1.4 Зачем нужны нетрадиционные логики?

Как известно, классическая логика типа логики предикатов первого порядка есть формальная система, состоящая из множества термов и операций, множества правил конструирования правильно построенных выражений (синтаксиса), системы аксиом и множества правил вывода. Она дает различные средства формализации и анализа правильности дедуктивных рассуждений. Язык классической логики является основой для выражения декларативных знаний, где рассуждение определяется как операция доказательства общезначимости (противоречивости) логического утверждения.

Так, логика предикатов первого порядка с равенством дает возможность:

• выразить, что нечто обладает определенным свойством, не указывая, что именно (роль -квантификации);

• выразить, что каждый элемент некоего класса обладает определенным свойством, без указания, что представляет из себя каждый такой элемент (роль -квантификации);

• выразить, что хотя бы одно из двух утверждений истинно, не говоря, какое именно (роль дизъюнкции);

• явно сказать, что нечто ложно (роль отрицания);

• утверждать или оставлять неустановленным тот факт, что два различных выражения означают один и тот же объект (роль равенства).

Эти парадигмы полезны и подчас необходимы при решении многих проблем искусственного интеллекта.

Велика роль формальной логики также в семантическом анализе знаний и обосновании выводов. Представить знание – это значит выразить в некотором формализме имеющийся у нас образ мира. Соответствие между миром и его представлением устанавливается семантическим анализом. Такой анализ имеет целью определить объекты представления и уточнить образ мира, определяемый представлением. Следовательно, оно должно позволить осуществлять анализ истинностивысказываний о мире. Иначе говоря, для плодотворности представления нужно, чтобы оно могло быть предметом анализа, использующего информацию из этого представления для выявления того, что свойственно миру, а что нет. С этой точки зрения обоснованный вывод или дедукция «подтверждаются» видением мира, который определяется семантическим анализом представления.

Семантический анализ представленного в некотором формализме знания должен позволять определить, что в этом воображаемом мире влечет истину, а что – ложь. Даже если анализ облечен другими аспектами, подобная операция относится по определениюк компетенции формальной логики и делает особенно полезным обращение к теории моделей.

Классическая логика формализует строго корректные рассуждения и, к сожалению, не принимает во внимание некоторые аспекты человеческих рассуждений (здравый смысл, неопределенность, противоречивость, нечеткость информации). Имея дело с неполной, неточной, противоречивой или нечеткой информацией, человеческие рассуждения всего лишь правдоподобны и должны подвергаться пересмотру (ревизии). Для представления такой информации, семантического ее анализа и обоснования выводов и разработаны нетрадиционные, «нестандартные» логики, являющиеся расширением классических логик. Эти расширения касаются языка логики и понятия вывода.

Возвращаясь к примеру о том, что большинство студентов юны, мы видели, что связывание этого утверждения квантором общности приводило к его состоятельности, если не было исключений. Любое исключение типа «Петров – студент, но он не юн» приводило к противоречию БЗ. Перечисление всех исключений становится нереальным при работе с прикладными системами. Таким образом, роль квантора общности при анализе рассуждений здравого смысла может быть подвергнута сомнению.

Однако, не перечисляя все исключения, мы можем выразить исключение неявным образом, например, хСтудент(х) &Юн(х) – существуют неюные студенты без указания их имен. Однако, такого типа формулы сложны при их обработке вследствие нечеткости термина «существуют». Можно ли ограничиться одним неюным студентом или их большинство? Отсюда и роль квантора существования также становится недостаточной при анализе и выводе рассуждений здравого смысла.

Далее, если в БЗ имеется факт «Иванов – студент», то вывод «Иванов юн» может быть осуществлен только введением предположения об уникальности имен, т.е.(Иванов = Петров). Отсюда для вывода желаемых заключений в логике предикатов с равенством необходимо сначала доказать, что эти заключения не попадают под случай исключений.

Если закон исключенного третьего (tertiumnondatur) выполняется в классической формальной логике, то он может не выполняться в нетрадиционных логиках. Действительно, почему Студент(Петров)Студент(Петров) = И, когда мы можем считать, что статус Петрова не известен.

Роль отрицания также может быть неоднозначной в таких логиках. Будем называть факты, принимающие значение «ложь», негативными фактами. Они явноприсутствуют в БЗ. Кроме явного отрицания в БЗ могут находиться факты, которые не доказуемы в данной системе, как их отрицания (negationasfailure), если мы придерживаемся предположения (гипотезы) о замкнутом мире. Содержательно это значит, что фактqсчитается доказуемым, если любое доказательствоqтерпит неудачу. Придерживаясь этого предположения, считаем, что нет «брешей» в знании предметной области и это знание полно.

К сожалению, предположение о замкнутом мире не всегда бывает продуктивным при рассмотрении случаев пересматриваемых рассуждений. Пусть Т – множество формул, и имеет место предположение о замкнутом мире, т.е. ASS(T) = {q | q– атомарная формула иnot T ├ q}. Тогда для случаяT = {a  b} вASS(T) находятся кака, так иb, которые вместе с {a b} дают противоречие.

Что касается вывода и его свойств, прежде всего, остановимся на правилах вывода ModusPonensиModusTollens. Как мы уже видели на примере о том, что большинство студентов юны и Петров – студент, вывод о юности Петрова получается применением правилаModusPonens. Считая эти утверждения выполнимыми, мы оставляем возможность для пересмотра (ревизии) заключения при поступлении новой информации. Сложнее обстоит дело сModusTollens, который получается применением теоремы дедукции и аксиомы контрапозиции к утверждениюp  q, т.е. еслиp  q ├ q  pи выводимоq, то будет выводимоpили ├ p  qи ├ q, то ├ p. Возвращаясь к нашему примеру, мы имеем:

1. большинство студентов юны;

2. Петров не юн.

Следовательно, применяя ModusTollens, получим: «Петров не является студентом». Интуитивно чувствуется, что для таких выполнимых утверждений, идя от следствия к причине, степень уверенности конкретного факта, связанного с причиной, становится недостаточной для такого вывода.

Из всех свойств вывода остановимся на свойстве немонотонности. Как мы уже видели, свойство монотонности препятствует прямой формализации пересматрива­емых рассуждений. Следовательно, с чисто синтаксической точки зрения построение немонотонной системы вывода делает необходимым ослабление свойств дедуктивных систем классической логики.

Логика умолчаний Рейтера является одной из версий немонотонных рассуждений. В ней немонотонность обусловлена необщезначимостью правил вывода, присущих той или иной прикладной области.

Тесно связан с рассуждениями по умолчанию абдуктивный вывод, теория которого была заложена Пирсом. Формально абдукция устанавливает, что из P  QиQвозможно вывестиP. Однако абдукция является несостоятельным правилом вывода, означающим, что заключение необязательно истинно для каждой интерпретации, в которой истинны посылки.

Пусть Th,fиh– три множества замкнутых формул языка логики предикатов первого порядка, представляющие знание о рассматриваемой предметной области, наблюдаемое событие этой области и объяснение этого события соответственно. Предположим, чтоfсовместимо сTh(т.е.Th & fвыполнимо), ноfне является логическим следствиемTh, т.е.Thне объясняетf. Следовательно, необходимо вывести дополнительные фактыh, объясняющиеfв предполагаемой интерпретации, описаннойTh.

Формально экзистенционально квантифицированная конъюнкция hлитер есть абдуктивное объяснение наблюдаемого события относительно знанияTh, еслиTh, h ╞ f, где, как и раньше, ╞ – знак логического следования.

Рассмотрим пример.

Пример 1.1.

Th:х(Студент(х)Юн(х))

f: Юн(Петров)

h: Студент(Петров), Студент(Иванов) & Юн(Иванов), Студент(Петров) & Смертен(Пет­ров) – три абдуктивных объяснения наблюдаемого событияfотносительноTh.

Заметим, что представление абдуктивного объяснения в виде конъюнкции фактов является синтаксическим ограничением, отличающим абдукцию от других моделей объяснений, например, от индуктивного обобщения.

Ключевой вопросв абдуктивных рассуждения заключается в нахождении так называемых «интересных» объяснений. Эти объяснения могут быть формально охарактеризованы двумя семантическим свойствами:непротиворечивостьюиминимальностью. Интуитивно минимальные и непротиворечивые абдуктивные объяснения интересны в том смысле, что они являются довольно общими фактами относительноThи не вступают в противоречие со знанием предметной области.

Считаем, что абдуктивное объяснение hдля наблюдаемого событияfотносительноThнепротиворечиво (сTh), еслиTh & h– выполнимая формула.

Продолжая пример 1.1 видим, что Студент(Петров) – непротиворечивое абдуктивное объяснение события Юн(Петров) относительно х(Студент(х)Юн(х)). Однако, другое объяснение Студент(Иванов) & Юн(Иванов) является противоречивым абдуктивным объяснением наблюдаемого события Юн(Петров) относительнох(Студент(х)Юн(х)), так как одновременно были бы выводимы Юн(Иванов) иЮн(Иванов).

Аналогично абдуктивное объяснение hдля событияfотносительноThминимально, если каждое абдуктивное объяснение для наблюдаемого событияfотносительноTh, являющееся логическим следствиемh, эквивалентноh.

Из примера 1.1 видно, что Студент(Петров) – минимальное абдуктивное объяснение события Юн(Петров) относительно х(Студент(х)Юн(х)), а Студент(Пет­ров) & Смертен(Петров) таковым не является. Очевидно, что свойство минимальности устраняет объяснения, которые не являются общими. Так, из двух объяснений Студент(Пет­ров) и Студент(Пет­ров) & Смертен(Петров) общим объяснением является Студент(Петров).

Подробнее проблему абдукции и процедуры абдуктивного вывода мы рассмотрим позднее. Здесь же отметим, что процесс абдукции может быть выполнен с помощью процедуры дедуктивного вывода следующим образом: Th, h ╞ fтогда и только тогда, когдаTh, f ╞ h. Этот результат получается применением теоремы дедукции и аксиомы контрапозиции.

В другой немонотонной логике, предложенной Мак-Деромоттом и Дойлом, вводится оператор М, интерпретируемый как «непротиворечивый» (как впрочем и в логике умолчания). Тогда утверждение типа «Как правило (обычно, в большинстве случаев), студенты юны» будет записано в следующем виде: х(Студент(х) & М Юн(х)Юн(х)), т.е. если кто-то является студентом и это не противоречит тому, что он юн, то этот кто-то действительно юн. Если в БЗ вводится информация типа «Петров – студент» и невозможно вывестиЮн(Петров), т.е. М Юн(Петров) истинно, то можно сделать вывод о том, что Петров юн.

Однако система вывода здесь немонотонна, так как введение добавочной информации может блокировать предыдущий вывод. Например, после добавления нового факта, что Петров не юн, первоначальное заключение будет отвергнуто, так как в данном случае М Юн(Петров) не будет истинным.

Трудность вывода в немонотонной системе Мак-Дермотта заключается в том, что понятие «непротиворечивости» здесь довольно «слабое» в том смысле, что истинностные значения утверждений Р и М Р не связаны между собой никаким отношением, т.е. пара {M P,P} необязательно может быть противоречивой.

Мур развивает идею немонотонного вывода дальше, вводя два типа рассуждений по умолчанию. Первыйтип рассуждений характеризуется тем, что он имеет дело с фактами, касающимися внешнего мира: вообще объекты типа Х имеют свойство Р. Если А – объект типа Х, то можно сделать вывод, что А (по-видимому) обладает свойством Р. Например, если Петров – студент, то можно сделать вывод, что (по-видимому) Петров юн.

Второйтип рассуждений, названныйавтоэпистемическимирассуждениями, касается рассуждений, связанных с чьими-то убеждениями (верами). Этот тип рассуждений пересматривается, исходя из текущего состояния знаний агента, из егоинтроспективнойприроды. Например, если мне ничего не известно о том, что Петров не юн, то я делаю вывод, что Петров, будучи студентом, юн.

Механизм рассуждений интроспективен и основан на предположении о том, что все знания, касающиеся этого вопроса, таковы: «если бы Петров был не юн, то я бы об этом знал». Иначе говоря, можно потребовать от рассуждений «общезначимости» относительно этого состояния знаний. Пересматриваемый характер рассуждений протекает из зависимости от состояния знаний. Оно присуще рассуждающему агенту и может изменяться.

Появление нетрадиционных логик связано также с прикладными аспектами создания различного рада интеллектуальных систем, в частности, экспертных систем. Эти системы служат для решения диагностических и классификационных проблем, проблем управления и принятия решений. Знания в таких системах представляются продукциями, имеющими вид: «если А₁и А₂и … и А_n, то В», гдеA_i (i = ) – условия, а В – выполняемое действие. Чтобы подчеркнуть «экспертный» характер таких продукций, в них добавлен так называемый «фактор определенности», подчеркивающий степень неопределенности данного условия и заключения. Неопределенность знания, таким образом, обрабатывается с помощью распространения факторов определенности от условий продукций к их заключениям. Хотя здесь в явной форме исключения не обрабатываются, неопределенность в продукциях предполагает существование исключений. Факторы определенности выражаются численно с привлечением теории вероятностей или аппарата нечеткой логики. Однако такой подход сталкивается с большими трудностями в силу отсутствиястрогой семантикипри взвешивании продукций факторами определенности. Здесь проявляется проблемаобоснования(подтверждения) численного значения фактора определенности, которая усугубляется конфликтными ситуациями в продукциях, проводящих к конфликтным заключениям. Наглядным примером является хорошо известная системаMYCIN, в которой факторы определенности, распространяемые дедуктивно по цепочке вывода, определяются в терминах относительной разницы между апостериорной и априорной вероятностями.

Хотя экспертные системы с факторами определенности продолжают развиваться и проявляют завидное упорство к дальнейшему распространению, нетрадиционные логики для обработки неопределенной, противоречивой, неточной и нечеткой информации продолжают вносить свой вклад в модели и методы представления и обработки знаний.

Резюмируя сказанное, отметим, что при представлении и обработке неполных, противоречивых и немонотонных знаний в интеллектуальных системах необходим аппарат таких нетрадиционных логик как логика умолчания, немонотонная модальная логика, автоэпистемическая логика и ряд других. Для представления и обработки нечетких знаний, отражающих неточность, неопределенность, неоднозначность знаний, используются такие нестандартные логики как вероятностная логика, логика возможности, нечеткая логика и другие.

Естественно, охватить спектр всех нетрадиционных логик в одной книге невозможно. Поэтому мы остановимся лишь на немонотонных нетрадиционных логиках, да и то в неполном объеме, как будет показано ниже.

Следи за тем, как здесь мой шаг ведет К познанью истин, для тебя бесценных, Чтоб знать потом, где пролегает брод.

Данте Алигьери