§ 4. Интегрирование рациональных дробей

п. 1. Интегрирование простейших рациональных функций (простых дробей)

Интеграл	Результат интегрирования
	где

где А, М, N, а, р, q – действительные числа, x²+px+q, не имеет действительных корней.

п. 2. Интегрирование правильных дробей

Опр. Рациональная дробь называетсяправильной, если степень многочлена меньше степени многочлена

Интегрирование правильных дробей основано на следующей теореме.

Теорема. Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.

Используется следующая формула:

*

где

действительные корни многочленакратностиа квадратные трехчлены не имеют действительных корней).

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты, надо:

1. дроби в правой части привести к общему знаменателю, которым, очевидно, будет

2. приравнять числители левой и правой частей. В результате получится равенство двух многочленов;

3. из равенства найти неизвестные коэффициенты;

4. подставив найденные коэффициенты в формулу (*) получим разложение правильной дроби на сумму простых дробей.

Т.о., интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простых дробей.

п. 3. Интегрирование рациональных функций

Пусть нам дана рациональная функция. Если она представляет собой правильную дробь, то интегрировать ее мы уже умеем. Если дробь неправильная, то выделив из нее целую часть (разделив числитель на знаменатель), сведем вычисление интеграла к вычислению правильной дроби.

§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций

п. 1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

При вычислении интегралов вида илиприn четном нужно представить его в виде раскрыть скобки и, если потребуется, повторно применить формулу

При вычислении интегралов вида применяются формулы:

При вычислении интегралов вида и(n – целое положительное число) для первого интеграла за вспомогательную функцию нужно принять и для второго

п. 2. Интегрирование некоторых иррациональных функций

При вычислении некоторых интегралов аргумент х необходимо заменить функцией новой переменной u: К таким подстановкам относятся тригонометрические подстановки:

1. в интегралах, содержащих ;

2. в интегралах, содержащих ;

3. или в интегралах, содержащих.

Раздел VIII. Определённый интеграл

§ 1. Определенный интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при. Требуется определить площадьS криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). Для решения этой задачи разделим произвольным образом основаниеAD фигуры точками x₀ = a, x₁ , x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 ,x_n]; символом будем обозначать длинуi-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём, вычислим произведение(это произведение равно площади прямоугольникаP_i с основанием [x_i-1 , x_i] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначимS _ступ: .S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены приn = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница междуS_ступ иS будет тоже стремиться к нулю, т.е.  .

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ ,x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим :; максимальную из длин отрезков обозначим. На каждом из отрезков[x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму.Сумманазывается интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных суммпри, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функцияf(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функцииf(x) по отрезку [a,b] и обозначается .Функцияf(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.  Кратко определение иногда записывают так:.В этом определении предполагается, чтоb> a. Для других случаев примем, тоже по определению:  Если b=a, то ; еслиb<a, то .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку. Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа, что для любогонайдётся такое число, что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству, то, независимо от выбора точеквыполняется неравенство. Требование непрерывностиf(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо[x_i-1 , x_i], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое, а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).Геометрический смысл определённого интеграла. Если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапецииABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).