Раздел XII. Ряды

§ 1.Числовые ряды: основные понятия

Пусть задана последовательность чисел:

Опр. 1. Выражение u₁+u₂+…+u_n= называется числовым рядом; числа u₁+u₂+…+u_n называются членами ряда; число u_n называется общим членом ряда.

Опр. 2. Сумма п первых членов ряда S_n= u₁+u₂+…+u_n называется п-ой частичной суммой ряда.

Опр. 3. Если существует конечный предел , то числоS называют суммой ряда , а сам ряд называютсходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что рядрасходящийся.

Рассмотрим ряд .Это сумма геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Если , прогрессия называется убывающей. Сумму первых п членов этой прогрессии находят по формуле .Если , тои. Значит, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если, тои прогрессия расходится.

Опр. 4. Если числовой ряд сходится, то разность R_n между его суммой S и частичной суммой S_n называется п-м остатком ряда, то есть R_n=S-S_n.

Замечание. Остаток ряда R_n является той погрешностью, которая получится, если вместо S взять S_n. Поскольку , то, взяв достаточно много первых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой точностью.

Свойства рядов:

1. Если ряды исходятся и их суммыU и V, то ряд также сходится и его сумма равна U V.

2. Если ряд сходится и его сумма равнаS, то ряд , гдеА=const, также сходится и его сумма равна АS.

3. Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет.

§ 2. Признаки сходимости числовых рядов

Теорема (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходящийся, то предел его общего члена равен нулю.

Следствие. Если , то рядрасходящийся.

Замечание. Условие является необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, то есть выполнение этого условия не гарантирует сходимости ряда.

Первый признак сравнения. Пусть члены рядов иудовлетворяют условиюп=1,2,3,… . Тогда, если ряд сходящийся, то сходящийся и ряд, а если рядрасходящийся, то расходящийся и ряд.

Второй признак сравнения. Пусть члены рядов иположительны, причём существует конечный предел. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Сравнивать ряды удобно с рядами и , сходимость которых известна.

Ряд является суммой бесконечной геометрической прогрессии. Он сходится при (когда прогрессия убывающая) и расходится при.

Ряд называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится прии расходится при.

Признак Даламбера. Если для членов ряда с положительными членамисуществует предел, то ряд будет сходящимся прии расходящимся при.

Радиальный признак Коши. Если для членов ряда с положительными членамисуществует предел, то ряд будет сходящимся прии расходящимся при.

Интегральный признак Коши. Если , где– положительная невозрастающая непрерывная функция, то ряди интегралсходятся или расходятся одновременно.

§ 3. Знакочередующиеся ряды

Опр. 1. Знакочередующимися называют ряды, в которых знаки членов строго чередуются (1), где.

Признак Лейбница. Если для членов ряда (1) выполняется два условия:

1) ,

2) ,

то этот ряд сходится, его сумма положительна и не превышает .

Следствие. Если сумму S сходящегося ряда (1) заменить суммой S_n его п первых членов, то допущенная при этом погрешность не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов, то есть .

Это следствие широко используется при приближённых вычислениях.

Опр. 2. Знакопеременными называются ряды, у которых члены имеют разные знаки.

Опр. 3. Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Опр. 4. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходящийся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходящийся.

Теорема 1. Любой абсолютно сходящийся ряд сходится.

Теорема 2. Абсолютно сходящийся ряд остаётся абсолютно сходящимся при произвольной перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема 3. Члены условно сходящегося ряда всегда можно переставить так, чтобы его сумма равнялась наперёд заданному числу. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что новый ряд будет расходящимся.