Имеется изолированная система, состоящая из окружающей среды, Т и Р которой практически остаются неизменными, и сжатого воздуха с той же температурой Т, но более высоким давлением

Ð>P (ðèñ. 4.1).

ñ.â.

Ðèñ. 4.1

Такая система находится в термически равновесном, но в механически неравновесном состоянии. Подобная система может совершать работу, например, перемещая поршень в цилиндре до тех пор,

пока давление не выровняется Р =P, т.е. пока система не придет в

ñ.â

механическое равновесие.

2). Имеется изолированная система: холодный источник (ХИ), горячий источник (ГИ), рабочее тело (РТ), т.е. имеем дело с терми- чески неравновесной системой, которая может совершать работу,

56

например, многократный цикл Карно. В результате совершается работа и одновременно часть тепла от ГИ передается ХИ, т.е. температура ГИ понижается, а ХИ повышается (если нет предположения о бесконечно большой величине источников). Таким образом, с течением времени Т = Т , т.е. система достигнет термического равновесия, и дальнейшее производство работы станет невозможным.

Вывод: производство работы изолированной системой возможно

âпроцессе перехода системы из неравновесного состояния в равновесное, причем величина работы зависит от характера процесса перехода системы к равновесному состоянию.

Однако с точки зрения величины произведенной работы далеко не безразлично, каким путем система переходит из неравновесного

âравновесное состояние.

3). Имеется термически неравновесная система из ГИ, ХИ и РТ. Через некоторое время система будет термически равновесной, но

L=0. Такой процесс должен происходить при конечной разности температур, т.е. необратимо (рис. 4.2, а). Максимальная работа L при переходе системы из неравновесного в равновесное состояние может быть получена в результате неоднократного совершения РТ

Ðèñ. 4.2

4). Имеется механически неравновесная изолированная система, состоящая из среды и сжатого воздуха (рис. 4.3).

Ðèñ. 4.3

57

Ясно, что при прочих равных условиях полученная работа будет тем больше, чем меньше трение между поршнем и стенками цилиндра. Но трение есть типичный необратимый процесс. Наибольшая работа была бы получена, если бы трение отсутствовало вовсе, т.е. в полностью обратимом процессе.

Таким образом, мы пришли к двум важным выводам.

1.Изолированная система способна к производству работы только в том случае, если она находится в неравновесном состоянии. После достижения равновесного состояния работоспособность системы оказывается исчерпанной.

2.Для получения наибольшей работы при переходе системы из неравновесного состояния в равновесное необходимо, чтобы все процессы, протекающие в системе, были полностью обратимы.

Важная задача – численное определение максимально полезной работы, которую может совершить система, или иначе – определение работоспособности системы (под полезной работой понимается та часть произведенной работы, которая может быть использована по нашему усмотрению).

Представим себе, что имеется изолированная система, состоящая из окружающей среды и некоторой совокупности тел, имеющих отличные от среды Р и Т. Эту совокупность тел будем именовать источником работы (ИР).

Определим понятия полезной работы, максимальной работы и максимально полезной работы.

Обозначим через Р и Т параметры среды, которые остаются не-

00

изменными (т.е. не зависят от того, сообщается тепло среде или отбирается).

Пусть Р, Т – начальные параметры ИР; Р , Т – конечные пара-

0 0

метры ИР (равные параметрам среды).

Поскольку Р ζ Ð è Ò ζ Т , то изолированная система – неравно-

00

весная, а следовательно, она способна совершить работу.

Пусть U , V – параметры ИР в начальном состоянии; U , V –

1 1 2 2

параметры ИР в конечном состоянии (в равновесном в отношении

Суммарная внутренняя энергия системы в начальном неравновес-

ном состоянии

58

а в конечном

U χχ U2 U02 .

ñèñò

Поскольку система замкнута, то работа совершается только за

счет уменьшения ее внутренней энергии

Но между ИР и средой может существовать теплообмен, а, кроме того, ИР может совершать работу над средой (против давления

среды).

Пусть Q – тепло, переданное ИР среде; L – работа, совершен-

L U1 U2 Q0 P0 V2 V1 .

Тепло, переданное от источника работы к среде, можно определить по приращению энтропии среды

Q0 T0 S02 S01 ,

а следовательно,

L U1 U2 T0 S02 S01 P0 V2 V1 . (**)

Это уравнение дает значение полезной работы, произведенной системой при переходе из неравновесного состояния в равновесное, т.к.

59

довательно, не может быть использована по нашему усмотрению. Однако уравнение (**) не дает величину максимальной полезной работы, т.к. не обусловливает обязательной обратимости всех про-

текающих в системе процессов.

Для нахождения максимальной полезной работы (работоспособности) изолированной системы воспользуемся тем положением, что при протекании обратимых процессов энтропия системы не изменяется.

Отсюда следует, с учетом аддитивности энтропии, что если энт-

ропия источника работы уменьшилась на (S – S ), то энтропия сре-

1 2

ды должна возрасти на ту же величину, т.е.

60