ИЭ / 1 семестр / Учебники / Введение в мат.анализ

41

Определение.

Графиком функции

называется множество точек на плоскости

с координатами

, где

. Обозначение: .

) график

б) не график

Если график функции известен, то область определения и область значений

можно найти путем проектирования графика

на оси координат (см. рис. выше).

) явно:

; б) неявно:

; в) параметрически:

.

Дифференциальное и интегральное исчисление функций

математического анализа.

Здесь мы ограничимся функциями, заданными явно:

.

При явном задании функция может быть определена одной формулой, а может

быть и разными формулами на разных участках области определения.

Например:

,

.

-

линейная,

-

квадратичная,

-

,

дробно-линейная, и многие другие.

1). Целая часть числа:

.

Если

, где

, то

. График функции (стрелки на графике

Область определения:

; область значений:

.

2). Дробная часть числа:

.

Здесь

. Если

, где , то

. Заметим, что

.

График функции (стрелки на графике указывают на точки, не

принадлежащие графику):

1

2

3

Область определения:

; область значений:

.

3).

(«сигнум»

знак числа

), где

.

График функции:

Область определения:

; область значений:

.

4).

. График функции:

Область определения:

; область значений:

.

5). Функция Дирихле:

, где

,

множество всех

1). Четность, нечетность.

Пусть функция

имеет область определения , симметричную

относительно точки , т.е. если

, то и

.

Определение. Функция

называется четной, если

;

Функция

называется нечетной, если

.

Примеры четных функций:

;

;

функция Дирихле.

Примеры нечетных функций:

;

;

функция «знак числа» .

График четной функции симметричен относительно оси

; график нечетной

функции симметричен относительно начала координат:

) график четной функции.

б) график нечетной функции.

Пусть

некоторое подмножество области определения функции

:

.

Определение. Функция

называется возрастающей на множестве , если

,

из неравенства

следует неравенство

и называется

строго возрастающей на множестве

, если

,

из неравенства

следует неравенство

.

Обозначение:

(или строго

) на .

Определение. Функция

называется убывающей на множестве

, если

,

из неравенства

следует неравенство

и называется

строго убывающей на множестве , если

,

из неравенства

следует

неравенство

.

Обозначение:

(или строго

) на .

Определение. Функция

называется монотонной (строго монотонной)

на множестве , если она является возрастающей (строго возрастающей) или

убывающей (строго убывающей) на множестве .

Пример. Функция

. Область определения:

;

область значений:

.

График функции:

Пусть

,

и

; тогда

;

следовательно:

строго на

.

Пусть

,

и

; тогда

;

следовательно:

строго

на

.

Таким образом,

функция

строго

на

и строго

на

.

Замечание. Неверно утверждать, что функция

строго

на

.

Действительно, пусть

,

; тогда

, но

, т.е.

.

Исследуем на монотонность функции, приведенные в примерах §4.

1). Целая часть числа:

. Из графика функции видно, что

(не строго) на .

2). Дробная часть числа:

. Из графика видно, что

строго

на каждом

промежутке вида

, где

.

Однако нельзя утверждать, что

на (см.

последнее замечание).

3).

.

Из графика этой функции видно, что

(не строго) на .

4).

. Из графика этой функции видно, что

строго

на

, строго

на

и строго

на

.

5). Функция Дирихле:

, где

множество всех рациональных чисел.

Эта функция не является монотонной ни на каком промежутке.

Замечание. Если функция строго монотонна на множестве

, то она и (просто) монотонна

на этом множестве. Обратное утверждение, конечно, неверно. Поэтому не будет

ошибкой, если строго монотонную функцию назвать просто монотонной.

3). Ограниченность.

Пусть

некоторое подмножество области определения функции

:

.

Определение. Функция

называется ограниченной сверху на множестве ,

если ограничено сверху множество

, т. е.

.

46

Функция

называется ограниченной снизу на множестве

, если

ограничено снизу множество

, т. е.

.

Функция

называется ограниченной на множестве

, если она ограничена

и сверху и снизу, т. е.

.

Замечание. Определение ограниченности функции равносильно следующему

определению: функция

ограничена на

.

Определение. Функция

называется неограниченной на множестве

,

если она не является ограниченной на этом множестве.

Используя отрицание к понятию ограниченная функция , можно дать следующее

определение неограниченной функции:

функция

не ограничена на

.

Пример.

Функция

ограничена

на промежутках вида:

,

,

и

, где

или

;

и на промежутках вида:

,

,

,

, где

и

.

Функция

не ограничена

на промежутках вида:

,

, где

;

,

, где

и на

множествах вида

, где

.

Примеры ограниченных функций на .

Функции

и

ограничены на

, т.к.

и

.

Функции

,

функция Дирихле,

также ограничены на .

Примеры ограниченных сверху (или снизу) функций на .

,

,

ограничены снизу на

.

Квадратичная функция

ограничена на

сверху при

и

ограничена на

снизу при

.

Примеры неограниченных функций на .

Функции

,

,

,

,

не ограничены на .

4). Периодичность.

Определение. Функция

называется периодической, если

:

и

.

Число называется периодом функции.

Заметим, что если число

является периодом функции, то и число

, где

также будет периодом данной функции. Поэтому далее под периодом

подразумевается наименьший положительный период функции.

47

-

и

,

;

-

и

,

;

-

,

.

Дана функция

с областью определения

и областью значений .

Определение. Функция

называется взаимно-однозначной, если разным

значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е.

.

Если функция

строго монотонна на , то она и взаимно-однозначна.

Равенство:

можно рассматривать как уравнение относительно

неизвестной

при любых фиксированных значениях .

Для взаимно-однозначной функции

это уравнение имеет решение ,

причем оно единственно. Обозначим это решение как

.

Тем самым возникает функция

с областью определения

и областью

значений .

Функция

называется обратной функцией к функции

, а функции

Заметим, что если

обратная функция к функции

, то

обратная функция

к функции

,

т.е.

.

Примеры.

1.

строго монотонная функция;

,

;

;

следовательно:

и

взаимно-обратные функции.

2.

строго монотонная функция;

,

;

;

следовательно:

и

взаимно-обратные функции.

3.

строго монотонная функция;

,

;

;

следовательно:

и

взаимно-обратные функции.

Графики взаимно-обратных функций.

Если

и

взаимно-обратные функции, то их графики

совпадают. Вместо записи

для обратной функции можно применить

обозначение

. Тогда графики функций

и

уже не будут

совпадать. Как расположены друг относительно друга эти графики?

Заметим, что если точка

лежит на одном графике, то точка

лежит на другом графике, и наоборот. Но точки

и

симметричны относительно

прямой

(см. рис.) Следовательно, графики взаимно-обратных функций

и

симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов

(т.е. относительно прямой

).

Если функция

не является строго монотонной на

, то, как правило, можно

выделить из области определения

участки строгой монотонности.

Пусть

и

строго монотонна на множестве

.

Рассмотрим новую

функцию, которую обозначим:

такую, что

. Эта новая функция

отличается от функции

лишь тем, что у нее другая область определения, а именно:

множество .

Функция

называется сужением функции

на множество . Функция

строго монотонна на своей области определения и, значит

взаимно-однозначная

функция. Следовательно, для

существует обратная функция

.

Пример. Функция

не является строго монотонной на всей числовой оси, но

является таковой на промежутках

и

. Рассмотрим сужения функции

на

и на

:

,

,

;

.

Таким образом:

,

,

,

.

Область определения:

,

область значений:

.

2. Степенная функция:

,

где

фиксированное число:

.

Для любой степенной функции

выполняется равенство:

.

1)

натуральное число:

.

1.1)

четное число:

,

. Графики функций:

Свойства

:

,

; четная; строго на

и строго на

;

ограничена снизу; не периодическая.

1.2)

нечетное число:

, . Графики функций: