Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (исправлено)

где L – работа, совершаемая над потоком, поэтому она считается

1

отрицательной.

Работа, которую совершает поток в сечении 2, подсчитывается аналогичным образом:

При протекании газа (жидкости) совершается работа проталкивания:

Если скорость потока в сечении 2 отличается от скорости в се- чении 1, то для изменения кинетической энергии потока ему должна быть сообщена (или отведена) энергия

Если сечения 1 и 2 расположены на разной высоте, то должна быть

затрачена работа по перемещению порции газа с высоты z на высо-

1

ту z , равная изменению потенциальной энергии газа:

2

Поток может совершать разные виды работы, например, вращать

колесо турбины и другие, т.е. совершать техническую работу L .

òåõí

Техническая работа может не только отбираться от потока, но и подводиться к нему, например, поток может нагнетаться центробежным насосом, перекачиваться электромагнитным насосом и т.д. Наконец, поток может совершать работу по преодолению сил трения на стен-

ках канала L .

òð

Таким образом, работа, которую совершает движущийся поток газа (жидкости), в общем случае записывается следующим образом:

Подставляя (1.5.5) в уравнение первого закона термодинамики

(1.4.1), получаем

21

Деля обе части уравнения (1.5.6) на G, получаем это же соотношение для единицы массы потока (т.е. в удельных массовых вели- чинах):

В дифференциальной форме это уравнение запишется в виде

è

dq dh wdw gdz dl dl . (1.5.10)

òåõí òð

Уравнения (1.5.9) и (1.5.10) представляют собой запись первого закона термодинамики для потока.

Сравним теперь дифференциальное уравнение первого закона термодинамики, записанное в самом общем виде для произвольной системы

с уравнением (1.5.8).

Следует иметь в виду, что уравнение (*) написано для случая, когда единственным видом работы является работа расширения.

В случае течения с трением работа потока полностью превращается в тепло, воспринимаемое потоком

тогда уравнения (*) и (1.5.8) можно переписать в виде

22

В уравнении (1.5.11) величина dq сохраняется, т.к. она является

òð

одной из составных частей работы расширения Pdv.

По существу уравнения (*) и (1.5.8) идентичны – они выражают первый закон термодинамики, поэтому можно приравнять правые ча-

сти этих уравнений:

т.е. работа, расходуемая на проталкивание потока, на изменение кинетической энергии потока, на изменение потенциальной энергии потока, на преодоление сил трения, и техническая работа совершаются за счет работы расширения газа (жидкости), движущегося в потоке.

Поскольку

d Pv Pdv vdP,

Эти важные соотношения будут использованы нами при изучении процессов течения газов и жидкостей.

23

Глава 2

ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1. Выражение для теплоты в виде произведения

двух множителей

Второй закон термодинамики устанавливает отличие теплового движения от других видов движения. Теплота и работа являются различными формами передачи энергии. Тепловое равновесие (т.е. отсутствие передачи тепла) имеет место при равенстве температур тел, которые могут обмениваться теплом.

Математическое выражение первого закона термодинамики для элементарного обратимого процесса можно записать в виде

Для простого тела, состояние которого определяется двумя параметрами, например, T, V,

è

P P t,V .

Подстановка этих значений в (2.1.1) дает после упрощений

где М(t, V) и N(t, V) – функции от t и V.

Дифференциальный бином (а) не может быть полным дифференциалом, т.к. количество тепла, подведенное к телу в данном процессе, можно было бы найти интегрированием его в виде разности двух значений какой-то функции от параметров состояния, независимо от характера процесса, хотя в действительности тепло и работа процесса зависят от характера процесса. Но при двух независимых переменных дифференциальный бином можно превратить в полный дифференциал введением интегрирующего множителя (или делителя).

24

Пусть интегрирующим делителем для (а) будет некоторая функция Ω(t, V), тогда величина

будет полным дифференциалом, следовательно,

dQ Ω t,V dz t,V .

В этом выражении, как указывалось, независимыми переменными являются t и V. Но можно считать независимыми переменными t и z, т.к. интегрирующий делитель можно выразить через эти переменные. Действительно, если уравнение z = z(t,V) решить относительно V, то получится

V V t, z .

Подстановка значений V в выражение для Ω äàåò Ω=Ω(t, V) =

Ω[t, V(t, z) =Ω (t, z), поэтому окончательно можно считать, что

1

где независимыми переменными являются t и z.

2.2. Математическое выражение второго закона

термодинамики для обратимых процессов

Свойства множителей в правой части выражения

dQ Ω1 t, z dz

можно выяснить, если рассмотреть процессы в системе из двух тел. Пусть два простых тела I и II разделены перегородкой, хорошо проводящей тепло (например, тонким листом металла), но не имеют теплообмена с окружающей средой, т.е. находятся в «адиабатической оболочке» (рис. 2.2.1).

Перемещая поршни, можно заставить тела I и II сжиматься и расширяться. Возможен также переход тепла от одного тела к дру-

25

Выражение (2.2.1) является математическим выражением второго закона термодинамики для обратимых процессов. Энтропия тела

S была введена как некоторая функция от переменной z, S=Μ(z), где z= z (t, V), поэтому величина энтропии может быть выражена в виде функции параметров состояния t и V и рассматриваться как параметр состояния. Это означает, что дифференциал энтропии является полным дифференциалом. Абсолютная термодинамическая температура

T является, как ясно из (2.2.1), интегрирующим делителем выражения для тепла.

2.3.Вычисление абсолютной температуры

èэнтропии

Абсолютная термодинамическая температура T = f (t) представляет собой, как указывалось, одинаковую для всех тел функцию температуры. Для определения вида этой функции можно воспользоваться свойствами любого тела, в частности, идеального газа. При этом следует учесть, что абсолютная температура является интегрирующим делителем выражения для тепла в обратимых процессах

Для идеального газа, как известно, термическое уравнение состояния имеет вид Pv = RT , где Т = 273,15+t – определенная по свой-

ÃÃ

ÃÃ

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от темпера-

du

туры, поэтому T является функцией только температуры. Второе

Ã

слагаемое – функция только v. Значит, дифференциальный бином (а) в правой части может быть проинтегрирован, т.е. является полным

27

дифференциалом. Интегрирующим делителем выражения для тепла, как это показывает левая часть (а), является абсолютная газовая температура, которая идентична по свойствам абсолютной тер-

модинамической температуре Т = Т:

Ã

Ò = 273,15 + t.

Выражение (а) представляет собой дифференциал энтропии идеального газа

Если известна зависимость внутренней энергии идеального газа от температуры, то можно получить интеграл правой части

Sf (T,v).

Âобщем случае величина энтропии вычисляется интегрированием соотношения

dS dq . T

2.4. Тепловая TS-диаграмма

Аналогия в выражениях для работы dl = Pdv и тепла dq = TdS

позволяет применить для расчета тепла процесса такой же графи- ческий прием, как для расчета работы. Если известно состояние тела, т.е. известны два его параметра, например, P и v, то можно вычислить значения его абсолютной температуры Т и энтропии S. Это дает возможность изобразить состояние тела в SТ-координатах.

Применяя этот прием последовательно для всех промежуточных состояний рабочего тела в процессе 1-2 (рис. 2.4.1, а), получим изображение этого процесса в ТS-координатах I–II, как это показано на рис. 2.4.1, б).

Площадь a-b-bχ-aχ-a есть работа элементарного процесса, площадь А-В-Вχ-Àχ-А на ТS-диаграмме измеряет тепло этого же элементарного процесса.

28

v2

Работа процесса 1-2, равная l ³Pdv , определяется в Pv-коор-

v1

динатах площадью 1-2-2χ-1χ-1. Тепло процесса можно подсчитать как

S2

сумму теплот элементарных процессов q ³TdS – площадь I-II-IIχ

S1

-Iχ-I в ТS-диаграмме.

Работа, полученная в процессе, обусловлена расширением рабо- чего тела dv > 0. Аналогично, подвод тепла к рабочему телу сопровождается увеличением его энтропии (dS > 0); при отводе тепла энтропия тела уменьшается. На рис 2.4.2, а) в Pv-координатах прямыми, параллельными координатным осям, изображаются процессы Р = idem – изобарные, v = idem – изохорные. Линии, параллельные осям координат, изображают процессы Т = idem – изотермический, dq = 0,

S = idem – изоэнтропический или адиабатный на рис. 2.4.2, б).

29

2.5. Понятие об энтропии

Энтропией тела называется величина, изменение которой dS в

любом элементарном обратимом термодинамическом процессе равно отношению внешней теплоты dq, участвующей в данном процессе, к абсолютной температуре тела Т, т.е.

В термодинамике для практических расчетов имеют дело не с абсолютным значением энтропии, а лишь с ее изменениями.

Для идеальных газов принято производить отсчет величин энтропии от нормальных условий (температура – 0°С, давление – P = = 760 мм рт.ст. = 101325 Н/м2). Величина энтропии в этих условиях принимается равной нулю. S – функция состояния. Размерность эн-

ª Äæ º ª êÄæ º

тропии S ««¬ êã Ê »»¼, ««¬ êã Ê »»¼ .

2.6. Схема работы теплового двигателя

Непрерывное превращение тепла в работу происходит в тепловых двигателях. Рабочее тело в них совершает круговой процесс (цикл), который изображается на Pv-диаграмме замкнутой фигурой, например, 1-a-2-b-1 (рис. 2.6.1, а).

Если все процессы цикла перенести на ТS-диаграмму, то получится замкнутая фигура, например, А-II-В-I-А (рис. 2.6.1, б).

В процессах 1-а-2 (I-А-II на ТS-диаграмме) рабочее тело выдает работу, в процессах 2-b-1 (II-В-I на ТS-диаграмме) работа затра-

30