§ 2. Основные свойства функций

Под основными свойствами функции у=f(x) будем понимать следующие шесть:

1) область определения D(f);

2) область значений E(f);

3) четность, нечетность;

4) монотонность;

5) ограниченность;

6) периодичность.

Четность и нечетность.

Орп. 1. Функция у=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция у=f(x) называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Поэтому для четной функции достаточно строить лишь правую половину графика (х≥0); левая половина его (х≤0) является зеркальным отражением правой относительно оси Оу.

Чтобы построить график нечетной функции, достаточно изобразить правую половину его (х≥0); левая половина графика (х≤0) получается в результате поворота правой на 180°.

Монотонность.

Опр. 2. Функция у=f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Более точно, функция у=f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку из неравенства х₂>х₁ следует неравенство f(х₂)>f(х₁) (f(х₂)<f(х₁)).

Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными функциями.

Если последнее неравенство является нестрогим, то говорят о нестрогом возрастании (нестрогом убывании) функции или просто о возрастании (убывании) функции.

Опр. 3. Функция у=f (х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку из неравенства х₂>х₁ следует нестрогое неравенство f(х₂)≥f(х₁) (f(х₂)≤f(х₁))

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Ограниченность.

Опр. 4. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М>0, что |f(x)|<М для любого хX.

Периодичность.

Опр. 5. Функция у=f(x) называется периодической, если существует положительное число Т такое, что f(х+Т)=f(x). Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду (основная область), а затем построить периодическое продолжение графика, повторяя график, нарисованный в основной области.

§ 3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Опр. 1. Последовательностью называется числовая функция f(n), заданная на множестве натуральных чисел N.

Если n — натуральное число, а а_n - значение последовательности в точке n, то говорят, что n называется номером числа а_n, а само число а_n называют общим или n-м членом последовательности. Для последовательности с общим членом а_n употребляются следующие обозначения: а_n, n=1, 2, …, или {a_n}.

Опр. 2. Последовательность {a_n} называется постоянной, если a_n=с для любого , гдес – некоторое действительное число ().

Опр. 3. Последовательность {a_n} называется ограниченной, если найдется число М такое, что |а_n|≤ М для всех .

Опр. 4. Последовательность {a_n} называется возрастающей (убывающей), если a_n≤a_n+1 (a_n≥a_n+1) для любого . Возрастающие и убывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями.

Опр. 5. Последовательность {a_n} называется строго возрастающей (строго убывающей), если a_n<a_n+1 (a_n>a_n+1) для любого . Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называютсястрого монотонными последовательностями.

Опр. 6. Число а называется пределом числовой последовательности {а_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое числоN (зависящее от ,N=N()), что для всех членов последовательности с номерамиn>N верно неравенство |а_n – а|<. Если это выполняется, то пишут

Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность {a_n}, где a_n = с = const для любого . Тогда она сходится и (предел постоянной равен постоянной).

Теорема 3. Последовательность {a_n} с общим членом a_n=сходится и

Теорема 4. Если |q| < 1 (), то последовательность {q_n} сходится и

Теорема 5. Предел суммы равен сумме пределов.

Теорема 6. Предел произведения равен произведению пределов.

Теорема 7. Постоянную величину можно выносить за знак предела.

Теорема 8. Предел отношения равен отношению пределов (знаменатели справа и слева от знака равенства не равны нулю).