Раздел VII. Неопределенный интеграл

§1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Опр. 1. Функция называетсяпервообразной для функции если производная от функцииравна:

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной есть действие обратное дифференцированию –интегрирование.

Если функция имеет первообразную, то и все функции видабудут для нее первообразными, т.к.

Опр. 2. Совокупность функций первообразных для функцииназываетсянеопределенным интегралом и обозначается символом: еслигде–подынтегральная функция; –подынтегральное выражение; х – переменная интегрирования; С – произвольная постоянная неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

2. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

3. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

§ 2. Таблица основных интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

Замечания:

1. В вышеперечисленных формулах а, b, k – постоянные, х – независимая переменная.

2. При применении формул 3, 4, 5 знак абсолютной величины (модуля) пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

§ 3. Методы интегрирования

п. 1. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование производится путем применения соответствующего табличного интеграла. Здесь могут представиться следующие случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2. данный интеграл после применения свойств 2 и 3 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 2 и 3 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

п. 2. Интегрирование подстановкой

Метод замены переменной (метод подстановки) состоит в том, что при вычислении интеграла вместо переменнойх вводится новая переменная t по формуле причемподбирается так, чтобы после подстановки получалась подынтегральная функция более удобная для интегрирования. При этом справедлива формула:

После того как интеграл с новой переменной t будет найден, посредством подстановки t=ψ(x) он приводится к переменной х.

п. 3. Внесение под знак дифференциала

Заметим, что формулу из предыдущего пункта часто применяют справа налево, т.е. записывают в виде:

Как видно из формулы под знак дифференциала вносится некоторая функция

Если – первообразная длято получаем:

В частном случае, если тоимеем:

п. 4. Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства интеграла произведения получим:

откуда

Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла, если последний будет проще исходного.

Укажем некоторые классы интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:

Интеграл	Заменяемая функция
где Р(х)—многочлен.
	u – обратная тригонометрическая функция
	Нужно дважды применить формулу интегрирования по частям, за u взять оба раза либо показательную, либо тригонометрическую функцию