ИЭ / 1 семестр / Учебники / Введение в мат.анализ

, а

. Разделим промежуток

пополам точкой

.

Если окажется, что

, то точка

найдена. Пусть

; тогда

или

. В первом случае функция

принимает значения разных

знаков на концах промежутка

, во втором случае

на концах промежутка

.

Выберем тот промежуток, на концах которого функция принимает значения разных

знаков, и обозначим его через

. Тогда

,

,

и

.

Далее повторяем эту процедуру для промежутка

. Если

, то

получаем промежуток

- такой, что

,

,

и

.

Если окажется, что

, то точка

найдена.

,

,

и

при

.

Согласно Лемме о вложенных промежутках (см. §9 главы 3) все эти промежутки

имеют единственную общую точку , причем

. Докажем, что эта точка

искомая.

Перейдем к пределам при

в неравенствах:

,

.

Тогда получим:

,

.

Используя непрерывность функции

в точке :

и

получим:

и

, но это возможно лишь,

если

. Теорема доказана.

.

Пусть

многочлен нечетной степени.

Известно (см. §6 главы 4), что

и

. Так как многочлен

133

Пример 2 (из

). Найдем корень уравнения

с точностью до 0,01.

Пусть

. Вычисляя значения функции

в целочисленных

точках, мы увидим, что

,

Следовательно, непрерывная

функция

на концах промежутка

принимает значения разных знаков. Согласно

доказанной теореме на интервале

найдется точка, в которой функция обращается в

нуль, т.е. корень уравнения лежит внутри отрезка

.

Разделим отрезок

на 10 равных частей и вычислим значения

в точках

деления:

…;

…;

.

Так как

, то корень находится внутри отрезка

.

Разделим теперь этот отрезок на 10 равных частей и вычислив значения

в

точках деления, получим:

…;

Это значит, что корень

лежит внутри промежутка

.

Таким образом, с точностью до 0,01 корень данного уравнения равен

.

Теорема 2.

Пусть функция

определена и непрерывна на отрезке

. Если функция на

концах промежутка принимает неравные значения:

, то она принимает и

любое промежуточное значение между

и

:

,

или

:

.

Доказательство.

Возьмем любе число

, лежащее между

и

, и введем новую функцию:

.

Функция

на концах промежутка принимает значения разных знаков,

действительно:

, так как либо

и

, либо

и

. Кроме того, функция

непрерывна

на

как разность двух непрерывных функций.

По первой теореме Больцано-Коши найдется точка внутри промежутка, в которой

функция

обращается в нуль, т.е.

:

, а это означает, что

.

Теорема доказана.

134

Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она ограничена

на этом отрезке, т.е.

.

Доказательство.

Предположим, что функция

не ограничена на

. В таком случае для

каждого натурального числа

найдется в промежутке

такое значение

, что

. Тем самым получаем ограниченную последовательность чисел

, для которой

при

.

По Лемме Больцано-Вейерштрасса (см. §11 главы 3) из последовательности

можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

:

при

.

Так как

, то

, т.е.

Следовательно,

определено значение

.

Из непрерывности функции

в точке имеем:

при

,

т.е. подпоследовательность

стремится к конечному пределу и значит, она

ограничена. Но, с другой стороны:

при

и значит, она не ограничена.

Вторая теорема Вейерштрасса (о наибольшем и наименьшем значении функции).

Теорема 4.

Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она достигает в

этом промежутке своего наибольшего и своего наименьшего значений:

,

.

Доказательство.

По первой теореме Вейерштрасса множество значений функции

ограничено.

Следовательно, у этого множества существует

и

(см. §10 главы 1).

Введем

обозначения:

,

.

Надо доказать, что

и

достигаются, т.е.

и

. Докажем первое утверждение.

Предположим, что это не так, т.е.

выполнено неравенство:

.

Рассмотрим функцию

. Функция

определена и непрерывна на

как отношение двух непрерывных функций с не обращающимся в нуль знаменателем.

Кроме того, эта функция положительна. По первой теореме Вейерштрасса функция

ограничена, т.е.

:

выполнено неравенство:

.

Тогда получим:

. Это означает, что число

является верхней границей множества

, причем

.

Но это противоречит тому, что

- наименьшая верхняя граница

. Полученное

противоречие доказывает, что не может выполняться неравенство

.

Следовательно,

.

Следствие.

Если область определения

непрерывной функции

есть некоторый

промежуток, то область значений

также представляет собой некоторый промежуток.

Доказательство.

это ограниченный замкнутый промежуток, а интервал это ограниченный открытый

промежуток.

Рассмотрим случай, когда

представляет собой отрезок. Докажем, что тогда

также является отрезком.

Пусть

непрерывная функция в области определения

. По

теоремам Вейерштрасса

, причем

и

.

Если

, то по теоремам Больцано-Коши функция

принимает все

промежуточные значения между

и

. Это означает, что область значений

функции

представляет собой отрезок:

.

Если

, т.е.

, то наименьшее значение функции совпадает с его

наибольшим значением; тогда

постоянная функция. В этом случае

отрезок,

вырожденный в точку .

Таким образом, доказано, что если

отрезок, то и также отрезок. Другими

словами:

непрерывный образ отрезка есть отрезок .

Аналогично доказывается утверждение и для других видов промежутков.

Замечание 1. Для промежутков, отличных от отрезков, уже нельзя утверждать, что

и

всегда будут промежутками одного вида. Например, если

интервал, то

не

обязательно будет интервалом.

В качестве примера рассмотрим функцию,

полученную сужением функции

на интервал

.

Здесь

, а

.

Например, для функции

(см. Пример 1 из §2) имеем:

промежуток, а

не является промежутком.

136

§ 5.

Монотонность и непрерывность функций.

Рассмотрим функцию

с областью определения .

Теорема 1.

Если

промежуток и

монотонна на , то функция

либо

непрерывна на , либо имеет лишь точки разрыва 1 рода.

Доказательство.

Пусть для определенности функция

возрастает на и

произвольная

внутренняя точка промежутка . Тогда при

выполняется неравенство:

, а при

неравенство:

, т.е. функция ограничена сверху

при

и ограничена снизу при

. Согласно теоремам

из §11

главы 4 существуют конечные пределы:

и

,

при этом выполняются неравенства:

(предельный переход в неравенстве, см. §2 главы 4).

Если

, то

точка непрерывности функции

; если

, то

точка разрыва 1 рода.

Для случая, когда

левый конец промежутка, имеем:

, а когда

правый конец промежутка, имеем:

. В этих случаях имеем либо

Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема 2. Пусть

монотонная функция на области определения , где

промежуток. Тогда для непрерывности функции

на

необходимо и достаточно,

чтобы область значений

была также промежутком.

Доказательство.

1) Необходимость. Если

непрерывная функция на

, где

промежуток, то

согласно Следствию из §4 область значений

также представляет собой некоторый

промежуток.

2) Достаточность. Пусть область значений

промежуток; это означает, что какое бы

такое значение

, в котором

. Возьмем произвольную точку и

докажем, что

точка непрерывности функции

.

Предположим, что

точка разрыва функции

и

внутренняя точка

т.е. существуют конечные пределы

,

и

. Само

значение функции в этой точке лежит между этими пределами:

, если

возрастающая функция или

, если

убывающая функция.

Тогда какое бы ни взять число

между

и

,

, не

существует ни одного значения , в котором

.

весь интервал между

и

кроме значения

не входит в это множество.

В случае, когда

граничная точка

Непрерывность обратной функции.

Рассмотрим строго монотонную функцию

с областью определения

и

областью значений . Для нее существует обратная функция

(см. §6 главы 2) с

областью определения

и областью значений .

Лемма. Если функция

строго возрастающая, то и обратная функция

также

строго возрастающая; если функция

строго убывающая, то и обратная функция

также строго убывающая.

Доказательство.

Пусть

строго возрастающая функция на

; тогда

,

.

Возьмем произвольные значения

,

,

; докажем,

что

. Предположим, что это не так, т.е.

.

Если

, то

, что невозможно.

Если

, то

, что также невозможно.

Аналогично для случая строго убывающей функции

. Лемма доказана.

Теорема 3.

Пусть

строго монотонная функция на

, где

некоторый промежуток.

Тогда если

непрерывна на , то обратная функция

непрерывна на .

Доказательство.

Так как

непрерывна на промежутке

, то по Теореме 2 множество

является промежутком. По Лемме функция

является строго монотонной функцией.

Таким образом, имеем строго монотонную функцию

, заданную на промежутке

и принимающую значения в промежутке

. Следовательно, по Теореме 2 функция

непрерывна на

.

Теорема доказана.

Примеры.

1)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

2)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

3)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

4)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

Рассмотрим функцию

с областью определения . Пусть

промежуток,

точке

.

По определению (на языке -

) непрерывность функции в точке означает:

0

:

,

.

Непрерывность функции на всем промежутке

можно сформулировать

следующим образом:

,

0

:

,

.

Возникает вопрос: для функции

, непрерывной в промежутке , существует

ли, при заданном

, такое

, которое годилось бы для всех точек из промежутка

?

Если ответ на этот вопрос утвердительный, то функция называется равномерно

непрерывной на промежутке .

Определение 1. Функция

называется равномерно непрерывной на промежутке

,

если

0

:

,

.

Сформулируем равносильное определение.

Определение 2. Функция

называется равномерно непрерывной на промежутке

,

если

0

:

,

.

В определении говорится о любых двух точках

и из промежутка

, отстоящих

друг от друга на расстоянии, меньшем, чем

; при этом

зависит только от

(и не зависит

от того, в какой части промежутка

лежат точки

и

).

1)

,

.

Покажем, что функция

не является

равномерно непрерывной на промежутке .

Возьмем

; предположим, что

:

,

.

Но это невозможно, т.к. можно взять, например:

,

, тогда

,

и при достаточно больших

будет выполняться

неравенство

, т.к.

. Следовательно, наше предположение

неверно и функция

не является равномерно непрерывной на промежутке .

2)

,

.

Покажем, что функция

является равномерно непрерывной на промежутке .

Действительно,

0 возьмем

;

тогда

,

, т.е.

. Следовательно, функция

является равномерно непрерывной на промежутке .

3)

,

. График этой функции приведен в §1 главы 4.

Покажем, что функция

не является равномерно непрерывной на промежутке .

Возьмем

,

,

; тогда

,

,

1,

.

140

Здесь мы видим, что разность

может быть сколь угодно малой, а

разность функций по модулю

не может быть меньше

. Это означает, что

не является равномерно непрерывной на промежутке .

4)

,

, где

.

Покажем, что функция

является равномерно непрерывной на промежутке .

Используя неравенство:

(см. §5 главы 4), можно записать:

.

тогда

Для произвольного числа

0

возьмем

;

,

.

Это и означает равномерную непрерывность функция

на промежутке .