3.2. Немонотонные логики Мак-Дермотта и Дойла

Немонотонные логики Мак-Дермотта и Дойла являются универсальными аксиоматическими системами, рамки которых аналогичны модальным системам необходимости и возможности, пополненные правилом вывода выполнимыхутверждений. В этих логиках имеем формулы видаp,pиMp(«pвозможна»), истинность которых соответствует факту, чтоpдоказуема, опровергаема и возможна. Интуитивно ясно, чтоpвозможна всякий раз, когда она не опровергаема, т.е.pнедоказуема.

Понятия «возможно» и «необходимо» могут интерпретироваться как «непротиворечиво» и «доказуемо» («известно»). Тогда в рамках немонотонной логики Мак-Дермотта и Дойла утверждение типа «обычно (как правило, типично) студенты юны» будет записано следующим образом: xСт(x) & М Юн(x)Юн(x)), т.е. если кто-то – студент и он возможно (или это не противоречит) юн, то он действительно юн. Если в БЗ поступил факт, что Петров – студент (Ст(Петров)) иЮн(Петров) невозможно вывести (доказать), т.е. М Юн(Петров) истинен, то мы действительно делаем вывод, что Петров юн.

Построим модальный язык первого порядка L, предложенный Мак-Дермоттом.

1. Пусть C,X,FиP– множества символов индивидных констант, переменных, функций и предикатов соответственно.

2. Множество термов из Lопределяется по индукции следующим образом. Терм изL– либо константа из С, либо переменная изX, либо выражение (t₁, t₂, …, t_n), где –n‑местная функция изF, аt₁, t₂, …, t_n– термы изL.

3. Атомарная формула из L– это выражение вида(t₁, t₂, …, t_n), где–n‑местный предикат из Р, аt₁, t₂, …, t_n– термы изL.

Символ nв дальнейшем у предикатов и функций будем опускать.

4. Множество формул из Lопределяется по индукции: формула изL– либо атомарная формула, либоp, либоp  q, либоMp, либоx p. Здесьpиq– формулы изL, М – модальный оператор (),x– переменная из Х.

Теперь зададим немонотонную аксиоматическую систему. Она содержит следующие элементы:

1. «нелогические сведения», являющиеся формулами из Lсо статусом дополнитель­ных аксиом (посылок);

2. схемы логических аксиом;

3. логические правила вывода.

Схемы классических аксиом(Клини):

а) p  (q  p),

б) (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r)),

в) (q  p)  ((q  p)  q),

г) xpp_t/x, где термtсвободен дляxвp,

д) x(pq)(pxq), еслиxне фигурирует вp.

Говорят, что терм tсвободен для переменнойxв формулеp, если ниx, ни произвольная переменная изtне квантифицированы вp. Как и раньше черезp_t/xобозначается формула, полученная изpпутем одновременной замены всех вхожденийxнаt.

Схемы модальных аксиом.

а) Схема аксиомы знания Т: Lpp. Она соответствует аксиоме А₁в нормальном модальном исчислении высказываний.

б) Схема аксиомы дистрибутивности К: L(pq)(LpLq), что соответствует А₃в нормальном модальном исчислении высказываний.

в) Схема Баркан: (x)LpL(x)p.

г) Схема аксиомы позитивной интроспекции 4: LpLLp, или А₄в нормальном модальном исчислении высказываний. Напомним, что нормальная модальная система, пополненная схемами аксиом К, Т и 4, обозначается КТ4 (или, в классической манере,S4).

д) Схема аксиомы негативной интроспекции 5: MpLMp, что эквивалентноLp  LLp. Аналогично, нормальная модальная система, пополненная схемами аксиом К, Т, 4 и 5, обозначается КТ45 (или, в классической манере, S5).

Правила вывода:

а) modusponens:p,pq├q;

б) правило универсального обобщения: p├xp;

в) правило необходимости: p├Lp(формулаpнеобходимо истинна при условии, чтоpистинна);

г) правило немонотонного вывода: «нельзя вывести p» ├Mp.

Это правило так называется потому, что система должна сама обеспечивать отказот своих выводов. Применение этого правила может динамически блокироваться.

Правило немонотонного вывода хорошо высвечивает тройственную роль, предположительно им выполняемую.

1. Оно позволяет выводить, что некоторое утверждениевозможно, т.е. выполнимо с точки зрения логики. Применяя его, можно вывести формулы вида МР. Искомое значение для формулыMpесть «pвозможно» или же «pвыполнимо». Для осуществимости этого надо, чтобыpне было выводимо, что обеспечивается проверкой условия правила немонотонного вывода.

Между тем для эффективной реализации этого приписанного модальному оператору М значения надо, чтобы оно обладало свойствами модальных операторов, выраженных схемами модальных аксиом этой системы.

2. Оно косвенно позволяет принять как «истинные» всего лишьвыполнимые формулы. (Например, еслиMpвыведено по правилу немонотонного вывода и если в данной системе содержится дополнительная аксиомаMp  p, то поMpможно вывестиp). Применение этого способа означает также переход от констатациивыполнимостинекоего выражения к егоутверждению. Данной системе присуща, в некотором смысле, способность воспринимать как истинные формулы с установленной выполнимостью.

3. Оно придает данной системе немонотонный характер. Например, если эта система позволяла вывести формулуMp(или вообще формулуq, вытекающую изMp) и если добавлена новая аксиома, позволяющая в этой системе вывестиp, то формулуqнадо отвергнуть.

Однако это правило немонотонного вывода приемлемым, вообще говоря, не является. Оно зацикливаетопределение отношения выводимости. Его условия (называемые предусловиями) позволяют проверять (до вывода) выполнимость некоего утверждения вместе с уже выведенными утверждениями в этой системе из существующего множества посылок, т.е. оно определяет выводимость в терминах выводимости. Чтобы убедиться в получении противоречия, рассмотрим следующую формулу: Mqq. Если мы используем эту формулу как одну посылку, то благодаря правилу немонотонного выводаq выводима тогда и только тогда, когдаq не выводима (понятно, чтоq выводимапо правилу MP, когда Mq выводима, а Mq, в свою очередь, выводима по правилу немонотонно вывода, когдане выводима q).

Для решения проблемы зацикливания в определении правила немонотонного вывода, а также проблемы характеризации множеств выводимых формул, опишем неподвижные (фиксированные)точки отображения системы вывода во множество посылок А. Интуитивно неподвижные точки соответствуют множествам убеждений (предположений), которые могут быть получены применением стандартных правил вывода классической логики и добавлением формул вида Mp, т.е. это такое устойчивое множество формул, что никакую новую (т.е. не входящую в рассматриваемое множество) формулу нельзя вывести с соблюдением свойства выполнимости.

Рассмотрим сначала одну из монотонных классических модальных систем КТ, или S4, или S5 и назовем ее S.

Определим Th_s(A) как множество формул языкаL, выводимых в системеSиз множества посылок (дополнительных аксиом) А:Th_s(A) = {p  L | A ├_s p}, т.е.Th_s(A) – множество классических теорем из А.

Теперь возьмем одну из немонотонных модальных систем и определим множество предположений В из Lотносительно А какAss_A(B) = {Mq | q  L(qне имеет свободных переменных) иq  B} \ Th_s(A), т.е. это множество формул, предположительных относительно множества В или множество формул, выполнимых вместе с формулами из множества В, но недоказуемых в модальной системеSс использованием множества посылок А.

Нас интересуют такие множества В формул из L, которые являютсянеподвижными точкамиоператораNM_A(B) = Th(A  Ass_A(B)).

Предположим, что В – неподвижная точка оператора NM_A, т.е.NM_A(B) = B.

В этом случае В содержит:

1. все посылки А;

2. все монотонные теоремы для А;

3. множество формул Mq, которые можно непротиворечиво добавить к В;

4. все теоремы из 1), 2) и 3).

Таким образом, неподвижные точки NM_Aсоответствуют множествам формул, интуитивно «санкционированных» посылками из А при предполагаемой интерпретации М, и надо найти решения рекуррентного уравненияB = Th(A  Ass_A(B)).

Правая часть этого уравнения есть множество всех модальных следствий, выводимых из объединения множества посылок А и формул, предположительных относительно искомого множества В. Множество В является неподвижной точкой этого уравнения и называется Немонот._А. Оноустойчивои состоит из всех модальных следствий, выводимых из объединения множества А и множества формул, предположительных относительно этого Немонот._Амножества.

Таким образом, решения приведенного выше рекуррентного уравнения дают (неконструктивноопределяемые)максимальные множестваформул, выводимых с использованием множества посылок А и ссохранениемсвойствавыполнимости. Эти множества содержат все логические следствия из множества посылок А, а также все предположительные относительно них формулы.

Обозначим через ТН(А) множество теорем, получаемых в результате применения к множеству посылок А системы немонотонного вывода, причем применение это осуществляется в соответствии со следующим соотношением:

ТН(A) =L(Немонот._А), т.е. берется пересечение всех неподвижных точек, т.е. говорят, чтонеподвижные точки минимальны. Таким образом, статус теорем придается формулам, принадлежащимвсемнеподвижным точками из немонотонной модальной системы. Это соответствует взгляду, что в случае конфликтной информации, логика не должна отдавать предпочтение ни одному из конфликтных заключений. При отсутствии неподвижных точек ТН(А) определяется как множество всех формул изL.

Отношение немонотонной выводимости, соответствующее системе немонотонного вывода, обозначается через ~ и определяется следующим образом.

Пусть Q₁иQ₂– подмножества изL. ИмеемQ₁  Q₂тогда и только тогда, когдаQ₂  TH(Q₁). МножествоQ₂формул становится с данного момента множествомтеоремдля множества посылокQ₁тогда и только тогда, когда любая формула изQ₂принадлежит всем неподвижным точкам множестваQ₁.

Проблема в подходе с неподвижной точкой заключается в том, что в общем случае неподвижные точки трудно описать и найти, поскольку их определение неконструктивно. Варьируя порядок применения выводов, имеем ноль, одну или больше неподвижных точек.

Приведем несколько примеров, предложенных Мак-Дермоттом и Дойлом.

Пример 3.1. А₁= { }. Если множество посылок пусто, то имеется одна неподвижная точка. Она содержит все общезначимые формулы и формулы вида {Mq | qне является противоречием}.

Пример 3.2. А₂= {Mp  p}. Имеется одна неподвижная точка, содержащая какMp, так иp.

Пример 3.3. А₃= {Mp  p,p}. Имеется одна неподвижная точка. Она не содержит ниMp, ниp. Так А₂А₃, имеем пример немонотонности.

Пример 3.4. А₄= {Mp  q,Mq  p}. У этого множества посылок имеется две неподвижные точкиF₁иF₂. Неподвижная точкаF₁содержитMqиp, но не содержитMpиq, аF₂содержитMpиq, но неMqиp. Действительно, еслиF₁не содержитq, то она содержитMq, откуда по правилуmodusponensвытекает, что она содержитp. Аналогично и дляF₂.

Пример 3.5. А₅= {Mp  p}. Неподвижных точек здесь нет. Действительно, если бы неподвижная точка не содержала быp, то она содержала быMp. Следовательно, она содержала быpв противоречии с предположением. Если бы она содержалаp, то содержала бы иMp. Поэтому формулаMp  pбыла бы выполнимой. Приходим к противоречию, ибоpиMpне могут одновременно фигурировать в одном выполнимом множестве.

Основное достоинство немонотонной логики Мак-Дермотта заключено в методе неподвижной точки, используемом для характеризации устойчивых множеств заключений немонотонной системы, а также в применении модальной логики для формализации пересматриваемых рассуждений.

Впрочем, выбор подходящей для рассмотрения модальной системы остается проблематичным. Желая сопоставить модальному оператору М значение «быть выполнимым», Мак-Дермотт заметил, что наиболее приемлемой модальной логикой является та, которая соответствуетнемонотонной S5-системе. Однако, эта логическая система обнаруживает неожиданное свойство: если А_S5 p, то А ├_S5 p.

Иначе говоря, неттеоремы в немонотоннойS5-системе, котораянебыла бы теоремой в соответствующей монотонной классической системеS5. Мак-Дермотт подверг тогда сомнению полезность немонотоннойS5-системы и посоветовал (не приводя абсолютно убедительных аргументов) выбрать для формализации немонотонности немонотоннуюS4-систему.

В следующем разделе мы покажем, как можно перестроить логику Мак-Дермотта, привлекая моделирование идеально разумного субъекта, интроспективно рассуждающего об исходном множестве предположений. Тогда удовлетворительно решится проблема выбора модальной системы.