- •Министерство образования и науки
- •Раздел I. Введение в математический анализ
- •§ 1. Функция одной независимой переменной
- •§ 2. Основные свойства функций
- •§ 3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
- •§ 4. Предел функции
- •§ 5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Эквивалентные функции
- •§ 8. Односторонние пределы
- •§ 9. Непрерывность функции
- •§ 10. Точки разрыва функции
- •Раздел IV. Производная и дифференциал
- •§ 1. Производная функции одной независимой переменной
- •§ 2. Правила дифференцирования функций
- •§ 3. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Раздел V. Приложения производной
- •§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •§ 3. Формула Тейлора
- •§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций
- •§ 5. Экстремумы функций
- •§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§ 7. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •§ 8. Асимптоты
- •§ 9. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Раздел VI. Комплексные числа
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Операции над комплексными числами в алгебраической форме
- •§ 3. Связь комплексных и действительных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента
- •§ 4. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- •§ 5. Решение квадратных уравнений, не имеющих действительных корней
- •Раздел VII. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •§ 2. Таблица основных интегралов
- •§ 3. Методы интегрирования
- •§ 4. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций
- •Раздел VIII. Определённый интеграл
- •§ 1. Определенный интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.
- •Свойства определённого интеграла.
- •§ 2. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§ 2. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§ 3. Несобственные интегралы
- •Раздел IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Определение функции двух и более переменных
- •§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •§ 3. Частные производные. Полный дифференциал
- •§ 4. Производная по направлению и градиент функции двух переменных
- •§ 5. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Раздел X. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Двойной интеграл
- •§ 2. Криволинейные интегралы
- •Раздел XI. Дифференциальные уравнения
- •§1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение и основные понятия
- •§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •§3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Раздел XII. Ряды
- •§ 1.Числовые ряды: основные понятия
- •§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
- •§ 3. Знакочередующиеся ряды
- •§ 4. Функциональные ряды
- •§ 5. Ряд Маклорена
- •§ 5. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •§ 7. Ряды Фурье
- •Раздел XIII. Теория функции комплексного переменного
- •§ 1. Функции комплексного переменного
- •§ 2. Дифференцируемость функции комплексной переменной.
§ 3. Связь комплексных и действительных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента
Классификация комплексных чисел:
Комплексные числа можно изображать на плоскости. Так число (1) изображается в прямоугольной системе координат точкой М(a;b).
Такая плоскость называется комплексной плоскостью переменной z, ось Ох называется действительной, а ось Оу – мнимой.
При у=0 комплексное число является одновременно действительным числом. Поэтому действительные числа являются отдельным случаем комплексных, они изображаются на оси Ох.
Комплексные числа z=iy, в которых х=0, называются чисто мнимыми; такие числа изображаются на оси Оу.
Опр. Полярные координаты точки М(х;у) на комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются
§ 4. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
Поскольку , то по формуле (1) имеем. Это выражение называетсятригонометрической формой комплексного числа z.
Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2:.
Здесь -общее значение аргумента, а -главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0;и отсчитывается от осиОх против часовой стрелки.
Если , то считают, чтоа- неопределён.
Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера . Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме, которая называетсяпоказательной формой комплексного числа z.
Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть ,. Тогда
=
Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности,
.
Последняя формула называется формулой Муавра.
При делении комплексных чисел имеем
.
Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа надо найти кореньп-й степени , то по определению корня и формуле Муавра имеем
.
Отсюда ,.
Поскольку r и положительные, то, где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому
.
Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2, поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.
§ 5. Решение квадратных уравнений, не имеющих действительных корней
Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения x2 = – 1, которое имеет два решения: x1 = i, x2 = – i.
Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида: ax2+bx+c=0 (a≠0), где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член. Для решения таких уравнений надо найти D=b2–4ac. Если
Значение дискриминанта D=b2–4ac |
Корни уравнения |
D>0 |
Уравнение имеет два различных действительных корня |
D=0 |
Уравнение имеет два равных действительных корня |
D<0 |
Уравнение имеет два различных мнимых корня |
Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений.