Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Введение в мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

111

Связь между б.м.в. и б.б.в.

Теорема 1. Дана функция

, причем

для всех

из некоторой проколотой

окрестности точки

(или

). Тогда:

1) если

б.б.в., то

б.м.в.:

;

2) если

б.м.в., то

б.б.в.:

Символически это утверждение можно записать так:

Например:

б.м.в. при

б.б.в. при

Арифметические операции над б.б.в.

Теорема 2. Даны функции	и	,		. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1)	,			;
2)	,			;
3)	,	ограничена		;
4)	,	ограничена		;
5)	,	ограничена		;
6)	,			;
7)	,	, (	)	.
Следствие. Дана функция	и		,	. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1)			;
2)			;
3)			;
4)	,			.

Справедливость этих утверждений следует из справедливости аналогичных утверждений для последовательностей (§6 главы 3) и равносильности определений предела функции на языке - и на языке последовательностей.

Предел многочлена на .

Найдем предел многочлена

степени

при

. Здесь

, … ,

бесконечно малые

функции, поэтому выражение в скобках имеет предел, равный .

Введем обозначения:

112

Тогда

, (

). По теореме 2 имеем:

Таким образом:

Если

, то

, а если

, то

При

или

в зависимости не только от знака , но

и четности числа

Предел рациональной функции на .

Пусть

рациональная функция.

где

Если

, то

; если

, то

;

если

, то

Таким образом:

если

§ 7. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Заметим, что здесь

, поэтому воспользоваться

формулой:

невозможно.

Доказательство. По Лемме 1 из §5 имеем неравенства:

Разделив на

, получим:

, или

Так как

, то

Отсюда следует неравенство:

Если

, то

и по доказанному выше имеем:

. Таким образом,

для

верно неравенство:

									113
	По определению предела:
Для					тогда :			.
								.
		возьмем		;
		возьмем		;
	.		Это и означает, что			. Формула доказана.
	.		Это и означает, что			. Формула доказана.
Следствия.
1)			; 2)		; 3)		; 4)			.
1)			; 2)		; 3)		; 4)			.
Доказательство.
1)									.
1)									.

2)						.
2)						.
3)									.
3)									.
4)

Второй замечательный предел:

или:

Доказательство. 1) Сначала докажем, что

По определению предела функции на языке последовательностей это означает, что для

любой последовательности

соответствующая последовательность

значений функции

. А этот факт действительно имеет место (см. §9 главы3).

2) Теперь докажем, что

Из равенств:

следует, что

Первая формула доказана. Докажем вторую формулу.

. Вторая формула также доказана.

					114
Следствия.
1)	;	2)		; 3)			;
1)	;	2)		; 3)			;
4)	;	5)	.
4)	;	5)	.
Доказательство.
1)					.



2)								.
2)								.
3)						.
3)						.
4)									.


5)

					.

§ 8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Пусть

две бесконечно малые величины при

Определение 1. Если

, где

, то

называются бесконечно малыми величинами одного порядка при

Например:

б.м.в. одного порядка при

, т.к.

Определение 2. Если

, то

называются бесконечно малой

величиной более высокого порядка, чем

при

. Обозначение:

при

читается

есть о малое от

при

т.к.

Например:

б.м.в. более высокого порядка, чем

при

Определение 3. Если

, то

называются бесконечно малой

величиной более низкого порядка, чем

при

115

В этом случае

является бесконечно малой величиной более высокого

порядка, чем

при

Обозначение:

при

читается

есть

о малое от

при

Определение 4. Если

не существует,

то бесконечно малые величины

называются несравнимыми при

Например:

несравнимы при

т.к.

не имеет предела при

(см. Пример 10 из §1).

Определение 5. Если

, где

, то

называется

бесконечно малой

го порядка по отношению к бесконечно малой

при

Например:

б.м.в.

го порядка по отношению к

при

, т.к.

Простейшие свойства символа

о .

Пусть

бесконечно малая величина при

. Тогда

;

Доказательство этих свойств можно найти в .

Аналогичные определения можно дать и для бесконечно больших величин. Две бесконечно большие величины могут быть:

-одного порядка;

-одна из них может быть более высокого порядка, чем другая;

-они могут быть несравнимыми;

- одна из них может быть бесконечно большой

го порядка по отношению к

другой бесконечно большой величине.

Примеры.

бесконечно большие величины

одного порядка при

, т.к.

				116
2) Многочлены					и
			являются бесконечно большими величинами
одного порядка при		, если	, т.к.		(см. §6).
одного порядка при		, если	, т.к.		(см. §6).
Если	, то многочлен		является бесконечно большой величиной более
высокого порядка при		, чем	, т.к.
высокого порядка при		, чем	, т.к.
Если	, то многочлен		является бесконечно большой величиной более
высокого порядка при		, чем	, т.к.
высокого порядка при		, чем	, т.к.

§ 9. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Пусть	и	две бесконечно малые величины при							:
		,		.
Определение. Бесконечно малые величины							и	называются
эквивалентными при		, если			.	Обозначение:

				при		.
Замечание. Эквивалентные бесконечно малые величины являются частным случаем
бесконечно малых одного порядка (				). Если		и	бесконечно малые одного
порядка при	:		, где		и	,	то	при	.

Из первого и второго замечательных пределов и их следствий (см. §6) получаем примеры простейших эквивалентных бесконечно малых величин:

при .

Свойства эквивалентных бесконечно малых величин.


Пусть	,	и	бесконечно малые величины при		. Из
определения эквивалентности бесконечно малых следуют очевидные свойства:
	1). Рефлексивность:			;

												117
		2). Симметричность:							;
		3). Транзитивность:										.
Теорема 1. Пусть			,				, … ,		,
,				, … ,				при	.			Тогда
											.
Доказательство.											.
Доказательство.
	Заметим сначала, что если						и			, то			.
	Заметим сначала, что если						и			, то			.
Действительно:				.
Действительно:

Введем обозначения:
Введем обозначения:
			,						,
			,						.
Остается доказать, что					и	.

Аналогично для

. Теорема доказана.

Согласно доказанной теореме при вычислении пределов произведений и частных бесконечно малые множители можно заменить их эквивалентностями.

Например:

при

Замечание. При вычислении пределов сумм и разностей замена бесконечно малых

слагаемых их эквивалентностями недопустима. Это может привести к неверным результатам.

Используя замечательные пределы (§7) и теорему о замене переменной (§2), можно составить следующую таблицу эквивалентностей.

Таблица замечательных эквивалентностей.

Пусть	бесконечно малая величина при		:
. Тогда
1)	,	6)	,
2)	,	7)	,

118

3)	,		8)	,
4)	,		9)		,

5)		,	10)	.

Пример.

при

Теорема 2. Для того, чтобы две бесконечно малые функции

были

эквивалентными при

, необходимо и достаточно, чтобы их разность

была бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из них:

при

Доказательство.

Пусть

; тогда

при

; аналогично:

при

Пусть

при

; тогда

;

аналогично в случае

при

Главная часть бесконечно малой функции.

Определение. Пусть

бесконечно малые функции при

± . Функция называется главной частью функции

при

→

±0, ± , если =

при

Из Теоремы 2 следует, что одна бесконечно малая является главной частью другой бесконечно малой при тогда и только тогда, когда они эквивалентны:

главная часть	при	при	.
Бесконечно малая функция может иметь бесконечно много главных частей.
Поэтому ищут эту главную часть обычно в виде степенной функции			, в
частности, при	Например:
при		при	;

119

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

Для бесконечно больших функций

при

также можно ввести понятие эквивалентности:

Примеры.

при

б.б.в. при

при

, т.к.

			.
			.
2)	Многочлен			и его первый член	б.б.в.
при	.
		при		, т.к.
					.
					.

§ 10. Раскрытие неопределенностей.

При вычислении пределов функций, как и пределов последовательностей, могут встретиться неопределенности (см. §7 главы 3), когда невозможно применить правила вычисления пределов (§4). Рассмотрим методы раскрытия некоторых неопределенностей.

1. Неопределенность типа		в отношении многочленов при	.

Здесь можно применить результат:

120

если

Например:

;

2. Неопределенность типа

в отношении алгебраических функций,

содержащих иррациональности при

Эта неопределенность раскрывается путем выделения старшей степени в числителе и знаменателе дроби.

Например:

3. Неопределенность типа

в отношении многочленов при

В этом случае многочлены в числителе и знаменателе дроби имеют корень

поэтому многочлены делятся нацело на

. Числитель и знаменатель следует

разложить на множители и сократить дробь на

Например:

4. Неопределенность типа	в отношении алгебраических функций,

содержащих иррациональности при	.
В этом случае надо также постараться сократить дробь на		. Для этого

следует преобразовать иррациональности так, чтобы появились многочлены, которые можно разложить на множители; один из множителей при этом будет

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf