4.1.1. Основные свойства семантики, основанной на аргументах

Рассмотрим семантику аргументационных систем, т.е. условия, которым должны удовлетворять множества подтвержденных аргументов. Аргументационные системы связаны не с истинностью высказываний, а с подтверждением принятия высказывания как истинного. Остановимся на понятии подтвержденного аргумента. Пусть на множестве аргументов определено отношение поражения, тогда может быть дано следующее определение статуса аргумента:

Определение 4.1.Аргументы либо подтверждаются, либо не подтверждаются.Аргумент подтверждается, если все аргументы, поражающие его не подтверждаются.Аргумент не подтверждается, если он поражается подтвержденным аргументом.

Пример 4.1. Пусть аргумент В поражает аргумент А, а аргумент С поражает аргумент В. Например, А = “Твити не летает будучи птицей”, В = “Твити не летает, так как он - пингвин”, С = “Наблюдение, говорящее о том, что Твити – пингвин, не является надежным”. Анализируя взаимоотношения аргументов, находим: С подтверждается, так как он не поражается никаким аргументом. Аргумент В не подтверждается, так как В поражается аргументом С. Следовательно А подтверждается, так как хотя А поражается аргументом В, но его статус восстанавливается аргументом С, так как С делает В не подтвержденным.

Если аргументы равной силы интерферируют, то неясно, какой из аргументов останется непораженным.

Пример 4.2. Пусть аргумент А поражает В, и аргумент В поражает А. С процедурной точки зрения здесь возникает цикл, а с декларативной – существуют два возможных способа назначения статуса по определению 4.1: аргумент А подтверждается, а В – нет, и наоборот.

Было предложено два подхода к решению проблемы:

1. Изменить определение 4.1 так, чтобы статус присваивался единственным образом, и если возникает “неразрешимый конфликт”, то конфликтующие аргументы получают статус “не подтверждается”.

2. Можно допустить несколько вариантов назначения статуса. Аргумент истинно подтверждается, если он получает это статус при всех возможных назначениях.

Существует и другая проблема – самопоражающие (self-defeating) аргументы.

Пример 4.3. Пусть аргумент А поражает аргумент А. Предположим что, А не подтверждается. Тогда все аргументы, поражающие А, не подтверждаются. Следовательно, аргумент А должен подтверждаться. Возникает противоречие. Если же аргумент А подтверждается, то снова приходим к противоречию.

Таким образом, принимая определение 4.1, необходимо предполагать, что самопоражающие аргументы отсутствуют.

4.1.2. Назначение уникального статуса аргументам

Назначение аргументу уникального статуса можно выполнить двумя способами: определить назначение статуса в терминах оператора фиксированной точки или ввести рекурсивное определение для понятия подтвержденного аргумента, определяя дополнительно понятие подаргумента.

Определения фиксированной точки.Поллок, Симари, Луи, Праккен и Сартор используют подход, связанный с понятием восстановления. Здесь учитывается следующее наблюдение: аргумент, пораженный другим аргументом, может быть подтвержден, если он восстанавливается третьим аргументом. В результате Данг определяет понятие приемлемости следующим образом:

Определение 4.2.Аргумент Априемлемпо отношению к множеству аргументов S тогда и только тогда, когда каждый аргумент, поражающий А, поражается аргументом из множества S.

Аргументы множества S могут рассматриваться как аргументы, способные к восстановлению статуса аргумента А, если А поражается. Но одного понятия приемлемости оказывается недостаточно. Например, пусть в примере 4.2 S={A}. Нетрудно видеть, что А приемлем по отношению к S, так как все аргументы, поражающие А (т.е. аргумент В), поражаются самим аргументом А из S. Очевидно, мы не хотим, чтобы аргумент восстанавливал сам себя. Вот почему необходимо использовать оператор фиксированной точки.

Определение 4.3.Пусть Args – множество аргументов, упорядоченное бинарным отношением поражения. Тогдаоператор Fопределяется так:

• F: Pow(Args)->Pow(Args) (Pow – степень множества);

• F(S) = {AArgs | A приемлем по отношению к S}.

У оператора F существует наименьшая фиксированная точка. Если аргумент приемлем по отношению к S, то он приемлем по отношению к любому надмножеству S, т.е. F – монотонный. Чтобы не было самовосстановления, будем считать, что подтвержденные аргументы принадлежат наименьшей фиксированной точке. Для примера 4.2 множества {A} и {B} являются фиксированными точками, но не наименьшими, поэтому ни один из аргументов не защищен от поражения: F() =.

Определение 4.4.Аргументподтверждаетсятогда и только тогда, когда он является элементом наименьшей фиксированной точки оператора F.

Утверждение 4.1.Рассмотрим следующую последовательность аргументов:

• F⁰ = 

• Fⁱ⁺¹ = {AArgs | A приемлем по отношению к F}.

Выполняются следующие свойства:

1. Все аргументы в подтверждаются.

2. Если каждый аргумент поражается самое большее, конечным числом аргументов, то аргумент подтверждается тогда и только тогда, когда он принадлежит .

При итеративном построении сначала добавляются все аргументы, которые не поражаются никаким из аргументов, и каждое новое применение F добавляет все аргументы, восстановленные аргументами, уже находящимися в построенном множестве. Это достигается благодаря использованию понятия приемлемости. Пусть мы применяем F для i-го шага: тогда для любого аргумента А, если все аргументы, поражающие А сами поражаются аргументом из F^i-1, то АFⁱ. Например, для задачи из примера4.1 получаем:

F¹= F() = {C}

F² = F(F¹) = {A,C}

F³= F(F²) = F².

Доказано, что применение оператора F эквивалентно двукратному применению оператора G, т.е. F = GG.

Определение 4.5.Пусть Args – множество аргументов, упорядоченное бинарным отношением поражения. Тогдаоператор Gопределяется как:

• G : Pow(Args) -> Pow(Args)

• G(S) = {A Args | A не поражается никаким аргументом в S}.

Рассмотрим последовательность, получаемую с помощью итеративного применения оператора G к пустому множеству, и определим, что аргумент А подтверждается тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого шага (уровня) n в последовательности, А остается в G_mпри всех mn.

Определение 4.6.Определимуровни при доказательстве:

• все аргументы принадлежат множеству на уровне 0;

• аргумент принадлежит множеству на уровне n+1 тогда и только тогда, когда он не поражается никаким аргументом на уровне n;

• аргумент подтвержден тогда и только тогда, когда существует такое значение m, что для любого nm аргумент принадлежит множеству уровня n.

Это определение связано с определением 4.5, подобно тому, как утверждение 4.1 соответствует определению 4.3. Например, для задачи из примера 4.1 находим, что подтвержденными аргументами являются А и С. Действительно, С принадлежит множеству на всех уровнях, а А появляется на втором уровне и остается далее на всех последующих уровнях.

Уровень	0	1	2	3
Множество аргументов	A,B,C	C	A,C	A,C

Для примера 4.2 подтвержденными оказываются и аргумент А, и аргумент В.

Уровень	0	1	2	3
Множество аргументов	A,B	A,B	A,B	A,B

Рассмотрим бесконечную цепь аргументов: A₁, A₂, … , A_n, …, поражающих друг друга: A₁поражается аргументом A₂ … поражается аргументом A_n… Наименьшая фиксированная точка цепи пуста, так как ни один из аргументов не восстанавливается, т.е. F() =. Заметим, что существуют две другие фиксированные точки, которые удовлетворяют определению 4.1, т.е. множество всех А_i, где i – нечетное, и множество всех А_i, где i – четное.

Оправдываемые аргументы.Главная особенность приведенных определений в том, что они позволяют различать два типа подтвержденных аргументов. Например, в примере 4.1 хотя аргумент В и поражает аргумент А, аргумент А все же подтверждается, так как его восстанавливает аргумент С. Рассмотрим еще один пример.

Пример 4.4. Пусть имеется три аргумента A, B и С: А поражает В, В поражает А и А поражает С. Интерпретация может быть следующей:

A = “Диксон – пацифист, так как он квакер, и у него нет пистолета, так как он пацифист”;

B = “Диксон не пацифист, так как он республиканец”;

C = “У Диксона есть пистолет, так как он живет в Чикаго”.

По определениям 4.4 и 4.6 ни один аргумент не подтверждается. Для А и В это верно, так как они связаны как и в примере 4.2, а для С – так как этот аргумент поражается аргументом В. Здесь становится явным главное отличие между двумя примерами. В отличие от примера 4.1, аргумент А хотя и не подтверждается, не поражается ни одним подтвержденным аргументом. Следовательно, А сохраняет потенциальную возможность не допустить подтверждения С: не существует подтвержденных аргументов, восстанавливающих аргумент С путем поражения аргумента А. В результате аргумент А оказывается, так называемым, зомби-аргументом, т.е. он не подтверждается, и в то же время, не полностью опровергнут. Поэтому у аргумента А некоторый средний статус, при котором он все еще может влиять на статус других аргументов. Этот статус в дальнейшем будем обозначать как “оправдываемый” (defensible).

Определение 4.7.Будем называть аргументаннулированнымтогда и только тогда, когда он не подтверждается, и либо самопоражается, либо поражается подтвержденным аргументом. Аргументоправдываемыйтогда и только тогда, когда он не подтверждается и не аннулируется.

Пример 4.5. Рассмотрим два аргумента A и B: аргумент А поражает сам себя и поражает аргумент В. Интуитивно, желательно, чтобы В подтверждался, так как единственный поражающий его аргумент является самопоражающим. Однако F() =, поэтому ни А, ни В не подтверждаются. Более того, оба этих аргумента являются оправдываемыми, так как они не поражаются подтвержденными аргументами. Следовательно, требуется модифицировать определения 4.3 и 4.6, чтобы аргумент А в этом примере аннулировался, а аргумент В – подтверждался.

Определение 4.8.Поллок определяетподтверждение аргументаследующим образом:

• аргумент находится на уровне 0 тогда и только тогда, когда он не поражает сам себя;

• аргумент находится на уровне n+1 тогда и только тогда, когда он принадлежит уровню 0 и не поражается ни каким аргументом на уровне n;

• аргумент подтверждается тогда и только тогда, когда существует такое значение m, что для каждого nm аргумент принадлежит уровню n.

Дополнительные условия, говорящие о том, что аргумент не поражает сам себя, и что он принадлежит уровню 0, позволяют исключить все самопоражающие аргументы для каждого уровня и делают невозможным для них исключение других аргументов.

Возможен и другой подход (Праккен, Сартор), когда вводится специальный “пустой” аргумент, который не поражается никаким другим аргументом и, по определению, поражает любой самопоражающий аргумент.

Рекурсивные определения.Существует другой подход к назначению уникального статуса аргументам. Он состоит из двух частей: во-первых, сделать явной идею о том, что аргументы обычно строятся по шагам, начиная от промежуточных, и заканчивая финальными заключениями (например, в примере 4.4 промежуточное заключение – “Джон - пацифист” и финальное – “у Диксона нет пистолета”). Заметим, что главное интуитивное замечание об оценке аргументов состоит в том, что аргумент не может быть подтвержден, если не подтверждены все его подаргументы. Во-вторых, ограничить восстановление случаями, когда оно достигается атакой на подаргумент.

Для введения формализованных определений будем считать, что у аргументов существуют подаргументы.

Определение 4.9.Аргумент Аподтверждаетсятогда и только тогда, когда:

1. А не является самопоражающим аргументом и

2. все подаргументы аргумента А подтверждаются и

3. все аргументы, поражающие аргумент А, самопоражаются или имеют по крайней мере один подаргумент, который не подтверждается.

Возникает вопрос, как удается избежать множественного присваивания статуса? Это определение по-разному обрабатывает два вида восстановления. Интуитивно, аргументы могут быть восстановлены двумя способами. В примере 4.1 способ, с помощью которого аргумент С восстанавливает аргумент А, состоит в атаке на подаргумент В, т.е. аргумент для заключения, что Твити – пингвин. Сделаем эту связь подаргументов явной, изменив пример следующим образом (обозначим через X^-подаргумент аргумента X).

Пример 4.6. Рассмотрим четыре аргумента: А, В, B^-и C такие, что аргумент В поражает аргумент А и аргумент С поражает аргумент B^-. Согласно определению 4.9, А и С подтверждаются, и В и В^-- не подтверждаются (В не подтверждается по второму условию). Итак, аргумент С восстанавливает аргумент А, не поражая аргумент В непосредственно, а поражая его подаргумент В^-.

Другой вид восстановления можно проиллюстрировать на примере 4.1.

Пример 4.7. Рассмотрим три аргумента А, В и С: А поражается В, В поражается С. Возможна следующая интерпретация:

A = “Твити летает, так как он - птица”;

B = “Твити не летает, так как он - пингвин”;

C = “Твити летает, так как он необычный пингвин”.

По определениям 4.3 и 4.6, и аргумент А, и аргумент С подтверждаются. В частности, А подтверждается, так как он восстанавливается с помощью аргумента С. Однако, по определению 4.9, только аргумент С подтверждается. Это происходит из-за того, что третье условие определения 4.9 требует, чтобы аргумент А не мог поражаться ни одним аргументом: оно не оставляет возможности восстановления с помощью прямого поражения аргументов, поражающих аргумент А. Следовательно, аргумент С не восстанавливает А. Это кажется интуитивно верным: можно заключить, что Твити летает не из-за того, что он – птица, а из-за того, что он – необычный пингвин.

Интуитивное различие между двумя типами восстановления в том, что в примере 4.6 аргументы поражают друг друга по отношению к различным заключениям, тогда как в примере 4.7 все конфликты происходят по отношению к одному и тому же заключению. В то время, как неявная форма восстановления (с помощью поражения подаргумента) соответствует базовому принципу аргументации, пример 4.7 показывает, что с прямым восстановлением все не так очевидно. Возникает вопрос, удастся ли с помощью этого подхода исключить множественное присвоение статуса в примере 4.2? Заметим, что определение 4.9 не допускает восстановления аргументов по отношению к их конечным заключениям. И А, и В не подтверждаются, так как оба эти аргумента поражаются по отношению к их конечным заключениям (Никсон - пацифист или не пацифист). Единственный способ восстановить аргумент А = “Никсон - пацифист” состоит в поражении подаргумента В = “Никсон - республиканец”.

В определениях фиксированной точки мы неявно предполагали, что один из способов поражения аргумента – это поражение одного из его подаргументов. И в подходе, использующем рекурсивные определения, мы допускаем, что, напротив, поражение аргумента не зависит от поражения подаргумента. Отсюда вытекают практически важные следствия. Если подход фиксированной точки применяется для системы, различающей аргументы и подаргументы по другим соображениям, то необходимо доказать, что второе условие определения 4.9 выполняется. Так как приведенные определения аргументов и поражения довольно абстрактны, приведем еще несколько примеров.

Оказывается, определение 4.9 не совсем корректно. Рассмотрим следующий пример (это версия примера 4.4, в котором подаргументы определены явно).

Пример 4.8. Пусть даны аргументы А^-, А, В и С: A^-и В поражают друг друга, аргумент А поражает аргумент С. Можно ввести следующую интерпретацию:

A^-= “Диксон – пацифист, так как он - квакер”;

B = “Диксон – не пацифист, так как он - республиканец”;

A = “У Диксона нет пистолета, так как он - пацифист”;

C = “У Диксона есть пистолет, так как он живет в Чикаго”.

Согласно определению 4.9, С подтверждается, так как единственный аргумент, поражающий аргумент С, - это аргумент А, который содержит неподтвержденный подаргумент, т.е. аргумент А^-. Интуитивно, аргумент А должен сохранять свою способность к предотвращению аргумента С, так как подаргумент аргумента А не поражается подтвержденным аргументом.

Существует способ изменения определения 4.9: его нужно сделать явно “трехзначным”, изменив фразу “не подтверждается” в третьем условии на “аннулируется”.

Определение 4.10.Будем считать, что аргументаннулируетсятогда и только тогда, когда он не подтверждается и либо поражает сам себя, либо он сам или один из его подаргументов поражается подтвержденным аргументом. Аргументоправдываетсятогда и только тогда, когда он не подтверждается и не аннулируется.

Определение 4.11.Аргумент Аподтверждаетсятогда и только тогда, когда выполняется:

1. А не поражает сам себя и

2. все подаргументы аргумента А подтверждаются и

3. все аргументы, поражающие аргумент А, поражают сами себя, или имеют по крайней мере один подаргумент, который аннулируется.

Для примера 4.8 получается следующий результат: ни один из аргументов не поражает сам себя. Чтобы определить, подтверждается ли аргумент С, мы должны определить статус аргумента А. Аргумент А поражает аргумент С, следовательно, аргумент С подтверждается, если аргумент А аннулируется. Так как аргумент А не поражается, то он может аннулироваться лишь тогда, когда его подаргумент А^-аннулируется. Ни один подаргумент аргумента А^-не поражается, но сам аргумент А^-поражается аргументом В. Тогда если аргумент В подтверждается, то аргумент А^-аннулируется. Аргумент В не подтверждается, так как он поражается аргументом А^-, и аргумент А^-не поражает сам себя и у него нет аннулированных подаргументов. Но тогда аргумент А не аннулируется, т.е. аргумент С не подтверждается. Т.е. все аргументы оправдываемы, что может быть легко доказано.

Сравнение рекурсивных определений и определений с фиксированной точкой. Сравнивая рекурсивные определения и определения с фиксированной точкой можно заметить, что для примера 4.7 результаты применения этих определений различны: интуитивно, лучшим кажется определение с рекурсией. Рекурсивное определение (модифицированное, трехзначное) может работать с зомби-аргументами так же, как и определения с фиксированной точкой. Определения 4.9 и 4.11 не всегда дают однозначное установление статуса аргумента.

Пример 4.9. Пусть имеется четыре аргумента А^-, А, В^-, В: аргумент А поражает аргумент В^-, аргумент В поражает аргумент А^-. Определение4.9 дает два значения статуса:

1. A^-, A подтверждаются;

2. B^-, B подтверждаются.

Кроме того, определение 4.11 еще дает такой вариант назначения статуса, когда все аргументы оправдываемы. Очевидно, последний вариант наиболее желателен, но, не прибегая к помощи определений с фиксированной точкой, по-видимому, нельзя получить один лишь этот результат.

Оценивая подход “назначения уникального статуса”, мы видим, что он может быть аккуратно формализован, если используются определения с фиксированной точкой, тогда как, возможно, более понятный способ введения рекурсивных определений сталкивается с некоторыми проблемами. Но и применяя подход с определениями с фиксированной точкой, можно столкнуться с рядом проблем: с существованием плавающих аргументов и плавающих заключений.

Пример 4.10. Рассмотрим аргументы А, В, C и D: A поражает В, В поражает А, А поражает С, С поражает D. Так как ни один из аргументов не защищен от поражения, по определению 4.4 находим, что все они оправдываемы. Но для аргументов С и D можно получить и другое решение: так как аргумент С поражается и аргументом А, и аргументом В, то аргумент С должен быть аннулирован: постольку, поскольку статус аргумента С принят, отпадает необходимость разрешать конфликт между аргументами А и В. В результате статус аргумента С “плавает” в зависимости от статуса аргументов А и В: и если аргумент С должен быть аннулирован, то аргумент D должен быть подтвержден, так как аргумент С – единственный аргумент, поражающий аргумент D.

Пример 4.11. Предположим, что у аргументов существуют заключения. Рассмотрим аргументы А^-, А, В^-, В: А^-и В^-поражают друг друга, А и В имеют одно и то же заключение. Возможна, например, следующая интерпретация:

А^-= “Брайт – голландец, так как он родился в Голландии”;

B^-= “Брайт – норвежец, так как его родители - норвежцы”;

A = “Брайт любит кататься на коньках, так как он - голландец”;

B = “ Брайт любит кататься на коньках, так как он - норвежец ”.

Как бы ни был разрешен конфликт между аргументами А^-и В^-, всегда спор завершается с аргументом, заключающим, что Брайт любит кататься на коньках. Т.е. нам необходимо принять это заключение как истинное, хотя оно и не поддерживается подтвержденным аргументом. Другими словами, статус этого заключения “плавает” в зависимости от статуса А^-и В^-.

Решить подобные проблемы позволяет подход с назначением множественного статуса для аргументов.