ИЭ / 1 семестр / Учебники / Введение в мат.анализ

0,7

;

;

и т. д. (в знаменателе обыкновенной дроби

;

;

и т.д.

Эти формулы выводятся следующим образом.

–

Если

то

.

тогда

Если

–

тогда

или

. И так далее.

13

непериодические десятичные дроби, например: 0,101001000100001….;

5,12345678910111213… и т.д.

Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется

иррациональным числом. Иррациональное число уже нельзя представить в виде

отношения 2-х целых чисел:

где

Примеры иррациональных чисел:

,

,

, , 2, е,

,

,

,

и т.д.

Оказывается, что

иррациональных чисел

гораздо больше , чем рациональных чисел, т.к. множество всех

рациональных чисел

счетное множество, а множество всех иррациональных чисел

имеет мощность континуум.

иррациональное число. (Другими словами, не

Покажем, например, что число

существует рационального числа, квадрат которого равен 2).

Предположим, что

рациональное число, т. е.

, где

,

. Можно

считать, что дробь

несократимая (иначе мы бы ее сократили). По

определению

)2

2/ 2, или:

2

2, т. е.

2 – четное число; следовательно,

– также

четное число (если

2

+ 1

нечетное, то

2 (2

+ 1)2

2

4

1 – тоже

нечетное). Значит:

2

;

2

2

2

2

2

2 – четное число;

следовательно,

– также четное число. Получили, что

четные числа, т. е. дробь

сократимая. Это противоречит предположению о том, что рассматриваемая дробь

должна быть несократимой.

Это противоречие и доказывает иррациональность числа .

Если иррациональное число записать в виде десятичной дроби, то получится

бесконечная непериодическая десятичная дробь, например:

1,4142135623…;

1,7320508075…;

3,1415926535…;

2,7182818284…

Множеством действительных (или вещественных) чисел

называется

множество всех рациональных и иррациональных чисел. Таким образом, мы имеем

следующие расширяющиеся множества чисел:

где

– множество всех натуральных чисел, – множество всех целых чисел,

множество всех рациональных чисел,

множество всех действительных чисел. В

дальнейшем будет показано, что расширением множества

является множество всех

комплексных чисел .

Основные свойства множества .

1.

Упорядоченность. Для любых двух различных действительных чисел

имеет место одно из 2-х соотношений:

либо

.

2.

Плотность. Между любыми 2-я различными действительными числами

существует действительное число

, лежащее между ними:

.

3.

Неограниченность. Для любого действительного числа существуют

действительные числа

такие, что

.

4.

Непрерывность. Пусть

любые множества из

такие, что выполняется

14

неравенство

,

. Тогда существует действительное число ,

отделяющее множества

, т.е.

,

.

Замечание 1. О справедливости свойств

для числовых множеств:

можно сказать следующее:

- свойство Упорядоченности верно для всех этих множеств;

- свойство Плотности справедливо только для множества

;

- свойство Неограниченности верно для

(для

только в одну сторону);

- свойство Непрерывности не выполняется для множеств

.

Покажем, например, что на множестве

не выполняется свойство

Непрерывности. Действительно, пусть

множество всех рациональных чисел,

меньших

, а

множество всех рациональных чисел, больших

. Очевидно, что

,

.

Тогда неравенства

,

возможны лишь

. Но это число не является рациональным, т.е. не существует рационального

для

числа, отделяющего множества

.

Таким образом, свойство Непрерывности характерно только для множества .

Замечание 2. Свойство Неограниченности множества

можно сформулировать в

виде следующей аксиомы.

Аксиома Архимеда. Для любого положительного действительного числа

существует натуральное число

, большее

:

,

:

.

§ 7.

Модуль числа.

Определение.

Модулем (абсолютной величиной) числа

называется само число

, если оно неотрицательно и противоположное ему число

, если оно отрицательно:

если

если

Например:

3;

0;

.

Пример. Упростить:

–

Решение.

–

Ответ:

Свойства модуля.

1.

.

2.

.

3.

.

4.

.

5.

,

.

Следствия.

1.

,

справедливы утверждения:

1.1.

;

1.2.

.

2.

,

справедливы утверждения:

2.1.

или

;

2.2.

или

.

Доказательство.

1. 1. Пусть

; тогда по свойству 3:

и

,

т.е.

.

Пусть

; тогда при

имеем:

, при

имеем:

, т.е. в любом случае получаем

. Следовательно, неравенства

и

равносильны. Утверждение 1.2. доказывается аналогично.

2.1. Пусть

; тогда при

имеем:

, при

имеем:

,

т.е.

или

. Пусть

или

; тогда при

имеем:

,

а при

имеем:

, т.е. в любом случае получаем

.

Следовательно,

неравенство

равносильно объединению неравенств

,

.

Утверждение 2.2. доказывается аналогично.

Неравенство треугольника:

Доказательство.

По свойству 3

справедливы неравенства:

и

;

складывая эти неравенства почленно, получим:

;

согласно следствию 1.1 это равносильно неравенству:

.

.

Следствие (из неравенства треугольника):

Доказательство.

Запишем число

в виде:

; по неравенству треугольника имеем:

или:

.

Запишем число

в виде:

; по неравенству треугольника имеем:

или:

.

Получили неравенства:

;

по следствию 1.1 это равносильно неравенству:

.

множеством всех действительных чисел и множеством точек числовой оси.

Поэтому

в дальнейшем понятия точка на числовой оси и действительное число не

будут

что геометрический смысл модуля числа

это расстояние от точки до точки 0.

Расстояние между произвольными точками и

на числовой оси равно:

|

| |

|.

Например, расстояние между точками

равно:

|

или:

–

.

набор действительных чисел:

. Примерами бесконечных числовых

множеств являются множества

,

, . Другими примерами бесконечных числовых

множеств служат числовые промежутки (ограниченные и неограниченные).

Ограниченные числовые промежутки (ниже везде

):

– открытый промежуток

(интервал)

– замкнутый промежуток

(отрезок):

– полуоткрытый промежуток:

– полуоткрытый промежуток:

17

Длина

ограниченного числового промежутка любого из вышеуказанных видов

равна расстоянию между концами этого промежутка:

.

Неограниченные числовые промежутки:

– открытая

-

полуось:

– замкнутая

-

полуось:

– открытая

+

полуось:

– замкнутая

полуось:

+

– вся числовая ось:

-

+

– объединение множеств

;

– пересечение множеств

;

– разность множеств

;

– разность множеств

.

Пример. Найти

Решение.

Изобразим множества

на числовой оси:

Определение. Окрестностью точки

называется любой интервал

,

содержащий точку :

. Обозначение:

.

Таким образом:

, где

произвольные числа и

.

:

Проколотая окрестность точки

это окрестность точки без самой точки:

.

:

-окрестность точки

где

это окрестность вида:

.

:

Проколотая -окрестность точки

где

это -окрестность точки

без

самой точки:

.

:

Целая и дробная части числа.

Целая часть действительного числа

это наибольшее целое число, не

превосходящее ; обозначение:

. Например:

.

Дробной частью действительного числа

называется разность между числом

и

целой частью этого числа и обозначается

:

. Например:

Простейшее уравнение с модулем:

Здесь

– заданное число, а – неизвестное (искомое) число.

Геометрический смысл этого уравнения заключается в том, чтобы найти на

числовой оси точки, удаленные от начала отсчета на расстояние

единиц.

Если

то уравнение не имеет решений (т.к.

):

.

Если

, то уравнение имеет единственное решение:

Если

, то уравнение имеет два решения:

оси точки, удаленные от точки

на расстояние меньше, чем единиц. Это неравенство

сводится к простейшему неравенству путем введения новой переменной

. В

результате получим:

если

то

;

если

, то

Аналогично можно исследовать неравенства вида:

,

,

.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение.

.

Ответ.

.

Пусть

непустое числовое множество:

,

.

Определения.

Множество

называется ограниченным сверху, если существует такое число

,

что для всех

выполняется неравенство:

.

ограничено сверху

При этом число

называется верхней границей множества .

Множество

называется ограниченным снизу, если существует такое число

, что

для всех

выполняется неравенство:

.

ограничено снизу

При этом число

называется нижней границей множества .

Множество

называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограничено

снизу, т.е. существуют такие числа

, что для всех

выполняются неравенства:

.

ограничено

При этом числа

называются соответственно нижней и верхней границами

множества .

Замечание 1.

Если число

является верхней границей множества и

, то число

также будет верхней границей множества .

Следовательно, ограниченное сверху

множество имеет бесконечное множество верхних границ.