mmt-13
.pdf
Пример вычисления среднего непрерывной случайной величины
На кафедре теоретической физики университета, в котором учится студент N, вычислили, что плотность вероятности опоздания этого студента на первую пару описывается функцией ρ(t) = e−t/600/600. На сколько в среднем опаздывает студент?
Сначала проверим нормировку. Минимальное время опоздания a = 0, максимальное b = +∞. Поэтому:
∞ |
∞ |
|
|
|
|
Z0 |
(e−t/600/600)dt = − Z0 |
e−t/600d(−t/600) = |
|||
|
|
= (−1) e−t/600 |
0 |
= 1 |
|
∞
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Пример вычисления среднего непрерывной случайной величины
На кафедре теоретической физики университета, в котором учится студент N, вычислили, что плотность вероятности опоздания этого студента на первую пару описывается функцией ρ(t) = e−t/600/600. На сколько в среднем опаздывает студент?
Сначала проверим нормировку. Минимальное время опоздания a = 0, максимальное b = +∞. Поэтому:
∞ |
∞ |
|
|
|
|
Z0 |
(e−t/600/600)dt = − Z0 |
e−t/600d(−t/600) = |
|||
|
|
= (−1) e−t/600 |
0 |
= 1 |
|
∞
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Вероятность того, что время опоздания будет лежать в диапазоне от t до t + dt равна, ρ(t)dt. Среднее время опоздания равно:
∞∞
ZZ
hti = |
tρ(t)dt = t(e−t/600/600)dt = 600с = 10мин |
0 |
0 |
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Вероятностное описание движения молекул
Так как молекулы двигаются хаотически, мы не можем описать движение каждой них.
Но на самом деле нам и не требуется информация об индивидуальных движениях молекул. Нам достаточно описать их движение в среднем.
Для этого нужно найти плотности вероятностей обнаружить наугад выбранную молекулу в том или ином состоянии и затем выполнить усреднение.
Такие плотности вероятности называются функциями распределения молекул по состояниями или просто функциями распределения.
Отметим, что в теории вероятностей понятие функции распределения вероятностей имеет немного иной смысл.
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Вероятностное описание движения молекул
Так как молекулы двигаются хаотически, мы не можем описать движение каждой них.
Но на самом деле нам и не требуется информация об индивидуальных движениях молекул. Нам достаточно описать их движение в среднем.
Для этого нужно найти плотности вероятностей обнаружить наугад выбранную молекулу в том или ином состоянии и затем выполнить усреднение.
Такие плотности вероятности называются функциями распределения молекул по состояниями или просто функциями распределения.
Отметим, что в теории вероятностей понятие функции распределения вероятностей имеет немного иной смысл.
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Вероятностное описание движения молекул
Так как молекулы двигаются хаотически, мы не можем описать движение каждой них.
Но на самом деле нам и не требуется информация об индивидуальных движениях молекул. Нам достаточно описать их движение в среднем.
Для этого нужно найти плотности вероятностей обнаружить наугад выбранную молекулу в том или ином состоянии и затем выполнить усреднение.
Такие плотности вероятности называются функциями распределения молекул по состояниями или просто функциями распределения.
Отметим, что в теории вероятностей понятие функции распределения вероятностей имеет немного иной смысл.
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Вероятностное описание движения молекул
Так как молекулы двигаются хаотически, мы не можем описать движение каждой них.
Но на самом деле нам и не требуется информация об индивидуальных движениях молекул. Нам достаточно описать их движение в среднем.
Для этого нужно найти плотности вероятностей обнаружить наугад выбранную молекулу в том или ином состоянии и затем выполнить усреднение.
Такие плотности вероятности называются функциями распределения молекул по состояниями или просто функциями распределения.
Отметим, что в теории вероятностей понятие функции распределения вероятностей имеет немного иной смысл.
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
Вероятностное описание движения молекул
Так как молекулы двигаются хаотически, мы не можем описать движение каждой них.
Но на самом деле нам и не требуется информация об индивидуальных движениях молекул. Нам достаточно описать их движение в среднем.
Для этого нужно найти плотности вероятностей обнаружить наугад выбранную молекулу в том или ином состоянии и затем выполнить усреднение.
Такие плотности вероятности называются функциями распределения молекул по состояниями или просто функциями распределения.
Отметим, что в теории вероятностей понятие функции распределения вероятностей имеет немного иной смысл.
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Дискретные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
дискретной
случайной
величины
Непрерывные
случайные
величины
Пример
вычисления
среднего
непрерывной
случайной
величины
Вероятностное
описание
движения
молекул
|
Основы |
|
молекулярной |
|
физики и |
|
термодинамики. |
|
Функции |
|
распределения |
|
Давление |
|
идеального газа |
|
Закон Дальтона |
|
Понятие функции |
|
распределения |
4. Распределение Больцмана |
Распределение |
Больцмана |
|
|
Постановка |
|
задачи |
|
Вывод формулы |
|
Границы |
|
применимости |
|
распределения |
|
Больцмана |
|
Пример |
|
использования |
|
распределения |
|
Больцмана |
24/31
Постановка задачи
В отсутствии внешних сил средняя концентрация n молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация иная.
Рассмотрим газ в поле силы тяжести. Под действием этой силы молекулы стремятся собраться на дне сосуда.
Тепловое движение препятствует этому и в результате образуется некоторая равновесная (в среднем) концентрация, которая зависит от высоты.
Требуется найти формулу для концентрации.
Основы
молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения
Давление идеального газа
Закон Дальтона
Понятие функции распределения
Распределение
Больцмана
Постановка
задачи
Вывод формулы
Границы
применимости
распределения
Больцмана
Пример
использования
распределения
Больцмана
25/31