ИЭ / 1 семестр / Учебники / Введение в мат.анализ

21

Аналогично, если число

является нижней границей множества и

, то

число

также будет нижней границей множества

. Следовательно, ограниченное

снизу множество имеет бесконечное множество нижних границ.

Замечание 2. Определение ограниченности множества равносильно следующему

определению:

ограничено

.

Понятия

(супремума) и

(инфимума).

Доказательство.

Пусть

ограниченное сверху множество. Обозначим через

множество всех его

верхних границ. Тогда для всех

и

выполнено неравенство:

. По свойству

непрерывности множества действительных чисел существует такое число

, что для всех

и

выполнены неравенства:

.

Так как

, то

верхняя граница множества , т.е.

; так как

, то число является наименьшим числом во множестве

. Теорема доказана.

Определение. Если

ограниченное сверху множество, то наименьшая из всех

супремумом множества и обозначается:

.

Теорема 1 это теорема о существовании супремума у ограниченного сверху

множества. При этом либо

, либо

. Если

, то

,

т.е. в этом случае супремум

совпадает с наибольшим значением множества

. Если

, то

не существует.

Если множество

не ограничено сверху, то пишут

.

Доказательство.

Пусть

ограниченное снизу множество. Обозначим через

множество всех его

нижних границ. Тогда для всех

и

выполнено неравенство:

. По свойству

непрерывности множества действительных чисел существует такое число

, что для всех

и

выполнены неравенства:

.

Так как

, то

нижняя граница множества , т.е.

; так как

, то число

является наибольшим числом во множестве

. Теорема доказана.

Определение. Если

ограниченное снизу множество, то наибольшая из всех его

нижних границ называется точной нижней гранью (точной нижней границей) или

инфимумом множества

и обозначается:

.

Теорема 2 это теорема о существовании инфимума у ограниченного снизу

множества. При этом либо

, либо

. Если

, то

, т.е.

в этом случае инфимум совпадает с наименьшим значением множества

. Если

, то

не существует.

Если множество

не ограничено снизу, то пишут

.

22

Примеры.

1.

.

Здесь:

,

.

2.

. Здесь:

,

,

,

,

,

.

3.

. Здесь:

,

,

,

,

,

.

4.

. Здесь:

,

,

,

,

,

.

5.

. Здесь:

,

,

,

,

.

6.

.

Здесь:

,

,

,

,

,

.

Свойства

-

и

- .

Пусть

,

.

Введем обозначения:

(при этом

возможно:

и (или)

.

Резюмируя все вышесказанное, можно сформулировать следующие свойства.

1.

.

2.

Если

, то

:

;

если

, то

:

.

3.

Если

, то

; если

, то

.

4.

Если

и

, то

.

5.

Если

, то

; если

, то

.

Если

, то

; если

, то

.

Точки сгущения.

Определение. Пусть

,

. Точка

называется точкой сгущения (или

предельной точкой) множества

, если в любой окрестности точки

существует хотя бы

одна точка множества , не совпадающая с .

Очевидно, что в любой окрестности точки сгущения существует бесчисленное

множество точек множества

, не совпадающих с точкой .

Точка сгущения (предельная точка) множества может быть элементом этого

множества, а может и не быть его элементом. Если точка множества не является точкой

сгущения этого множества, то она называется изолированной.

Например, для

имеем:

- изолированная точка;

точками сгущения будут все остальные точки множества

, а также точки

и

,

не входящие во множество .

Объединение множества и множества его точек сгущения называется

замыканием множества и обозначается: . Например, если

,

то

.

Решение. Пусть

юноши;

девушки.

Составим всевозможные пары из представителей этих групп:

…

…

.

Из этой таблицы видно, что общее количество всевозможных пар равно

.

Ответ.

24 пары;

пар.

Задача 2. Из 3-х студенческих групп выбирают по одному представителю. Сколько

различных троек можно составить, если:

в 1-й группе 8, во 2-й 6, а в 3-й 10

человек?

в 1-й группе

, во 2-й

, а в 3-й

человек?

Решение.

Представителя 1-й группы можно выбрать 8-ю способами; для каждого из

получаем

различных выбранных троек.

Представителя 1-й группы можно выбрать способами; для каждого из них

выбираем представителя 2-й группы способами; всего получаем

пар; для каждой

такой пары можно выбрать 3-го представителя способами; всего получаем

различных выбранных троек.

Ответ.

480 троек;

троек.

24

Правило (принцип) умножения. Пусть производится выбор элементов

из некоторого конечного множества. Известно, что элемент

можно выбрать

способами, после его выбора элемент можно выбрать

способами, и т.д., элемент

можно выбрать

способами после выбора всех предыдущих элементов. Тогда общее

число способов

, которыми можно осуществить выбор всех элементов

равно

2-й дни, т.е. имеем 1 способ выбора на 3-й день. Применяя

принцип умножения ,

получим общее число способов:

.

2-й способ. Обозначим преподавателей буквами

. Тогда требуется установить

общее число перестановок в наборе

. Для этого выпишем все перестановки этого

набора:

,

,

,

,

,

. Всего получилось 6

перестановок.

упорядоченных команд равно 380.

В это число входят все пары вида

. Но

в условиях нашей задачи команда

или команда

это одна и та же команда.

Поэтому общее число команд будет в 2 раза меньше:

.

Ответ. 190 способов.

общее число способов выбора по принципу умножения равно

.

Ответ. 1320 способов.

Решение. Если в команде из 3-х человек установить

порядок , т.е. указать, кто из них

первый, кто

второй, а кто

третий, то окажемся в условиях предыдущей задачи. Общее

число таких

упорядоченных

команд равно 1320. В это число входят все тройки вида

, где элементы

могут еще меняться местами. Но в условиях нашей задачи

все такие команды считаются одной командой. Поэтому общее число команд будет

меньше числа упорядоченных команд в раз, где

число перестановок в наборе

:

. Тогда общее число команд равно

.

Ответ. 220 способов.

Разобранные задачи

относятся к задачам следующего типа. Дано конечное

множество элементов

. Требуется найти количество его подмножеств,

количество упорядоченных подмножеств, а в другом

количество

неупорядоченных

подмножеств.

В задачах 6 и 7 дано множество, состоящее из 12-ти элементов, а надо найти

количество 3-хэлементных подмножеств. В задаче 6 также надо найти количество

упорядоченных подмножеств, а в задаче 7 количество неупорядоченных

подмножеств.

Размещения, перестановки, сочетания.

Дано конечное множество элементов

.

Определение. Размещением из элементов по

элементов (

называется любое его упорядоченное подмножество, состоящее из

элементов.

Например, для 3-х элементного множества

имеем

все размещения по 2 элемента:

,

,

,

,

,

;

все размещения по 3 элемента:

,

,

,

,

,

.

Число всех размещений из

элементов по

элементов обозначается

(

) и вычисляется по формуле:

Эта формула вытекает из

принципа умножения . Действительно, 1-й элемент

подмножества можно выбрать

способами. Второй элемент подмножества можно

выбрать

способами, т.к. в качестве 2-го элемента можно взять любой элемент,

кроме уже выбранного 1-го. Третий элемент можно выбрать

способами, т.к. в

способом, т.к. осталось

элементов у исходного множества. Далее

применяем принцип умножения .

Например, число размещений из 3-х по 2 и из 3-х по 3 равно:

;

.

В задаче 4 ищется число размещений из 20 по 2:

;

а в задаче 6 ищется число размещений из 12 по 3:

.

следования элементов.

Число всех перестановок из элементов обозначается

(

) и

вычисляется по формуле:

Это следует из формулы для числа размещений

при

.

В задаче 3 вычисляется число перестановок из 3-х элементов:

.

Определение. Сочетанием из

элементов по

элементов (

называется

любое его подмножество (неупорядоченное), состоящее из элементов. Сочетания

отличаются друг от друга только составом элементов (порядок следования элементов

здесь не учитывается).

Например, для 3-х элементного множества

имеем

все сочетания по 2 элемента:

,

,

; все сочетания по 3 элемента:

.

Число сочетаний из

элементов по

элементов обозначается

(

)

и вычисляется по формуле:

Например:

3;

.

Вывод формулы. Найдем связь между числом размещений

и числом сочетаний .

Для получения всех размещений из элементов по элементов нужно взять

всевозможные сочетания из элементов по элементов и в каждом сочетании сделать

всевозможные перестановки. Согласно принципу умножения , число всех размещений

равно произведению числа всех сочетаний на число всех перестановок, т.е.

.

Следовательно:

. Формула доказана.

Применяя формулу для

, получим:

190.

В задаче 7 надо было найти число способов выбора 3-х человек из 12-ти.

Применяя формулу для

, получим:

220.

Учитывая, что

, формула для

применима и при

и при

:

1;

1.

Равенство

1 означает, что существует ровно одно подмножество, не

содержащее ни одного элемента (пустое множество).

Равенство

1 означает, что существует ровно одно подмножество,

содержащее

элементов (само множество).

Из формулы для

следует, что при замене числа

на число

значение

числа сочетаний не меняется:

.

Применяя формулу для

при

и при

, получим:

;

.

Таким образом, имеем простейшие свойства чисел

:

1.

1.

2.

.

3.

,

.

Докажем еще одно важное свойство чисел

:

(

).

,

Применяем формулу для вычисления

:

По аналогии с известными формулами (

действительные числа):

выведем формулу для

, где

произвольное натуральное число.

или:

.

.

Вывод формулы.

. Если перемножить скобки, то получим сумму

раз

слагаемых вида

, где

; при этом в каждом слагаемом сумма

показателей степени при

равна . Действительно, когда перемножаем эти скобки,

мы из каждой скобки берем одну из букв

; если в скобках берем , а в

оставшихся

скобках берем , то и получим выражение вида

.

Далее приводим подобные члены. Для этого посчитаем число слагаемых вида

при фиксированном

. Это число равно количеству способов выбора скобок

из скобок, т.е.

. Тем самым формула доказана.

Формулу бинома Ньютона можно доказать и методом математической

индукции см ниже .

Коэффициенты в разложении бинома Ньютона числа

называются еще

биномиальными коэффициентами.

Рассмотрим частные случаи формулы бинома Ньютона при

.

;

.

;

.

;

;

.

;

;

.

29

Чтобы получить формулы при

, надо вычислить коэффициенты

при этих

значениях и

. Чтобы облегчить нахождение этих коэффициентов,

применяют простое правило, позволяющее по значениям

вычислить значения

.

Для этого используется одно из свойств биномиальных коэффициентов:

,

.

Согласно этому свойству, значения коэффициентов

,

,

,

,

можно вычислить, зная все коэффициенты .

Наглядным применением этого правила служит треугольник Паскаля

схема или

Правило построения треугольника Паскаля: крайние

элементы треугольника равны

; каждый

внутренний элемент равен сумме двух вышестоящих,

ближайших к нему (

).

Подставляя числовые значения коэффициентов

, получим треугольник Паскаля:

10

1

20

15

…

… … … … … … … … … … …

Используя треугольник Паскаля, легко составить разложения по формуле бинома

Ньютона при

. Например:

,

,

и т.д.

Формулу бинома Ньютона можно записать в следующем виде (при

:

30

Подставляя в эту формулу

, получим:

.

Если подставить в формулу

, то получим:

.

Таким образом, имеем новые свойства биномиальных коэффициентов :

1.

;

2.

.

это число

-элементных подмножеств -элементного множества. Следовательно,

это

сумма количества -элементных, -элементных и т.д., -элементных

.

Из формулы бинома Ньютона можно получить неравенство Бернулли (см.§3) для

:

.

Неравенство Бернулли:

,

.

) при

,

и

, как показано выше, имеем верные равенства.

б пусть равенство верно при

, т.е.

докажем, что равенство верно и для

, т.е.