ИЭ / 1 семестр / Учебники / Введение в мат.анализ

Учебное пособие

Оглавление

I. Теория.

Глава 1.

Основные понятия

…

2

Глава 2.

Последовательности и функции

…

32

Глава 3.

Предел последовательности

…

60

Глава 4.

Предел функции

…

90

Глава 5.

Непрерывность функции

…

125

Глава 6.

Комплексные числа

…

141

Глава 7.

Алгебраические многочлены и рациональные дроби

…

177

II. Задачи и упражнения.

Задачи к главе 1

… 190

Задачи к главе 2

… 191

Задачи к главе 3

… 195

Задачи к главе 4

…

197

Задачи к главе 5

…

200

Задачи к главе 6

…

202

Задачи к главе 7

…

206

Ответы

…

208

Литература

…

222

§ 1.

Понятие множества ……………………………………………………………..

3

§ 2.

Логическая символика ………………………………………………………..

5

§ 3.

Натуральные числа ……………………………………………………………..

7

§ 4. Целые числа ………………………………………………………………………….

9

§ 5.

Рациональные числа ……………………………………………………………

11

§ 6.

Действительные числа …………………………………………………………

12

§ 10. Границы числовых множеств ………………………………………………

20

§ 11. Элементы комбинаторики ……………………………………………………

23

§ 12. Бином Ньютона …………………………………………………………………...

28

обозначают обычно заглавными буквами

а их элементы - малыми буквами

Если

элемент множества то пишут:

( принадлежит ); запись

перечислены:

, или указано общее свойство, которым обладают все

элементы данного множества, например:

множество всех

действительных чисел

, удовлетворяющих неравенствам

.

Множество

называется подмножеством множества

, если каждый элемент

множества является элементом множества , при этом записывают:

( включено в ). Пустое множество является подмножеством любого другого

множества (

, где

любое множество).

Множества и

называются равными и пишут:

, если

и

.

Множество

, состоящее из конечного числа элементов,

элементы можно пронумеровать:

.

Примерами счетных множеств являются само множество всех натуральных чисел

, а также множество всех целых чисел

и даже множество всех рациональных чисел

(см. [6]).

Объединение (сумму) множеств обозначают

(или

):

или

.

Пример 1.

Пусть

,

.

Тогда

,

,

,

.

Пример 2.

Пусть

,

.

Тогда

,

,

,

.

удобно использовать символы из математической логики:

символ импликации;

символ эквивалентности;

символ отрицания;

символ конъюнкции;

символ дизъюнкции;

квантор всеобщности;

квантор существования.

Пусть

и

некоторые математические высказывания или утверждения,

относительно каждого из которых можно сказать истинно (верно) оно или ложно

(неверно). Из этих утверждений можно составить новые утверждения:

-

означает:

из

следует

, т.е. если истинно утверждение , то

истинно и утверждение .

-

означает:

эквивалентно

, т.е. если истинно утверждение , то

истинно и утверждение и наоборот, если истинно утверждение

, то истинно и

утверждение .

-

означает:

не

, т.е. если истинно утверждение

, то ложно

утверждение

, а если утверждение

ложно, то утверждение

истинно.

одно из утверждений

.

-

означает:

для любого элемента

из множества справедливо

утверждение

.

-

означает:

существует элемент

из множества

, для которого

справедливо утверждение

.

Примеры математических утверждений.

1). Даны действительные числа

.

Утверждение

:

числа

длины сторон некоторого треугольника ,

утверждение

:

.

Тогда

2). Даны натуральные числа

и .

Утверждение

:

четное ,

утверждение

:

и

четные .

Тогда

.

3). Дана квадратная матрица .

Утверждение

:

невырожденная матрица

,

утверждение

:

Существует обратная матница

. Тогда

.

4). Пусть

окружность на плоскости с центром в точке С и радиуса .

Тогда справедливо утверждение:

.

5). Пусть и

ненулевые коллинеарные векторы.

Тогда справедливо утверждение:

.

6

-

.

Это означает: утверждение

не для всех

выполняется

равносильно

утверждению есть

, для которого не выполняется

.

-

.

Это означает: утверждение

не существует

, для которого выполняется

равносильно утверждению для всех

не выполняется

.

Например:

- не все целые числа делятся на

равносильно утверждению

есть целые числа,

которые не делятся на

;

- не все квадратные матрицы имеют обратную матрицу

равносильно утверждению

коэффициентом равносильно утверждению

есть прямые на плоскости, которые не

задаются линейным уравнением с угловым коэффициентом ;

- не существует вектора, модуль которого отрицателен равносильно утверждению

модули всех векторов неотрицательны ;

- не существует угла, синус которого больше 1

равносильно утверждению синусы всех

углов не превосходят 1 .

Если теорема записывается в виде:

(если , то

), то

условие

теоремы, а

заключение теоремы. В этом случае утверждение

называется

обратной теоремой, а утверждение

называется прямой теоремой.

Если верна теорема

, то

называется достаточным условием для , а

необходимым условием для . Если верны и прямая и обратная теоремы, то

называется необходимым и достаточным условием для

(и наоборот). Фразу

является необходимым и достаточным условием для

можно заменить другой фразой:

выполняется тогда и только тогда, когда выполняется

или

выполняется в том и

только в том случае, если выполняется .

обозначения: " знак суммирования;

" знак произведения.

По определению:

;

.

.

Например:

Запись вида:

называется каноническим

разложением натурального числа . Здесь

– простые числа, – натуральные числа

(

).

Согласно основной теореме арифметики каноническое разложение

единственно

(с точностью до порядка сомножителей).

Аксиома индукции.

Пусть

подмножество множества всех натуральных чисел:

и пусть оно

обладает следующими 2-я свойствами:

) 1

б

справедливо утверждение:

.

Тогда:

.

На аксиоме индукции основан один из методов доказательства в математике -

метод математической индукции.

Метод математической индукции.

Рассмотрим некоторое утверждение

, зависящее от натурального числа .

8

Обозначим через

множество всех тех значений

, для которых справедливо

утверждение

. Проверим выполнение условий ) и б

аксиомы индукции, а именно:

) при

утверждение истинно;

б если утверждение

верно при

то оно верно и при

.

Если выполнение условий

) и б) доказано, то

, т.е. утверждение

истинно при

любых

.

Условие ) называется базой индукции, а условие б

индукционным переходом.

В некоторых случаях базой индукции служит условие: ) утверждение истинно при

,

(

или и т д

. В этих случаях будет доказана истинность утверждения для всех

натуральных чисел

.

Пример 1.

Докажем, что для всех

выполняется равенство:

) при

имеем:

верное равенство;

б пусть равенство верно при

, т.е.

;

докажем, что

равенство верно и для

, т.е.

.

Для этого запишем:

+

, что и

.

требовалось доказать. Следовательно, равенство верно для всех

Пример 2.

Докажем, что для всех

выполняется равенство:

) при

имеем:

верное равенство;

б пусть равенство верно при

, т.е.

;

докажем, что равенство верно и для

, т.е.

. Для этого запишем:

+

, что и требовалось доказать.

Следовательно, равенство верно для всех

.

Пример 3.

Докажем неравенство Бернулли:

для всех

, где

.

) при

имеем:

верное неравенство;

б пусть неравенство верно при

, т.е.

;

докажем, что

неравенство верно и для

, т.е.

. Для этого

запишем:

, что и требовалось доказать. Следовательно, неравенство

верно для всех

.

Замечание.

Если

, то неравенство Бернулли будет строгим неравенством для всех

.

Для натуральных чисел можно ввести понятия факториала и двойного

факториала, которые обозначаются соответственно знаками

" и ".

По определению факториала:

произведение всех натуральных чисел от 1 до .

Например:

;

;

;

;

.

По определению двойного факториала:

произведение всех натуральных чисел, взятых

через одного, от

и ниже.

Например:

;

.

целое число.

Если целое число делится на целое число

, то будем писать

, в

противном случае будем писать:

. Например:

Заметим, что

для всех

для всех

,

Числа: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 – называются цифрами.

Любое целое число

можно записать с помощью этих десяти цифр:

.

Запись вида

называется десятичной записью числа , где

– натуральное число,

(

) – цифры (однозначные числа): – цифра единиц,

– цифра десяток,

– цифра сотен и т.д. Если

, то число

двузначное, если

, то число

трехзначное и т.д.

Например:

положительное трехзначное число (

),

– отрицательное четырехзначное число

(

).

По десятичной записи числа можно определить делимость этого числа на любое

однозначное число (кроме делимости на 7), а также на число .

10

Признаки делимости.

Пусть

десятичная запись числа. Тогда:

2

;

;

;

5

;

6

8;

9

;

10

Пример.

2, т.к.

, т к

, т.к. 64 4;

6, т.к.

2

3;

5,

т к 4

5;

и

8 , т.к. 164

;

9, т к

10

т к

Если

,

то возможно деление с остатком.

Теорема. Для любого целого числа

и любого натурального числа

существуют

целые числа и

такие, что:

где

– остаток от деления

на

и

–

(При

получаем:

).

Например, остаток от деления

на

равен

, т.к.

, а остаток от

деления

на равен , т.к.

.

Из этой теоремы при

получаем следующее утверждение.

Следствие. Любое целое число

можно представить в виде:

(т.е. любое целое число либо делится на , либо при делении на дает остаток

).

Числа вида

называются четными, числа вида

называются нечетными.

Понятие факториала:

для отрицательных целых

чисел

не вводится, а для числа

это понятие применяется. По определению:

.

Используя понятия четности и нечетности, можно уточнить понятие двойного

факториала.

Двойной факториал:

произведение всех

натуральных чисел, не превосходящих

и одной с ним четности.

Если

четное:

, то двойной факториал есть произведение всех четных чисел от

2 до

; если

нечетное:

, то это есть произведение всех нечетных чисел от

1 до

. Например:

;

.