
- •Министерство образования и науки
- •Раздел I. Введение в математический анализ
- •§ 1. Функция одной независимой переменной
- •§ 2. Основные свойства функций
- •§ 3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
- •§ 4. Предел функции
- •§ 5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Эквивалентные функции
- •§ 8. Односторонние пределы
- •§ 9. Непрерывность функции
- •§ 10. Точки разрыва функции
- •Раздел IV. Производная и дифференциал
- •§ 1. Производная функции одной независимой переменной
- •§ 2. Правила дифференцирования функций
- •§ 3. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Раздел V. Приложения производной
- •§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •§ 3. Формула Тейлора
- •§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций
- •§ 5. Экстремумы функций
- •§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§ 7. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •§ 8. Асимптоты
- •§ 9. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Раздел VI. Комплексные числа
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Операции над комплексными числами в алгебраической форме
- •§ 3. Связь комплексных и действительных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента
- •§ 4. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- •§ 5. Решение квадратных уравнений, не имеющих действительных корней
- •Раздел VII. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •§ 2. Таблица основных интегралов
- •§ 3. Методы интегрирования
- •§ 4. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций
- •Раздел VIII. Определённый интеграл
- •§ 1. Определенный интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.
- •Свойства определённого интеграла.
- •§ 2. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§ 2. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§ 3. Несобственные интегралы
- •Раздел IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Определение функции двух и более переменных
- •§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •§ 3. Частные производные. Полный дифференциал
- •§ 4. Производная по направлению и градиент функции двух переменных
- •§ 5. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Раздел X. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Двойной интеграл
- •§ 2. Криволинейные интегралы
- •Раздел XI. Дифференциальные уравнения
- •§1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение и основные понятия
- •§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •§3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Раздел XII. Ряды
- •§ 1.Числовые ряды: основные понятия
- •§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
- •§ 3. Знакочередующиеся ряды
- •§ 4. Функциональные ряды
- •§ 5. Ряд Маклорена
- •§ 5. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •§ 7. Ряды Фурье
- •Раздел XIII. Теория функции комплексного переменного
- •§ 1. Функции комплексного переменного
- •§ 2. Дифференцируемость функции комплексной переменной.
Раздел IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
§ 1. Определение функции двух и более переменных
Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.
Если
задан закон f,
в силу которого каждой точке М(х,...,х
)
D
ставится в соответствие число и,
то говорят, что на множестве D
определена
функция
и =
f(х
,..., х
).
Опр.
1. Множество
точек М(х,...,х
),
для которых функция и=f(х
,...,х
)
определена, называют областью
определения
этой функции
и обозначают D(f).
Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.
Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.
Опр. 2. Графиком функции двух переменных z=f(х,у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х,у,z) удовлетворяют уравнению z=f(х,у).
Обозначим
через
(М,М
)
расстояние между точками М и М
.
Еслиn=2,
М(х,у), М
(х
,у
),
то
(М,М
)
=
.
В
п-мерном
пространстве
(М,М
)
=
.
Пусть на множестве D задана функция и=f(М).
§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве
Опр.
1. Последовательность
точек {Mn}
называется сходящейся
к точке М0,
если для любого ε>0 существует номер
N
такой, что при n>N
выполняется неравенство ρ(М,М0)<ε.
При этом
точка М0
называется пределом
последовательности
{Mn}.
Обозначается:
Опр.
2. Число А
называется пределом
функции
z=f(M)
в точке М0,
если для любой сходящейся к М0
последовательности точек М1,
М2,…,
Мn,…
(Мn≠М0,
Мn{M})
соответствующая последовательность
значений функций f(М1),
f(М2),…,f(
Мn),…
сходится к А.
Обозначается
Свойства
пределов функций одной переменной
сохраняются и для функций многих
переменных, то есть если функции f(М)
и g(М)
имеют в точке Мконечные пределы, то
1.
=с
,
2.
=
,
3.
=
.
4.
если
.
Заметим,
что если предел
существует, то он не должен зависеть от
пути, по которому точкаМ
стремится к точке М
.
Опр.
3. Функция
и=f(М)
называется непрерывной
в точке
М,
если
=f(М
).
Функцияи=f(М)
называется непрерывной
на множестве
D,
если она
непрерывна в каждой точке М
D.
Опр. 4. Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция.
Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.
§ 3. Частные производные. Полный дифференциал
Опр.
1. Множество
точек М,
которые удовлетворяют неравенству
(М;М
)<
,
называют
-окрестностью
точки М
.
Пусть
функция двух переменных z=f(x;у)
(для большего количества переменных
всё аналогично) определена в некоторой
окрестности точки М(x;у).
Дадим переменной х
приращение
так, чтобы точка (х+
;у)
принадлежала этой окрестности. При этом
функция z=f(x;у)
изменится на величину
,
которая называетсячастичным
приращением функции z=f(x;у)
по переменной
х.
Аналогично
величину
называютчастичным
приращением функции
по
переменной у.
Опр.
2. Если
существует предел
,
то его называютчастной
производной функции z=f(x;у)
в точке М
(x;у)
по переменной х
и обозначают такими символами:
,
,
,
.
Аналогично
=
.
Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.
Опр.
3. Частные
производные от частных производных
,
функции
z=f(x;у)
называются частными
производными второго порядка.
Функция двух переменных может иметь
четыре частные производные второго
порядка, которые обозначают так:
,
,
,
.
Производные
и
называютсясмешанными.
Можно доказать, что если они непрерывны,
то равны между собой.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Пусть
функция z=f(x;у)
непрерывна в некоторой окрестности
точки М(x;у)
вместе со своими частными производными
(х;у)
и
(х;у).
Выберем приращение
и
так, чтобы точка (х+
;у+
)
принадлежала рассматриваемой окрестности.
Опр.
4. Если полное
приращение функции z=f(x;у)
в точке М(x;у)
=f(x+
;у+
)–f(x;у)
можно записать в виде
=
(х;у)
+
(х;у)
+
,
где
– бесконечно малые функции при
,
,
то функцияz=f(x;у)
называется дифференцируемой
в точке М
(x;у),
а линейная относительно
и
часть её полного приращения
называетсяполным
дифференциалом
функции и
обозначается dz=
+
.
Дифференциалами
независимых переменных называют
приращения этих переменных dх=,dу=
.
Поэтомуdz=
dх+
dу,
или в других обозначениях dz=
dх+
dу.
Для
функции трёх переменных и=f(x;у;
z)
dи=dх+
dу+
dz.
Полный
дифференциал функции z=f(x;у)
dz=dх+
dу,
который ещё
называют дифференциалом первого порядка,
зависит от независимых переменных х,
у и от их
дифференциалов dх,
dу.
Заметим, что
дифференциалы
dх,
dу
не зависят
от х,
у.
Дифференциалы второго порядка определяют по формуле d2z=d(dz).
Тогда
d2z=d(dх+
dу)=
(
dх+
dу)dх+
(
dх+
dу)dу=
=dх2+
dуdх+
dхdу+
dу2,
откуда
d2z=dх2+2
dхdу+
dу2.
Символически
это можно записать так: d2z=(dх+
dу)2z.
Аналогично
можно получить формулу для полного
дифференциала п-го
порядка: dпz=d(dп-1z)=(dх+
dу)пz.