Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Введение в мат.анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 238 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

;

, т.к.

бесконечно малая величина, как произведение 2-х б.м.в.:

и ограниченной

величины

. Следовательно:

Ответы. 1) ;

2) ; 3)

; 4)

; 5)

; 6) ; 7)

; 8)

; 9) .

§ 6. Бесконечно большие величины.

Определение.	Последовательность			называется бесконечно большой
величиной (сокращенно: б.б.в.), если для любого положительного числа							можно указать
такой номер , что для всех значений			, у которых номер			, удовлетворяют
неравенству	:
б.б.в.						.
Другими словами, последовательность				называется бесконечно большой
величиной, если значения		по абсолютной величине			сколь угодно велики , начиная с
некоторого места , т.е. для всех достаточно больших номеров .
При этом говорят также, что последовательность					стремится к		(при	).
Обозначения для б.б.в.:				,	,	,		.
Замечание 1. Из определения б.б.в. следует:
	б.б.в.		б.б.в.		б.б.в.
Замечание 2. Бесконечно большая величина				это расходящаяся последовательность, т.е.
последовательность, не имеющая конечного предела.
Примеры бесконечно больших величин.
Пример 1.	.	Здесь		.

Пусть

;

в качестве номера

можно взять целую часть числа

(если

, то возьмем

). Тогда

выполнено неравенство

Следовательно,

б.б.в.:

Пример 2.

Здесь

Пусть

;

в качестве номера

можно взять целую часть числа

(если

, то возьмем

). Тогда

выполнены условия:

, т.е.

Следовательно,

при

б.б.в.:

Пример 3.

. Здесь

Так как

б.б.в., то и

б.б.в.:

Пример 4.

Здесь

Покажем, что эта последовательность является бесконечно большой величиной.

Пусть

;

в качестве номера

можно взять целую часть числа

(если

, то возьмем

Тогда

выполнено:

Следовательно,

при

б.б.в.:

Если значения бесконечно большой величины, начиная с некоторого номера,

сохраняют знак

или

, то пишут:

или

Точное определение в символической форме имеет следующий вид:

				;
				.
Например:	(при	),	(при	),
(при	),	(при	),	(при	).
Геометрический смысл бесконечно большой величины заключается в том, что
точка, изображающая	на числовой оси, неограниченно удаляется от начала отсчета:
если	, то точка удаляется вправо,
если	, то точка удаляется влево,
если			, то точка неограниченно удаляется

от начала отсчета, оказываясь то слева, то справа от него.

Замечание 3. Понятия неограниченной величины (см. §3, глава 2) и бесконечно большой величины не равносильны. Любая бесконечно большая величина является

неограниченной, но обратное утверждение неверно. Сравним определения этих понятий.

б.б.в.			,
неограниченная величина			.

В случае б.б.в. неравенство должно выполняться для всех , начиная с некоторого места; в случае неограниченной величины это неравенство может выполняться лишь для некоторых значений .

Например, неограниченная последовательность (см. §3, глава 2), но она не является бесконечно большой величиной. Действительно, для

неравенство

не может выполняться для всех

, начиная с некоторого

места, т.к. значение

встречается для сколь угодно больших .

Связь между б.м.в. и б.б.в.

Теорема 1. Дана последовательность

, причем

для всех , начиная с

некоторого места. Тогда:

1) если

б.б.в., то

б.м.в.:

;

2) если

б.м.в., то

б.б.в.:

Символически это утверждение можно записать так:

Доказательство.

1) если

б.б.в., то по определению

Надо доказать, что

б.м.в., т.е.

Пусть

, возьмем

;

тогда

В качестве

можно взять

; тогда

. Получили, что

. Следовательно,

б.м.в.

2) если

б.м.в., то по определению

Надо доказать, что

б.б.в., т.е.

Пусть

, возьмем

;

тогда

В качестве

можно взять

; тогда

. Получили, что

. Следовательно,

б.б.в.

Теорема доказана.

Арифметические операции над б.б.в.
Теорема 2. Даны последовательности			и	. Справедливы следующие утверждения:
1)	,			;
2)	,			;
3)	,	ограничена		;
4)	,	ограничена		;
5)	,	ограничена		;
6)	,			;
7)	,	, (	)	.

Доказательство этих утверждений можно найти, например, в				и .
Следствие. Дана последовательность		и	. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1)		;
2)		;
3)		;
4)	,		.

Примеры.
1)	, т.к.				и			.


2)			б б в	б м в			ограничена .
2)			б б в	б м в			ограничена .
3)	, т.к.	,				ограничена.
4)									.

Предел многочлена.

Найдем предел многочлена

степени

. Здесь

, … ,

бесконечно малые

величины, поэтому выражение в скобках имеет предел, равный .

Введем обозначения:

Тогда

, (

). По теореме 2 имеем:

Причем, если

, то

, а если

, то

Таким образом:

если

Замечание 4. Все последовательности разделяются на сходящиеся и расходящиеся.

Расходящиеся последовательности разделяются на бесконечно большие величины и

прочие. Эти прочие последовательности делятся на ограниченные и неограниченные.

§ 7. Неопределенные выражения.

Даны последовательности и . Составим новые последовательности, используя 4 арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление):

, , .

Пусть

или

Случай, когда

конечны, разобран в §5, за одним лишь исключением, когда

рассматривается отношение

при

. Разберем сначала этот случай.

Если

, то получаем:

(см. п.7 теоремы 2).

Если

, то получаем:

(см. п.6 теоремы 2).

Символически это можно записать так:

(при

Если

, то получаем:

. В этом случае ничего определенного сказать о

значении предела нельзя: все зависит от

. Например:

;

не имеет предела.

Таким образом, выражение

представляет собой неопределенность.

. В этом случае также ничего определенного сказать о

значении предела нельзя: все зависит от

. Например:

;

не имеет предела.

Следовательно, выражение

представляет собой неопределенность.

3) Рассмотрим произведение

Если

, то

;

если

, то

;

если

, то

Если

, то

и в этом случае возникает неопределенность.

Например:

;

не имеет предела.

Таким образом, выражение

представляет собой неопределенность.

4) Рассмотрим сумму

. Здесь возможны следующие варианты:

			76
;	;	.
Неопределенным же выражением будет		, когда и	стремятся к
бесконечности разных знаков. Например:
,	;	,	;
,	;	,
не имеет предела.
Следовательно, выражение		представляет собой неопределенность.

Таким образом, в случае арифметических действий с последовательностями возникают 4 типа неопределенностей:

В этих случаях надо учитывать не только значения пределов и этих величин, но

и закон изменения самих величин

и .

Предел отношения многочленов.

Отношение многочленов при

представляет собой неопределенность типа

, где

Если

, то

; если

, то

;

если

, то

Таким образом:

Например:

;				.

Пример.

Найти предел:		.

Решение.

Напишем первые члены формулы бинома Ньютона (см. §12 главы 1):

Тогда Следовательно:

Ответ. .

§ 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

Теорема 1 (предельный переход в неравенстве).
Даны сходящиеся последовательности	и	:	,	.
Пусть выполнено неравенство:	, начиная с некоторого места.
Тогда выполнено и неравенство:	, т.е.		.
Доказательство.
Предположим, что это не так, т.е.	. Рассмотрим такие			окрестности точек
и , которые не пересекаются:				. При этом окрестность
и , которые не пересекаются:				. При этом окрестность
будет лежать на числовой оси левее окрестности			.

Так как

, то для этих точек выполняются неравенства:

, начиная с некоторого места. Но это противоречит заданному условию:

. Полученное противоречие и доказывает, что должно быть выполнено:									.
Теорема доказана.
Замечание 1. Из строгого неравенства:						не следует, вообще говоря,
строгое же неравенство для пределов:						. Например, для		и
строгое же неравенство для пределов:						. Например, для		и
имеем:			, но		.
Поэтому если			, то		.
Теорема 2 (о сжатой переменной).
Даны три последовательности				,	и	. Пусть выполнены неравенства:
		, начиная с некоторого места. Пусть существуют					,		и
		. Тогда существует			.
Доказательство.	Пусть		. По определению предела имеем:
				и					.

Возьмем	. Тогда	выполняются неравенства:
			.
Итак,		. Это и означает, что	.
Теорема доказана.

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 распространяются и на случай бесконечно больших величин.

Пример 1.		.			;
Пример 1.		.
Действительно:												. По теореме о сжатой
Действительно:												. По теореме о сжатой
переменной можно утверждать:							.
переменной можно утверждать:							.
				.
Пример 2.				.
Чтобы доказать это, рассмотрим 3 случая:								1)		;	2)			;	3)		.
1)		1.
1)		1.
2)				; введем обозначение:											.
2)	; в этом случае			; введем обозначение:							,				.
Применим неравенство Бернулли (см. § 12 главы 1):
													.


Имеем неравенства:									, при этом								.


По теореме о сжатой переменной можно утверждать:																. Это
По теореме о сжатой переменной можно утверждать:																. Это
равносильно утверждению:
равносильно утверждению:				.

3)	; в этом случае			и по доказанному выше утверждению													.
3)	; в этом случае			и по доказанному выше утверждению													.
Так как			, то											.






Пример 3.							.
Докажем это утверждение. Заметим, что здесь имеем неопределенность типа											.
																		;
				и							.							;


По теореме о сжатой переменной:											.
Частные случаи этого утверждения:

				;													.
				;													.

Пример 4.						.
Пример 4.						.
Докажем это утверждение.

Заметим, что здесь мы имеем неопределенность типа

, т.к.

Выполним следующие преобразования:

Так как

, то

. Тогда

Пример 5.

фиксированные числа

Действительно, при

имеем:

; а при

имеем:

Пример 6.

фиксированные числа

Здесь имеем неопределенность типа

Для доказательства рассмотрим следующие случаи: 1)

; 2)

; 3)

; введем обозначение:

По формуле бинома Ньютона имеем:

. Тогда

Следовательно,

;

, где

; согласно пункту 1)

Пример 7.

Для доказательства воспользуемся неравенством из предыдущего примера:

при

; очевидно, что

при

Тогда получим:

Возьмем

, т.е.

или:

. Так как

, то по теореме о сжатой

переменной

, что равносильно условию:

Пример 8.

Докажем это утверждение. Здесь имеем неопределенность типа

Для произвольного числа

выполняется неравенство

. Так как

, то

(см. §2, свойство 1). Логарифмируя это неравенство по

основанию

, получим:

. Итак,

. Это и

означает, что

§9. Монотонные последовательности.

В§3 главы 2 были введены понятия монотонной последовательности и ограниченной последовательности. Напомним эти понятия.

Определение. Последовательность		называется возрастающей (строго
возрастающей), если для всех натуральных		, начиная с какого-то номера, верно
неравенство:	. Обозначение:		.
Последовательность	называется	убывающей (строго убывающей), если для
всех натуральных , начиная с какого-то номера, верно неравенство:
. Обозначение:	.
Последовательность	называется	монотонной (строго монотонной), если она

является возрастающей (строго возрастающей) или убывающей (строго убывающей).

	Определение. Последовательность			называется ограниченной сверху, если
	такое, что	выполняется неравенство:			.
	Последовательность		называется ограниченной снизу, если				такое, что
	выполняется неравенство:			.
	Последовательность		называется ограниченной, если			такие, что
	выполняются неравенства:			(или			).
	Последовательность		называется неограниченной, если она не является
ограниченной:				.
Теорема (о сходимости монотонной и ограниченной последовательности).
	1). Возрастающая и ограниченная сверху последовательность					сходится:
	и				.
	2). Убывающая и ограниченная снизу последовательность сходится:
	и				.

Доказательство.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 238 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf