§ 4. Предел функции

Пусть а– число. Функцияу=f(x)задана в некоторой проколотой окрестности точкиа, т. е. приТочкаане обязательно входит вD(f). Рассмотрим ряд последовательностей {х_n}, значения которых лежат в области определенияf(x)() и таких, чтоДля каждой такой последовательностих_nпостроим последовательностьу_n=f(x_n).

Если все последовательности {у_n} имеют пределы, эти пределы совпадают между собой и равны некоторомуb, то говорят, что функцияf(x)приx, стремящемся ка, имеет предел, равныйb. В противном случае говорят, что функцияf(x)приx, стремящемся ка, не имеет предела.

Опр.1.Числоbназываетсяпределом функцииf(x)в точкех=а, если для любой последовательностих_n, сходящейся ка(при любомn), последовательность соответствующих значений функцииу=f(x_n)сходится и ее предел равенb. Кратко пишутf(x)=b.

Пусть функция f(х) определена на бесконечном промежутке (а, ∞).

Опр.2.Числоbназываетсяпределом функцииf(x)прих→+∞, если для любой положительной бесконечно большой последовательностих_n, последовательность соответствующих значений функцииу=f(x_n)сходится и ее предел равенb. Кратко пишутf(x)=b.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

4. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции (постоянный множитель выносится за знак предела).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю). Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то отношение стремиться к бесконечности.

§ 5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Опр. 1.Функцияf(x)называетсябесконечно большой величинойприха, если абсолютное значение остается большим любого заранее данного положительного числаМ, всякий раз как абсолютное значение разностих-аменьше некоторого положительного числа(зависящего отМ).

Опр. 2.Бесконечно малой величинойназывается величина, предел которой равен нулю.

Основные свойства бесконечно малых величин:

1. Сумма двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина. В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю, есть бесконечно малая величина.

Из определений бесконечно большой и бесконечно малой величин следует, что если у– бесконечно большая величина, тобесконечно малая; еслиу –бесконечно малая величина, тобесконечно большая.

§ 6. Замечательные пределы

Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.

Выделяют неопределенности двух типов:

1. Арифметические неопределенности (0/0); (∞/∞); (∞ – ∞); (0 · ∞).

2. Степенно-показательные неопределенности (1^∞); (∞⁰); 0⁰.

Эти записи не являются операциями над числами и ∞, они представляют собой только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, но и так называемые замечательные пределы.

Первый замечательный предел, он раскрывает неопределенность (0/0).

Второй замечательный предел