2. Монотонные классические модальные логики

Идея применения аппарата модальных логик в задачах представления знаний для интеллектуальных систем различного назначения начинает завоевывать все более прочные позиции наряду с такими общепризнанными моделями как семантические сети и их разновидности – фреймы. Для инженерии знаний важны не только формальные системы модальной логики (так называемые синтаксические системы), но и возможные интерпретации или моделитаких систем, т.е. семантика. Мы остановимся как на синтаксической, так и на семантической стороне этой проблемы. Для лучшего понимания немонотонных рассуждений сначала изложим основные понятия классических модальных логик, которые положены в основу построения логик немонотонного типа. Изложение начнем с исчисления предикатов первого порядка, являющегося базой для построения модальных логик.

2.1. Исчисление предикатов первого порядка как основа для построения модальной логики

1. Аксиомы классического исчисления высказываний (Рассела-Бернайса).

1.1. ├ (p  p)  p,

1.2. ├ p  (p  q),

1.3. ├ (p  q)  (q  p),

1.4. ├(pq)((rp)(rq)),

где p,q,r– пропозициональные переменные.

Понятие правильно построенной формулы (в дальнейшем просто формулы) определяется обычно и здесь не приводится.

2. Аксиомы исчисления предикатов, выраженные в виде схем.

2.1. ├x(PQ)(xPxQ).

2.2. Пусть y/xесть результат подстановкиyвместо каждого свободного вхождения переменнойxвP. Тогда, еслиyне окажется связанной вPна тех местах, где переменнаяxбыла свободной, то├xP(y/x)P.

2.3. ├xyPyxP.

Здесь PиQ– предикаты исчисления предикатов, аxиy– предметные переменные.

3. Правила вывода.

Правило подстановки в нашей системе со схемами аксиом не требуется.

3.1. Modusponens(правило отделения): если├Pи├PQ, то├Q.

3.2. Правило обобщения: если ├P, то├xPпри условии, чтоxне свободна вP.

4. Определения.

4.1. x PозначаетxP.

4.2. PQозначаетx(PQ).

4.3. PQозначаетx(PQ).

Приведем (без вывода) основные теоремы (написанные в виде схем) и правила предложенного исчисления.

5. Отрицание.

5.1. ├х РхР.

5.2. ├х РхР.

5.3. ├х РхР.

5.4. ├х РхР.

6. Подчинение (переменная у не связана в Р на тех местах, где х свободна).

6.1. ├х Р(у/х)Р (= 2.2).

6.2. ├(у/х)Рх Р.

6.3. ├х Рх Р.

7. Дистрибутивность кванторов по отношению к & и .

7.1. ├ x (P & Q)  (x P & x Q).

7.2. ├ (x P  x Q)  x (P  Q).

7.3. ├ x (P  Q)  (x Р  x Q).

7.4. ├ x (P & Q)  (x P & x Q).

7.5. ├ x (P&Q)  xP.

8. Дистрибутивность кванторов по отношению к  и .

8.1. ├ x (P  Q)  (x P  x Q) (= 2.1).

8.2. ├ (x (P  Q) & x P)  x Q.

8.3. ├ x (P  Q)  (x P  x Q).

8.4. ├ (x (P  Q) & x P)  x Q.

8.5. ├ x (P  Q)  (x P  x Q).

8.6. ├ x (P  Q)  (x P  x Q).

9. Правила дедукции.

9.1. Если ├x(PQ), то├xPxQ.

9.2. Если ├x(PQ), то├xPxQ.

9.3. Если ├x(PQ), то├xPxQ.

9.4. Если ├x(PQ), то├xPxQ.

Здесь логические связки ипредставляют собой обычные импликацию и эквивалентность соответственно (иногда их называют материальными связками), аиназываются формальными связками.

2.2.Вспомогательная логика как основа перехода к модальному исчислению высказываний

В логике предикатов первого порядка всякое предложение (формула свободных переменных) – это утверждение о некотором определенном факте. Но в естественном языке часто говорят о допустимости чего-либо, о гипотетических событиях, целях, которые можно пытаться достигнуть. Большая часть фраз языка может быть то истинной, то ложной в зависимости от обстоятельств, текущего момента, точки зрения каждого из нас. В естественных языках модальности «возможный», «необходимый» выражаются вспомогательными глаголами, такими как «могу» и «должен».

Модальные характеристики высказываний изучались на всем протяжении развития логики. Еще Аристотель наряду с ассерторической силлогистикой, т.е. теорией умозаключений из утверждений вида «Р присуще всякому S», «Р не присуще ни одномуS», «Р присуще некоторомуS» и «Р не присуще некоторомуS», рассматривал и модальную силлогистику. В посылки и заключение модального силлогизма могут входить утверждения вида «Рнеобходимоприсуще всемS», «Рвозможноприсуще всемS» и т.д. (такое использование модальных выражений получило впоследствии название модальностейdere). Хотя общепринятого построения модальной силлогистики Аристотеля мы не имеем, своеобразие модальной силлогистики Стагирита состоит в том, что он допускал переход от необходимой большей посылки и ассерторической меньшей к необходимому заключению: от «Р необходимо присуще М» и «М присущеS» к «Р необходимо присущеS».

Возможность и необходимость называются алетическими модальностямиилимодальностями возможности. Так же, как кванторыивводились в синтаксисе логики первого порядка, можно построить формальный язык, используя пару понятий возможно/необходимо как кванторы, действующие на формулы. Логическая система, базирующаяся на операторах «возможно, что» и «необходимо, чтобы», называетсялогикой возможногоилиалетической логикой.

Для обозначения модальности «необходимо» используется символ . ФормулаFчитается «необходимо, чтобыF» или «Fнеобходимо». ФормулаFистинна тогда и только тогда, когдаFнеобходимо истинна. Двойственныйоператор обозначается. ФормулаFчитается «возможно, чтоF» или «Fвозможно».Fистинна, еслиFможет оказаться истинной. Один из этих операторов принимается за основной, а другой определяется через него и отрицание (эквивалентностьFFможно установить, применяя доводы, подобные тем, которые используются при доказательстве соотношенияхFхF).

В естественном языке употребляются и другие модальные формы, которые можно перенести в логику. Деонтическая логикавводит модальности «разрешено» и «обязательно», реализующие модальные языковые конструкции «разрешается» и «надо, чтобы».Эпистемическая логикаилилогика знанияисследует модальности «знания» и «веры», тогда каквременная логикавводит модальности «иногда» и «всегда» («в будущем» и «в прошлом») вместе с их отрицаниями «часто» и «никогда».

Иногда используют термин модальная логикадля обозначения совокупности всех этих логик. Но старейшая среди них – алетическая логика. Поэтому чаще всего именно ее называют модальной.

Модальная логика в отличие от логики предикатов первого порядка рассматривает утверждения при некоторых обстоятельствах, случаях. Мы не придаем термину «случай» точного значения, например, не отождествляем случай с моментом времени или с возможными мирами, по крайней мере, в принципе. Точные значения этого термина могут быть введены в приложениях модальной логики. Заметим только, что различие случаев не должно отождествляться cразличием индивидов или предикатов. Для обозначения «случая» или «обстоятельства» введем соответствующую переменнуюt. Это переменная особого рода, отличная от предметных переменных. Фразу «событиеpпроисходит в случаеt» запишем какpt. Утверждение «событиеpпроисходит с необходимостью» выразимо на нашем вспомогательном языке с помощьюtpt(для любогоtсобытиеpпроисходит в случаеt), а «событиеpвозможно» – черезtpt(для некоторогоtсобытиеpпроизойдет в случаеt).

В логике высказываний pявляется произвольным предложение в том смысле, что оно обозначает утверждение о произвольных мыслимых фактах. В модальной логике в разных случаях факты могут иметь различное содержание. Поэтому символpв излагаемой ниже модальной логике будет обозначать утверждение о произвольном содержании факта в любом из случаев.

Перед тем, как перейти собственно к модальному исчислению высказываний, рассмотрим некоторое промежуточное (вспомогательное) исчисление, в котором в каждый предикат введена дополнительная переменная t, а модальности выражены посредством кванторов.

Задан бесконечный список переменных p, q, r, s, ..., которые в нашем вспомогательном исчислении будем обозначатьP, Q, R, S, ..., а переменнуюt– черезT.

Предложения этого исчисления определяются рекурсивно следующим образом:

1. выражения вида PT– предложения. Однако ниP, ниTв отдельности предложениями не являются;

2. если MиN– предложения, тоM,M &N,M N,M N,M N– тоже предложения;

3. если M– предложение, тоTMиTM– тоже предложения.

Постулаты вспомогательного исчисления формулируются «параллельно» постулатам исчисления предикатов 1-го порядка. При этом необходимо учесть следующее.

1. Правило образования должно быть таким, чтобы выражение KTKTPT(гдеKиK обозначаютили) было правильно построенным. ВKTKTPTсамое правоеTсвязано внутренним кванторомKT.

2. Правило обобщения, параллельное правилу (3.2) существенно.

3. Можно доказать, что KTKTPTстрого эквивалентно сводится кKTPT.

4. Не существует аналога аксиомы (2.3), т.е. вспомогательное исчисление является аналогом исчисления одноместных предикатов.

Очевидно, что если некоторое выражение исчисления предикатов 1-го порядка доказуемо, то соответствующее ему выражение вспомогательного исчисления тоже доказуемо.

Теперь перейдем к модальному исчислению высказываний посредством следующей замены:

pt, qt, rt, ..., t, t, ,

на p, q, r, ..., , , , .

Эта замена ввиду взаимно однозначного соответствия сохраняет доказуемость.