ИЭ / 1 семестр / Учебники / Введение в мат.анализ

5. Неопределенность типа

в отношении трансцендентных функций при

.

при

.

при

6. Неопределенность типа

.

Эти неопределенности преобразуются к неопределенностям типа

или

.

Например:

Степенно-показательной функцией называется функция

, где

,

элементарные функции,

. Функция

также является

е

.

Пусть существуют пределы:

,

.

1) если

, то

.

2) если

, то возможны следующие варианты:

;

;

неопределенность типа

.

3) если

и

, то:

,

;

,

;

4) если

и

, то:

,

;

,

;

,

неопределенность типа

.

5) если

и

, то:

;

;

;

неопределенность типа

.

Таким образом, получаем три новых типа неопределенностей, связанных со

степенно-показательной функцией

:

,

,

.

Примером раскрытия неопределенностей типа

является второй

замечательный предел:

.

Выведем следующую формулу:

.

. Формула доказана.

Например:

;

;

.

Неопределенности типа

и

изучаются в разделе «Дифференциальное

исчисление»

курса математического анализа.

Пусть функция

имеет область определения

и

точка сгущения

(при этом точка может принадлежать или нет). Введем обозначения:

, где

произвольное число,

;

, где

произвольное число,

.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена сверху на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена сверху на этой окрестности, то

.

Теорема 2.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена снизу на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена снизу на этой окрестности, то

.

Теорема 3.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена снизу на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена снизу на этой окрестности, то

.

Теорема 4.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена сверху на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена сверху на этой окрестности, то

.

Аналогичные утверждения справедливы и при

.

Общий признак существования предела.

Для произвольных функций

имеется такой же признак существования

предела, как и в случае последовательности (см. § 10 главы 3).

Теорема 5 (признак Больцано-Коши при

).

Пусть

точка сгущения . Для того чтобы функция

имела предел при

, необходимо и достаточно, чтобы

.

Аналогичное утверждение справедливо и при

.

Теорема 6 (признак Больцано-Коши при

).

Пусть

точка сгущения (см. § 1). Для того чтобы функция

имела

предел при

, необходимо и достаточно, чтобы

.

Аналогичное утверждение справедливо и при

.

Доказательство этих теорем можно найти, например в

и .

Дана функция

с областью определения

. Пусть

точка сгущения

множества

и

. Тем самым предполагаем, что в любой окрестности точки

имеется бесконечно много точек множества , отличных от , и в самой точке

функция

определена, т.е. принимает некоторое значение

.

Сформулируем следующие равносильные определения непрерывности функции

в точке .

Определение 1.

Функция

называется непрерывной в точке

, если

.

Из определения следует, что для непрерывной функции в точке знак функции и

знак предела можно переставлять местами:

.

Определение 2.

Функция

называется непрерывной в точке

, если

0

:

,

.

Определение 3.

Функция

называется непрерывной в точке

, если

:

.

Заметим, что в этих определениях нет условия

или

.

Для следующего определения введем понятия приращений аргумента и функции.

Пусть

, тогда величину

называют приращением аргумента

(приращением независимой переменной) в точке , а величину

называют

Определение 4. Функция

называется непрерывной в точке , если

при

.

Определение 5. Функция

называется непрерывной в точке

, если

,

и

.

127

Если

, то функция называется непрерывной слева в точке ; если

, то функция называется непрерывной справа в точке .

Функция

называется непрерывной на множестве

, если она

непрерывна в каждой точке этого множества.

Если

замкнутый промежуток, то непрерывность на

означает

Теорема (о непрерывности элементарных функций).

Если

элементарная функция и , то

непрерывна в точке .

, а это и означает, что

непрерывна в точке .

Замечание 1. Пусть

точка сгущения множества

, но

, т.е. значение

не определено. Если при этом

, то функцию

можно доопределить

так, чтобы новая функция стала непрерывной в точке

:

непрерывна в точке . При этом обычно говорят, что

непрерывна в точке

, подразумевая на самом деле непрерывность

.

Например, функция

не определена в точке

, но

.

Поэтому новая функция

непрерывна в точке , но если

, где

, то

разрывна в точке .

Замечание 2. Пусть

точка сгущения множества

, но

, т.е. значение

не определено. Если

не существует, то как бы ни доопределяли функцию

в точке , новая функция будет разрывной в этой точке:

разрывна в точке . При этом обычно говорят, что

разрывна в точке

, подразумевая на самом деле разрывность

.

Примеры.

1) Функция

не определена в точке

и не

. Поэтому новая функция

разрывна в точке

(см. ниже график).

2) Функция

не определена в точке и не

. Поэтому новая функция

разрывна в точке (см. ниже график).

§ 2.

Классификация точек разрыва.

Дана функция

с областью определения и

точка сгущения области .

Пусть

точка разрыва функции

. Различают три типа точек разрыва:

1. Точка является точкой устранимого разрыва, если

.

Например, для функции

точка является точкой устранимого

разрыва, т.к.

.

Например, если в рассмотренном примере значение функции

изменить в

точке разрыва

со значения 2 на значение 1, то новая функция станет непрерывной в

указанной точке:

непрерывна в точке .

2. Точка

является точкой разрыва 1-го рода, если

,

и

.

При этом разность

- называют скачком функции

в точке .

Например, для функции

точка

является точкой разрыва 1-го рода,

т.к.

; при этом скачок функции в точке 0 равен:

(см. график).

3. Точка

является точкой разрыва 2-го рода, если

- не существует,

129

т.е. хотя бы один из пределов

или

не существует (или равен ).

Например, для функции

точка

является точкой разрыва 2-го рода,

т.к.

,

(см. график).

И для функции

точка также является точкой разрыва 2-го

рода, т.к.

- не существует (см. §1 главы 4).

Например, если

, но не

, то

точка разрыва 1-го рода слева и

точка разрыва 2-го рода справа; если при этом

, то

точка

непрерывности слева.

Здесь

- точка разрыва 1-го рода слева и точка разрыва 2-го рода справа.

Пример 2.

. Эта функция является элементарной функцией, поэтому она

непрерывна в любой точке

.

Так как

, то в этой точке функцию можно

доопределить любым значением

. После этого можно исследовать функцию на

непрерывность в точке

.

Вычислим односторонние пределы.

.

;

Таким образом, функция имеет в точке

разрыв 1-го рода;

при этом скачок функции в точке 0 равен:

.

Пример 3.

. Функция

является элементарной функцией, поэтому

она непрерывна в любой точке

. Так как

при

, то функция

также непрерывна в любой точке

.

Исследуем функцию

на непрерывность в

точке

.

Вычислим односторонние пределы.

130

.

Функция

имеет в точке

разрыв справа 2-го рода; так как

и

, то функция

непрерывна слева в точке .

Таким образом, функция

в точке имеет непрерывность слева и разрыв 2-го

Теорема 1. Если функции

и

непрерывны в точке , то в этой точке

непрерывны также их сумма и разность

, произведение

и

частное

(при условии, что в случае частного

).

Доказательство. По определению непрерывности функций

и

в точке

имеем:

и

. Используя арифметические действия с пределами

(см. §4 главы 4) при

, получим:

. Это и означает непрерывность

функций

в точке

. Аналогично для произведения и частного этих функций.

Об ограниченности непрерывной функции.

Теорема 2. Если функция

непрерывна в точке , то она и ограничена в некоторой

окрестности точки .

Доказательство. Так как

, то согласно одному из свойств пределов

(см. свойство 4 из §2 главы 4) существует окрестность

точки

, в которой функция

ограничена:

для некоторого числа

. Это и означает

ограниченность функция

в некоторой окрестности точки .

О сохранении знака непрерывной функции.

Теорема 3. Если функция

непрерывна в точке и

, то и в некоторой

окрестности точки

значения

и имеют такой же знак, какой у значения

.