Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Введение в мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

							81
Докажем утверждение 1). Пусть				возрастающая и ограниченная сверху
последовательность. Так как			ограничена сверху, то у множества ее значений
существует точная верхняя грань или супремум (см. §10 главы 1):
				.
Покажем, что это число		и будет пределом последовательности				. По определению
супремума		. Пусть	, тогда		и по свойству супремума (см.
§10 главы 1) существует элемент			множества значений		такой, что		. Этот
элемент	одно из значений		, поэтому		.	Итак,
	. Так как	, то			. С другой стороны,

. Таким образом, получаем:

. Это и означает, что

Утверждение 2) доказывается аналогично.

Замечание. Если

и не ограничена сверху, то

б.б.в., точнее

Если

и не ограничена снизу, то

б.б.в., точнее

Пример 1.

фиксированное число .

Для доказательства рассмотрим 2 случая:

; 2)

;

; в этом случае имеем неопределенность типа

Пусть

, тогда

. Начиная с некоторого места,

будет выполняться неравенство:

и, значит,

, т.е.

; кроме того,

, т.е.

ограничена снизу. Следовательно,

Найдем значение числа . Для этого перейдем к пределам в равенстве

Пример 2.

Последовательность

задана рекуррентным соотношением:

, где

фиксированн е числ

н е числ

Требуется найти

Сначала докажем, что эта последовательность сходится.

Заметим, что

Представим

в следующем виде:

, где

Воспользуемся известным неравенством:

(сумма взаимно-обратных

положительных чисел всегда больше или равна двум). Тогда получим:

Покажем, что последовательность убывает.

Итак,

. Следовательно,

; кроме того,

ограничена снизу

числом

(или числом 0). Согласно доказанной теореме последовательность сходится.

Пусть

. Чтобы найти значение числа , в формуле

перейдем к пределам:

Таким образом,

Замечание. Полученный результат может применяться для приближенного вычисления

квадратного корня из положительного числа

с помощью последовательных

приближений:

Число .

В §3 главы 2 рассматривалась последовательность с общим членом

Было показано, что

возрастает и ограничена:

Следовательно, эта последовательность сходится. Ее предел обозначают буквой

Число является иррациональным числом, которое можно вычислить

приближенно с любой заданной точностью по формуле:

, где

(см. ).

Его разложение в десятичную дробь имеет следующий вид:

Замечание. Число можно задать и по формуле:			,
Замечание. Число можно задать и по формуле:			,
где	любая б.б.в.:	(см. [2]).
Число	имеет исключительную важность не только в математическом анализе, но
и во многих его приложениях.
Логарифмы по основанию		называются натуральными логарифмами и
обозначаются знаком :		.
Показательная функция с основанием (обратная к натуральному логарифму)
называется экспонентой .
Лемма о вложенных промежутках.
Утверждение, которое называется леммой о вложенных промежутках, в
дальнейшем будет применяться при изучении математического анализа.
Лемма.
Пусть дана последовательность вложенных друг в друга промежутков				,

и такая, что длины этих промежутков стремятся к нулю:

. Тогда все эти промежутки имеют единственную общую точку.

Доказательство.
По условию теоремы имеем:				. Это означает, что
последовательность	, а последовательность		. Кроме того, эти
последовательности ограничены числами		.
Следовательно, они имеют пределы:			,	,
причем		, т.е.		Обозначим этот общий
предел буквой . Так как		, то точка	принадлежит всем этим
промежуткам, т.е. является общей для них.
Покажем единственность такой общей точки. Пусть				еще одна общая точка для
всех промежутков, т.е.	Тогда				. По теореме
о сжатой переменной (см. §8) имеем:					, т.е.

. Лемма доказана.

§ 10. Общий признак сходимости.

Пусть задана последовательность . Задача определения сходимости или расходимости этой последовательности может быть решена с помощью признака,

который называется признак сходимости Больцано-Коши.

Этот признак использует лишь то, что задано, а именно последовательность значений , и не использует значение предела, которое вообще говоря, не известно.

С помощью этого признака можно определить, сходится последовательность или расходится, но он не дает ответа на вопрос, чему равен предел в случае сходимости данной последовательности.

Теорема 1 (признак сходимости Больцано-Коши).
Для сходимости последовательности		необходимо и достаточно, чтобы
			и	.
(т.е. чтобы значения	отличались друг от друга		сколь угодно мало , начиная с
некоторого места ).

Доказательство этой теоремы можно найти в .

Иногда удобнее использовать эту теорему в следующей равносильной формулировке.

Теорема 2 (признак сходимости Больцано-Коши).
Для сходимости последовательности			необходимо и достаточно, чтобы
				и .
Пример.	,	. С помощью признака сходимости Больцано-
Пример.	,	. С помощью признака сходимости Больцано-

Коши покажем, что эта последовательность сходится. Применим теорему 2.

Таким образом:

. Для

возьмем

целую часть

числа

; тогда для

будет

и значит,

и .

Следовательно, последовательность

сходится.

Из признака сходимости Больцано-Коши можно получить и признак расходимости

последовательности, если записать отрицание к признаку сходимости.

Теорема 3 (признак расходимости).

Для расходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы

Равносильная формулировка этого признака запишется в следующем виде.

Теорема 4 (признак расходимости).

Для расходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы

Пример.

. С помощью признака расходимости покажем,

что эта последовательность расходится. Применим теорему 4.

Возьмем

; пусть

любое натуральное число и

; возьмем

; тогда

Итак,

. Следовательно,

последовательность

расходится.

§ 11. Дополнение.

Пример 1. Последовательность

задана рекуррентным соотношением:

, где

заданные числа

Доказать сходимость этой последовательности и найти

Решение. Введем обозначение:

. Тогда

Итак,

; значит, последовательность

является геометрической

прогрессией со знаменателем

Найдем сумму этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

С другой стороны,

. Следовательно,

, а

значит и

Ответ.

Пример 2. Последовательность

задана рекуррентным соотношением:

, где

заданное число,

Доказать сходимость этой последовательности и найти

Решение. Покажем, что последовательность

ограничена и возрастает.

Ограниченность. Покажем, что

Применим метод математической индукции.

) база индукции;

при

неравенства

следуют из условия:

б) индукционный переход;

пусть при

имеем верные неравенства:

; покажем, что будут верны

неравенства и при

, т.е.

Введем обозначение:

; тогда

, где

Легко проверить, что квадратичная функция

при

принимает

значения

. Это значит, что

Следовательно,

, или

. Это и означает, что

ограничена.

Возрастание.

, или

, т.е.

возрастает.

Таким образом, доказано, что последовательность

ограничена и возрастает.

По теореме из §9 это означает, что последовательность

сходится. Пусть

предел этой последовательности. В равенстве

перейдем к пределу:

. Так как

, то

, или

Ответ. .

Замечание. Полученный результат может применяться для приближенного вычисления

числа, обратного к положительному числу		с помощью последовательных
приближений:	,		.

Прежде чем перейти к следующему примеру, вспомним некоторые понятия.

Средним арифметическим двух чисел

называется число

; средним

геометрическим двух чисел

и называется число

Число называется средним гармоническим чисел

и , если обратное к нему

число

является средним арифметическим для обратных чисел

, т.е.

, откуда

. Другими словами, средним гармоническим чисел и

называется число

Пример 3. Даны положительные числа

. Составим две последовательности

по следующим формулам:

… ,

, …

Доказать, что последовательности

сходятся к одному и тому же пределу

и найти этот предел.

Решение. Если

, то

, т.е.

. При этом

, т.к.

Аналогично:

, т.е.

;

при этом

. И так далее:

, т.е.

Итак, последовательность

возрастает, а

убывает; причем обе

последовательности ограничены числами

…

Следовательно (см. теорему из §9), последовательности

сходятся:

. Перейдя к пределам в равенстве

, получим:

, или

, т.е. последовательности сходятся к одному и тому же пределу.

Найдем этот предел. Перемножая равенства

, получим:

. Следовательно:

. Перейдя к

пределу в равенстве

, получаем:

или

Ответ.

Замечание. Результат разобранного примера можно сформулировать так: среднее

арифметико-гармоническое двух чисел

равно их среднему геометрическому.

Для вычисления пределов последовательностей вида

, где

, бывает

полезной следующая теорема.

Теорема Штольца.

Даны две последовательности

, причем

. Тогда

1) если

, то

;

2) если

, то и

Доказательство теоремы Штольца можно найти в

и .

Следствие 1. Дана последовательность

. Тогда

1) если

, то

;

2) если

, то и

Доказательство.

Возьмем

; тогда

. Далее применяем

теорему Штольца:

Следствие 2. Дана последовательность

. Тогда

1) если

, то

;

2) если

, то и

Доказательство. Пусть

; тогда

Далее применяем Следствие 1:

Замечание. Следствие 2 утверждает, что если последовательность

имеет предел

(конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и последовательность

среднее арифметическое первых значений

Например,

, т.к.

(см. §8, пример 7).

Пример. Найти предел последовательности

где

фиксированное натуральное число.

Решение. Пусть

; тогда

;

По теореме Штольца:

предел

отношения многочленов с одинаковыми степенями (см.

Ответ.

Частичные последовательности и частичные пределы.

	Наряду с последовательностью		рассмотрим какую-либо извлеченную из нее
частичную последовательность (или подпоследовательность):
			,
где	некоторая последовательность возрастающих натуральных чисел:
	Если последовательность	имеет конечный предел, то тот же предел,
очевидно, имеет и подпоследовательность			; если же	, то и	.
	Если последовательность	не имеет конечного предела, то это не исключает

возможности существования предела для какой-нибудь частичной последовательности.

Такой предел называется частичным пределом последовательности			.
	Например, последовательность			не имеет
предела, но у нее есть частичные пределы:
		;	.
	Выясним, всегда ли у последовательности существуют частичные пределы.
	На этот вопрос можно ответить утвердительно в случае, когда последовательность
	не ограничена. А именно:
если	не ограничена сверху, то существует подпоследовательность			;
если	не ограничена снизу, то существует подпоследовательность			;
если	не ограничена, то существует подпоследовательность			.
	Поэтому можно сказать, что для неограниченных последовательностей существуют
частичные пределы, равные (или		).
	Утвердительный ответ будет и в случае ограниченной последовательности. Но это
утверждение требует более внимательного подхода к данному вопросу.

Лемма Больцано-Вейерштрасса (принцип выбора).

Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся к

конечному пределу подпоследовательность.
Доказательство. Пусть		. Разделим промежуток	пополам; тогда

хотя бы в одной половине будет содержаться бесконечное множество элементов данной


последовательности (в противном случае во всем промежутке				содержалось бы
конечное число элементов последовательности, что невозможно).
	Обозначим через		тот промежуток, в котором содержится бесконечное
множество элементов (если обе половины - таковы, то обозначаем любую из них).
Очевидно, что			. Аналогично, из промежутка	выделим его половину

	, в которой содержится бесконечное множество элементов			. При этом
		. Продолжая этот процесс, на - том шаге получим промежуток			, в

										89
котором содержится бесконечное множество элементов							, при этом		.

Так как		, то по Лемме о вложенных промежутках (см. §9) последовательности
и	стремятся к общему пределу:				,	при		.
	Далее построим частичную последовательность						следующим образом.
В качестве		возьмем любой из элементов			, содержащихся в			. В качестве
возьмем любой из элементов			, следующих за				и содержащихся в			,
и так далее. Вообще, в качестве				возьмем любой из элементов , следующих за ранее
выделенными		, , … ,	и содержащихся в				.
	Возможность такого выбора обусловливается именно тем, что каждый из
промежутков		содержит бесконечное множество элементов						. Далее имеем:
			,	,	при		.
Тогда по теореме о сжатой переменной (см. §8) существует								. Лемма доказана.

Глава 4. Предел функции.

Содержание

§1. Понятие предела функции……………………………………………………………. 91

§2. Свойства пределов функций………………………………………………..………. 96

§3. Бесконечно малые функции ...…………………………………………….. ………. 98

§4. Арифметические действия с пределами………………………………………. 100

§5. Пределы элементарных функций…………..……………………………………. 101

§6. Бесконечно большие функции.....………………………………………… ………. 108

§7. Замечательные пределы…….....…………………………………………….………. 112

§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций … 114

§9. Эквивалентные бесконечно малые величины ……………..…………….. 116

§ 10. Раскрытие неопределенностей……………………………………………………	119
§ 11. Признаки существования предела функции …………………………….…	123

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf