Введение в мат.анализ

Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

- частное от деления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

171

так как произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть бесконечно малая величина.

Итак, .

Пример 4.

сумма членов геометрической прогрессии

см Пример							.

Последовательности комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пусть

где

модуль

модуль ,

;

- главное значение аргумента

- главное значение аргумента ,

т.е.

(или

Теорема 2.

Справедливо следующее утверждение:

Доказательство.

Пусть

, тогда

в силу

непрерывности функций

, а также

по

свойству предела произведения. Тогда

Пусть теперь

, т. е.

. Тогда

, значит

в силу непрерывности функции

Получаем:

Так как

и - главные значения

аргумента, и учитывая непрерывность обратных тригонометрических функций

, то очевидно, что

Теорема доказана.

Пример 5.

Найти

, где

Перейдем к тригонометрической форме комплексного числа:

, где

Так как

, то

(по Теореме 2). Далее:

172

	,				.

Следовательно:

о таблице эквивалентностей

при

. Итак,

По таблице эквивалентностей

при

Таким образом:

, т.е.

или:

, где

§ 8. Показательная форма комплексного числа.

Для вещественных чисел

была выведена формула (см. глава 4,

§10):

которая позволяет возводить число в любую вещественную степень.

По аналогии с этой формулой возведение числа

в любую комплексную степень

- определим следующей формулой:

Как показано в §7, имеет место формула:

Таким образом, получаем:

Эта формула дает тригонометрическую форму комплексного числа , при этом

Например:

Заметим, что

, так как

Частные случаи:

если

, то

;

если

, то

173

Из последнего равенства получаем формулу:

		- формула Эйлера.
Например:
Например:
	,		,


	,				.


Свойства комплексной степени числа .
1.	; 2.	; 3.		.
Доказательство.

Воспользуемся свойствами умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме: при умножении модули перемножаются, аргументы складываются, а при делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Пусть	,	.
1.				;
				.
2.				;
				.
3.					.
Свойства доказаны.
Пусть комплексное число		задано в тригонометрической форме:
				.
Используя формулу Эйлера, это же число				можно записать в виде:	.
Запись вида:		- называется показательной формой комплексного
Запись вида:		- называется показательной формой комплексного
числа , при этом	,	.

Например:	,	,	,	.
Например:	,	,	,	.
Для комплексно-сопряженных чисел и				показательная форма имеет вид:
Для комплексно-сопряженных чисел и				показательная форма имеет вид:
				.
				.

Например:				.
Например:				.

Действия с комплексными числами в показательной форме.

174

Из правил действий с комплексными числами в тригонометрической форме следуют правила действий в показательной форме (при умножении, делении, возведении в целую степень и извлечении корня).

Пусть

; тогда

Пример 1.

Вычислить

, где

Представим и

в показательной форме:

Тогда получим:

;

Пример 2.
Вычислить	, где	.

Пример 3.

Найти все значения .

;

Ответ: .

175

Логарифм комплексного числа.

Определение.

Логарифмом

комплексного числа

называется такое комплексное число

, для которого выполняется равенство:

Итак, по определению:

Из определения следует основное логарифмическое тождество:

Пусть

;

тогда

Следовательно:

или иначе:

Из этой формулы видно, что

имеет, как и

, бесконечное множество

значений. Одно из этих значений (при

) называется главным значением

обозначается

- главное значение логарифма.

При этом выполнено равенство:

Примеры.

4).

;

5).

;

6).

;

7).

;

Свойства логарифма вещественного числа, связанные с произведением и частным, остаются верными и для логарифма комплексного числа при условии, что равенства понимаются как равенства множеств:

;

Действительно:

													176
								;
								.
								.
Замечание.
	Указанные свойства логарифма								комплексного числа, как видим, идентичны
свойствам аргумента						комплексного числа.
Степень с произвольным основанием.
	Пусть		,		; введем понятие степени с основанием .

	По определению считаем:									.
	Если			, то				.
Пусть		,					, тогда
												,	.
												,	.
	Как видим, формула для вычисления степени с произвольным основанием
достаточно громоздка. Поэтому лучше вычислить сначала значение												, а затем	.
Примеры.
8).									, .
9).



10).								,				.





											,	.


11).												, .

177

Глава 7. Алгебраические многочлены и рациональные дроби.

Содержание

§1. Алгебраические многочлены ………………………………………………………… 178

§2. Разложение многочлена на множители …………………………………..……… 182

§3. Многочлены с вещественными коэффициентами …………………..……… 183

§4. Рациональные дроби ……………..……………………..……………………..……… 186

178

§ 1. Алгебраические многочлены.

Основные понятия.

	Алгебраическим многочленом от комплексной переменной							называется
выражение вида:
							,
где	,		комплексная переменная, ,				, …,	заданные
комплексные числа (коэффициенты многочлена).
	Если	, то	называется многочленом степени				и обозначается		; для
степени многочлена принято обозначение					:		.
	Если	, то многочлен		называется приведенным.
	В частности:
	- многочлен нулевой степени					постоянная функция;
	- многочлен первой степени					линейная функция;
	- многочлен второй степени						квадратичная функция.
	Два многочлена							и
						называются равными, если их
степени совпадают и равны все коэффициенты при одинаковых степенях :
						.

Над многочленами можно производить действия: сложение, вычитание, умножение. В результате этих действий получается снова многочлен:

;

В отличие от действий сложения, вычитания и умножения многочленов действие деления выполнимо не всегда. В этом отношении множество многочленов напоминает множество целых чисел . Но так же, как и для целых чисел, для многочленов всегда определена операция деления с остатком.

Пусть даны многочлены:

			,				.
Если существует многочлен			такой, что выполнено равенство:
				,
то говорят, что многочлен		делится на многочлен			(без остатка); при этом
делимое,	делитель, а	называется частным от деления				на	.
Если существуют многочлены			и	такие, что выполнено равенство:

			179
	,
где степень многочлена	меньше степени многочлена	, то многочлен
называется неполным частным от деления многочлена		на многочлен	, а

называется остатком при этом делении.

Известно, что задача деления с остатком для многочленов всегда имеет решение (если делитель не равен нулю) и оно единственно (см. ).

Деление многочленов обычно выполняют по схеме «деления уголком».

Примеры.
1).	,	;

	- неполное частное, а			- остаток от деления.
Замечание.
Если степень	меньше степени		, то неполное частное равно нулю, а
остаток от деления совпадает с		:
			.
Значение многочлена.
Для того чтобы вычислить значение многочлена				при	, нужно
выполнить следующие действия:
- возвести комплексное число		в степени с натуральными показателями;

-умножить полученные значения на коэффициенты многочлена;

-сложить полученные выражения.

В результате получится некоторое комплексное число, которое называется

значением многочлена при и обозначается .

180

Например:	,	.
Если в результате вычислений получается значение		, то называется корнем
многочлена:
	корень многочлена	.

По поводу существования корней многочлена есть замечательная теорема.

Основная теорема алгебры.

Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный корень.

Заметим, что для множества действительных чисел такого утверждения нет. Например, многочлен действительных корней не имеет.

Основная теоремы алгебры доказывается в разделе Теория функций комплексной переменной (ТФКП) (см. ).

Если при всех значениях многочлен			обращается в ноль, то такой многочлен
называется тождественно нулевым,		и пишут:		.
Теорема 1.
Для того чтобы многочлен		был тождественно равен нулю, необходимо и
достаточно, чтобы все его коэффициенты были равны нулю:
				.
Доказательство.
Если	, то					,
т.е.	.
Пусть	; докажем, что в этом случае выполнено:					.
Так как значение многочлена		равно нулю при любом			, то и при	также
равно нулю:
						.
Следовательно:

		(включая и		)	и так далее.
Продолжая эти рассуждения, получим, что					. Теорема доказана.
Следствие.
Значения двух многочленов						и
		тождественно совпадают тогда и только
тогда, когда совпадают все коэффициенты при одинаковых степенях :
		,		.
Доказательство.
Составим новый многочлен, равный разности многочленов					и	:
						.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf