Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Конспекты лекций.doc
Скачиваний:
158
Добавлен:
07.02.2015
Размер:
2.87 Mб
Скачать

Раздел V. Приложения производной

§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [ab], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (аb)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (ab) найдется хотя бы одна точка c Î (ab), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [ab], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть 

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x Î [ab] .

Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку cx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(cx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда

f'(c)=0. Теорема доказана.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой ca < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox.

Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю.

Кроме того, отметим, что если внутри [ab] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным.

Пример. Функция непрерывна на [–1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но производнаяне обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [ab] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ab] найдется хотя бы одна точка ca<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'(c)(b – a).

Доказательство. Обозначим и рассмотрим вспомогательную функциюF(x) = f(x) – f(a) – k(x – a).

Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [ab] и напишем уравнение хорды АВ.

Заметим, что угловой коэффициент хорды и она проходит через точкуA(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение

y = f(a) + k(x – a).

Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. Поэтому F(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что F(x) непрерывна на [ab] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [ab] и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c Î (ab), что F'(c)=0. Но '(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) – k = 0.

Подставляя в это равенство значение k, получим

,

что и требовалось доказать.

Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [ab] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение для хордыAB, а f'(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [ab] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x Î (ab), то внутри отрезка [ab] найдется хотя бы одна точка c Î (ab), что .

Доказательство.Определим число . Заметим, чтоg(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d Î (ab)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию.

F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].

Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(ab) такое, что F'(c) = 0. Но

F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,

откуда.

Заметим, что теорему Коши нельзя  доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k.