2.3.Постулаты, основные теоремы и правила модального исчисления высказываний

Постулаты

1. Все аксиомы исчисления высказывания (1.1 - 1.4).

2. Правило подстановки: всякая доказуемая формула остается доказуемой, если вместо пропозициональной переменной подставить некоторую формулу.

3. Modus ponens (3.1).

4. Определения символов &, ,, т.е.P & Qозначает(PQ),PQозначаетPQ,PQозначает (P  Q) & (Q  P).

5. Правило: если ├Р, то├Р.

6. Аксиомы для модальности.

   1. ├  (p  q)  (  p   q).

   2. Если P– собственная модальность, т.е. предложение, содержащее непустой набори, то├PP.

   3. ├  p  p.

   4. Если P– формула исчисления предикатов 1-го порядка, тоP– формула в модальном исчислении высказываний. ЕслиPиQ– формулы, тоP,PQ,P– тоже формулы.

7. Определения.

   1. P означает P.

   2. PQозначает(PQ).

   3. PQозначает(PQ).

Основные теоремы и правила

Приведем выводимые формулы (теоремы) и правила, соответствующие теоремам и правилам исчисления предикатов первого порядка.

8. Отрицание.

1. ├   p   p.

2. ├  p   p.

3. ├  p   p.

4. ├ p   p.

8. Субординация.

   1. ├  p  p.

   2. ├ p  p.

   3. ├  p  p.

9. Дистрибутивность модальностей относительно &и.

   1. ├  (p & q)  ( p &  q).

   2. ├ ( p   q)   (p  q).

   3. ├  (p  q)  (p  q).

   4. ├  (p & q)  (p & q).

   5. ├  (p & q)  p.

10. Дистрибутивность модальностей относительно условных связок.

    1. ├ (pq)  ( p   q).

    2. ├ ((p  q) &  p)   q.

    3. ├ (p  q)  (p  q).

    4. ├ ((p  q) & p)  q.

    5. ├ (p  q)  (p  q).

    6. ├ (p  q)  (  p   q).

11. Правила дедукции.

    1. Если ├PQ, то├PQ.

    2. Если ├PQ, то├PQ.

    3. Если ├PQ, то├PQ.

1. Если ├PQ, то├PQ.

В дальнейшем символы ибудем называтьстрогимиусловными связками, а символыи– по-прежнему материальными связками.

Рассмотренное нами модальное исчисление высказываний удобно в эвристическом смысле благодаря наличию простого соответствия между ним и одноместным исчислением предикатов первого порядка. Однако, «ввиду своей силы» оно является в некотором смысле «тривиальной системой». Поэтому интересно было бы рассмотреть более «слабые» системы, в которых модальность и строгие связки характеризовались бы менее узкими условиями.

Очевидный путь для получения таких систем состоит в замене некоторых аксиом на более слабые при условии (которое мы считаем здесь выполненным), что преобразуемые или опускаемые аксиомы независимы от остальных аксиом. В результате получим такие важные в классической модальной логике системы, как S1,S4 иS5, которые понадобятся нам для дальнейшего, преимущественно семантического, изложения.

2.4. Система s1

Назовем системой 1 (или S1) систему со следующими постулатами.

1. Аксиомы (исходные предложения).

   1. ├ p&qp.

   2. ├ p&qq&p.

   3. ├ ((p & q) & r)  (p & (q & r)).

   4. ├ p  p & p.

   5. ├ ((p  q) & (q  r))  (p  r).

   6. ├ p  p.

Последняя аксиома (1.6) независимаот предыдущих пяти аксиом, в чем можно убедиться посредством следующей матрицы (группаIVЛьюиса-Лэнгфорда). Напомним, что аксиома называется независимой от остальных аксиом, если она не выводима (не доказуема) из них.

1. Значения: 1, 2, 3, 4.

2. Выделенные значения (т.е. значения, которые должны будут принимать истинные предложения): 1, 2.

р	р	р
1	4	2
2	3	2
3	2	2
4	1	4

&	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	2	4	4
3	3	4	3	4
4	4	4	4	4

Согласно определениям имеем:

р	р	 р
1	3	1
2	3	3
3	3	3
4	1	3

	1	2	3	4
1	1	1	1	1
2	1	2	1	2
3	1	1	3	3
4	1	2	3	4

	1	2	3	4
1	1	3	3	3
2	1	1	3	3
3	1	3	1	3
4	1	1	1	1

	1	2	3	4
1	1	3	3	3
2	3	1	3	3
3	3	3	1	3
4	3	3	3	1

Аксиомы (1.1–1.5) принимают выделенные значения 1 и 2, т.е. будут истинными. Однако аксиома 1.6 имеет значение 3 для р = 1 или для р = 3.

2. Исходные правила.

2.1. Правила образования.

Пропозициональная переменная – формула. Если PиQ– формулы, тоP,P,P& Q– тоже формулы.

2.2. Правило подстановки.

Доказуемое предложение остается доказуемым, если вместо входящей в него пропозициональной переменной всюду подставлена некоторая формула.

2.3. Правило соединения.

Если ├ Pи├ Q, то├ P & Q.

2.4. Правило отделения (modusponens) для.

Если ├ Pи├ P  Q, то├ Q.

2.5. Правило замены строго эквивалентных. Если ├ P  Q, то доказуемая формула останется доказуемой, если в ней некоторые вхожденияQзаменить наP.

3. Определения.

3.1. PQозначает(P&Q).

3.2. PQозначает(P&Q).

3.3. PQозначает (PQ) & (QP).

3.4. PQозначает(P&Q).

3.5. PQозначает (PQ) & (QP).

3.6. PозначаетP.

Отметим, что в аксиому 1.5 входит &, следовательно, необходимо иметь аксиомы, определяющие &. Отсюда правило соединения 2.3 становится необходимым.

Правило отделения 2.4 является само по себе более строгим, чем обычное правило modusponens. Однако его высокая степень строгости является таковой лишь по видимости, т.к. обычныйmodusponensможет быть тоже выведен в этой системе.

Покажем, что если ├ P  Qи├ P, то├ Q.

1. ├ P  Qгипотеза.

2. ├ Pгипотеза.

3. ├ P& (PQ) по правилу соединения 2.3

4. ├ (P& (PQ))Qдоказательство в 5.31 ниже.

5. ├ Q по правилу 2.4.

Можно показать, что система аксиом S1 непротиворечива. Чтобы доказать непротиворечивость системыS1, достаточно построить матрицу, в которой каждое Р, доказуемое в системе, принимало бы только выделенные значения, аР не принимало бы выделенных значений. Это имеет место для следующей матрицы (группаVЛьюиса и Лэнгфорда).

Значения: 1, 2, 3, 4. Выделенные значения: 1, 2.

Р	р
1	4
2	3
3	2
4	1

р	р
1	1
2	2
3	1
4	3

&	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	2	4	4
3	3	4	3	4
4	4	4	4	4

Согласно определениям получим следующие матрицы:

р	р	 р
1	4	2
2	3	4
3	4	3
4	2	4

	1	2	3	4
1	1	1	1	1
2	1	2	1	2
3	1	1	3	3
4	1	2	3	4

	1	2	3	4
1	2	4	3	4
2	2	2	3	3
3	2	4	2	4
4	2	2	2	2

	1	2	3	4
1	2	4	4	4
2	4	2	4	4
3	4	4	2	4
4	4	4	4	2

Любая доказуемая формула Р имеет выделенное значение, поэтому Р имеет значения 4 или 3, которые не являются выделенными. Таким образом, системаS1 является непротиворечивой (непротиворечивость можно также доказать, используя обычную (0, 1)-матрицу для &,, дополненную соотношениемр = р (т.е.0 = 0 и1 = 1)).

В классической модальной логике модальность– это последовательность символов, & иили любое выражение, которое может заменять (согласно определению) такую последовательность.Степень модальностиравна числу символов(или) содержащихся в модальности.

4. Теоремы и выводимые правила.

4.1. Если ├(P&Q)R,├Pи├Q, то├R.

1. ├ (P & Q)  Rгипотеза.

2. ├ Pгипотеза.

3. ├ Qгипотеза.

4. ├ P&Qпо правилу соединения (2.3).

5. ├ Rиз 1 и 4 по правилу (2.4).

4.2. Принцип тождества.

4.2.1. ├ p  p.

1. ├ p  p & p аксиома 1.4.

2. ├ p&ppиз аксиомы 1.1 постановкойpвместоq.

3. ├ ppиз (1) и (2) по аксиоме 1.5.

4.2.2. ├ppиз 4.2.1 и определения 3.5.

4.2.3. Если PозначаетQ, то├PQ.

1. ├ P  P из 4.2.2.

2. ├ PQподстановка по определению «PозначаетQ».

4.2.4. Если ├PQ, то├PQ.

1. ├ P  Q гипотеза.

2. ├ P  P из 4.2.1.

3. ├ PQсогласно правилу 2.5 замены строго эквивалентных.

4.2.5. Если ├PQ, то├QP.

4.2.6. Если ├PQ, то├QP

4.2.7. Если ├PQ, то├PQ.

4.2.8. Если ├PQ, то├(R&P)(R&Q).

4.2.9. Если ├PQ, то├(RP)(RQ).

4.2.10. Если ├PQ, то├PQ.

4.2.11. Если ├PQ, то├PQ.

4.2.12. Если ├PQ, то├PQ.

4.3. Конъюнкция.

4.3.1. ├p&qq&p.

1. ├ p&qq&pаксиома 1.2.

2. ├ q&pp&qподстановка.

3. ├ p&qq&pиз (1) и (2) по определению 3.5.

4.3.2. ├ p  p & p.

1. ├ p  p & p аксиома 1.4.

2. ├ p&ppподстановка в аксиому 1.1.

3. ├ pp&pиз (1) и (2) по определению 3.5.

4.3.3. ├ p & (q & r)  (p & q) & r.

1. ├ (p&q) &rp& (q&r) аксиома 1.3.

2. ├ p& (q&r)p& (r&q) из 4.2.2 замена по 4.3.1.

3. ├ p& (q&r)(r&q) &pзамена по 4.3.1.

4. ├ (r&q) &pr& (q&p) подстановка из аксиомы 1.3.

5. ├ (r&q) &pr& (p&q) замена по 4.3.1.

6. ├ (r&q) &p(p&q) &rзамена по 4.3.1.

7. ├ p& (q&r)(p&q) &rзамена по (3).

8. ├ p& (q&r)(p&q) &rиз (1) и (7) по определению 3.5.

4.4. Отрицание.

4.4.1. ├ (p  q)  (q  p).

1. ├ (p&q)(q&p) подстановка в 4.3.1.

2. ├ (p & q)  (q & p) из 4.2.12.

3. ├ (pq)(qp) по определению 3.4.

4.4.2. ├ p  p.

1. ├ p  p подстановка в 4.2.1.

2. ├ p  p замена по 4.4.1.

3. ├ p p подстановка в (2).

4. ├ ppиз (3) и (2) по аксиоме 1.5.

5. ├ p  p замена по 4.4.1.

6. ├ p  p подстановка в (2).

7. ├ ppиз (5) и (6) по определению 3.5.

8. ├  (p&p) из 4.2.1 по определению 3.4.

9. ├  (p & p) замена по (7).

10. ├ p  p по определению 3.4.

11. ├ ppиз (2) и (10) по определению 3.5.

4.4.3. ├ (p  q)  (q  p).

1. ├ (pq)(qp) подстановка в 4.4.1.

2. ├ (pq)(qp) замена по 4.4.2.

4.4.4. ├(pq)(p&q) из определения 3.1 по правилу 4.2.3.

4.4.5. ├(p&q)(pq) доказывается из 4.4.4 подстановкойpвместоpиqвместоq, затем 4.4.2.

4.5. Дизъюнкция.

4.5.1. ├ p  (p  p).

1. ├ p  p & p аксиома 1.4.

2. ├ p  p & p подстановка.

3. ├ p  (p & p) по 4.2.7.

4. ├ pppпо 4.4.2 и определению 3.1.

Аналогично доказывается ├(pp)p, отсюда├(pp)p.

4.5.2. ├ p  p  q.

1. ├ (p&q)pподстановка в аксиому 1.1.

2. ├ p  (p & q) по 4.4.3.

3. ├ ppqпо определению 3.1 и замене по 4.4.2.

4.6. Материальная импликация.

4.6.1. ├(pq)(p&q).

1. ├ (pq)(p&q) из определения 3.2 по правилу 4.2.3.

2. ├ (pq)(p&q) по правилу 4.2.7.

3. ├ (pq)(p&q) замена по 4.4.2.

4.6.2. ├ (p  q)  (p  q).

1. ├ (pq)(p&q) из определения 3.2. по правилу 4.2.3.

2. ├ (p  q)  (p  q) по 4.4.5.

3. ├ (p  q)  (p  q) по 4.4.2.

4.6.3. ├ p  (p  p).

1. ├ p  (p  p) по 4.5.1.

2. ├ p  (p  p) по 4.4.2.

3. ├ p  (p  p). по 4.6.2.

5. Выводы в системе S1.

5.1. Строгая импликация.

5.1.1. ├ (p  q)  (p & q).

1. ├ (pq)(p&q) из определения 3.4 по правилу 4.2.3.

2. ├ (pq)(p&q) замена по 4.4.2.

3. ├ (pq)(p&q) по определению 3.6.

5.1.2. ├(pq)(pq) из 5.1.1 по определению 3.2.

5.1.3. ├(pq)(pq) доказывается из 5.1.2 и 4.6.2 с применением правила 4.2.10.

5.2. Антилогизм. Импортация-экспортация.

5.2.1. ├((p&q)r)((p&r)q).

1. ├ (q&r)(r&q) подстановка в 4.3.1.

2. ├ (p& (q&r))(p& (r&q)) по правилу 4.2.8.

3. ├ ((p & q) & r)  ((p & r) & q) по 4.3.3.

4. ├ ((p & q) & r)  ((p & r) & q) по 4.4.2.

5. ├ ((p & q) & r)  ((p & r) & q) по 4.2.12.

6. ├ ((p&q)r)((p&r)q) по определению 3.4.

5.2.2. ├ ((p & q)  r)  ((q & r)  p).

1. ├ ((p&q) &r)(p& (q&r)) подстановка из 4.3.3.

2. ├ ((p & q) & r)  ((q & r) & p) по 4.3.1.

3. ├ ((p & q) & r)  ((q & r) & p) по 4.4.2.

4. ├ ((p & q) & r)  ((q & r) & p) по 4.2.12.

5. ├ ((p&q)r)((q&r)p) по определению 3.4.

5.2.3. ├ ((p & q)  r)  (p  (q  r)).

1. ├ ((p&q) &r)(p& (q&r)) подстановка в 4.3.3.

2. ├ ((p&q) &r)(p&(qr)) замена по 4.6.1.

3. ├ ((p&q) &r)(p&(qr)) по правилу 4.2.12.

4. ├ ((p&q)r)(p(qr)) по определению 3.4.

5.2.4. ├((p&r)q)(p(qr)) из 5.2.3 замена по 5.2.1.

5.3. Modus ponens с материальной импликацией.

5.3.1. ├ (p & (p  q))  q.

1. ├ (p&q)(p&q) подстановка в 4.2.1.

2. ├ (p & (p & q))  q по 5.2.1.

3. ├ (p& (pq))qпо определению 3.2.

4. ├ (p & (p  q))  q по 4.4.2.

5.3.2. Если ├PQи├P, то├QДоказано раньше.

5.4. Сложные силлогистические выводы.

5.4.1. ├((pq) & ((q&s)r))((p&s)r).

1. ├ (((s&r)q) & (qp))((s&r)p). подстановка в аксиому 1.5.

2. ├ (((q&s)r) & (qp))((p&s)r) по 5.2.2, используемому дважды, и правилу 4.2.6.

3. ├ ((q&sr) & (pq))((p&s)r) по контрапозиции 4.4.3.

4. ├ ((p  q) & ((q & s)  r))  ((p & s)  r) по 4.3.1.

5.4.2. Если ├PQи├(Q&S)R, то├(P&S)Rиз 5.4.1 по правилу 4.1.

5.4.3. ├ ((p  q) & (q  r) & (r  s))  (p  s).

1. ├ ((qr) & (rs))(qs) подстановка в аксиому 1.5.

2. ├ ((qs) & (pq))(ps) из аксиомы 1.5 по 4.3.1.

3. ├ ((qr) & (rs) & (pq))(ps) по правилу 5.4.2, принимая (1) заPQ, а (2) – за (Q & S)  R.

4. ├ ((p  q) & (q  r) & (r  s))  (p  s) по 4.3.1.

6. Явные модальности в S1.

6.1. Строгие импликации, эквивалентные модальностям.

6.1.1. ├ p  (p  p).

1. ├ p  (p  p) по 4.5.1.

2. ├ p  (p  p) по 4.4.2.

3. ├ p  (p  p) по 4.2.10.

4. ├ p(pp) замена по 5.1.3.

6.1.2. ├p(pp) доказывается из 4.5.1, 4.2.10 и 5.1.3.

6.2. Отрицания модальностей.

6.2.1. ├ppиз определения 3.6 по 4.2.3.

6.2.2. ├ p  p.

1. ├ p  p из 6.2.1 по 4.2.7.

2. ├ p  p замена по 4.4.2.

6.2.3. ├ p  p.

1. ├ p  p подстановка в 6.2.2.

2. ├ p  p замена по 4.4.2.

6.3. Modus ponens с модальными утверждениями.

6.3.1. ├ ((p  q) & p)  q.

1. ├ ((qp) & (pp) & (pq))(qq) подстановка в 5.4.3.

2. ├ (( pq) & (qp) & (pp))(qq) по 4.3.1.

3. ├ ((pq) & (pp))(qq) замена по 4.4.3 и 4.3.2.

4. ├ ((pq) &p)qзамена по 6.1.1.

6.3.2. ├(pq)(pq) из 6.3.1 по 5.2.3.

6.3.3. ├((pq) &p)q.

1. ├ ((qp) &q)pподстановка в 6.3.1.

2. ├ ((pq) &q)pзамена по 4.4.3.

3. ├ ((p  q) & p)  q по 5.2.1.

4. ├ ((pq) &p)qзамена по 6.2.3.

6.3.4. ├(pq)(pq) из 6.3.3 по 5.2.3.

6.3.5. ├((p&r)q) &p)(rq).

1. ├ ((p(rq)) &p)(rq) подстановка в 6.3.1.

2. ├ ((p&rq) &p)(rq) замена по 5.2.3.

3. ├ ((p&r)q) &p)(rq) замена по 5.1.2.

7. Общие метатеоремы для S1.

7.1. Если Р доказуема в немодальном исчислении высказываний (├Р), то├Р (т.е.Р доказуема вS1).

Доказательство проводится следующим образом.

7.1.1. Если Р – одна из четырех аксиом Рассела-Бернайса (1.1 - 1.4), то ├Р (см. эти аксиомы в § 7.1.

7.1.1.1. ├ ((p  p)  p).

1. ├ p  (p  p) по 4.5.1.

2. ├ (pp)pпо правилу 4.2.5.

3. ├ ((pp)p) замена по 5.1.2.

7.1.1.2. ├ (p  (p  q)).

1. ├ p  (p  q) по 4.5.2.

2. ├ (p(pq)) замена по 5.1.2.

7.1.1.3. ├ ((p  q)  (q  p)).

1. ├ (pq)(qp) из 4.3.1, правила 4.2.7 и определения 3.1.

2. ├ (pq)(qp) по правилу 4.2.4.

3. ├ ├ ((pq)(qp)) замена по 5.1.2.

7.1.1.4. ├ ((p  q)  ((r  p)  (r  q))).

1. ├ (p & (p  q))  q по 5.3.1.

2. ├ ((p  q) & q)  p по 5.2.2.

3. ├ (q & (p  q))  p по 4.3.1.

4. ├ (p&r)(r&p) подстановка в аксиому 1.2.

5. ├ (q& (pq) &r)(r&p) по правилу 5.4.2, принимая (3) заP  Q, а (4) – за (Q & S)  R.

6. ├ ((p  q) & r & q)  (r & p) по 4.3.1 и 4.3.3.

7. ├ ((pq) &(rq))(rp) замена по 4.4.4.

8. ├ (p  q)  ((r  p)  (r  q)) по 5.2.4.

9. ├ ((pq)((rp)(rq))) замена по 5.1.2.

7.1.2. Если ├Qвыведена из├Р по правилу подстановки для немодального исчисления высказываний, то├Qполучается из├Р по правилу подстановки 2.2 дляS1.

7.1.3. Если ├Qвыведена из├РQи├Р по правилу МР, то├Qдоказывается из├(РQ) и├Р.

1. ├ (P Q) гипотеза.

2. ├ P  Q по 5.1.2.

3. ├ P гипотеза.

4. ├ (PQ) &Pпо правилу соединения 2.3.

5. ├ Q по 6.3.1.

7.1.4. Если ├Qвыведена из├Р посредством подстановки согласно следующим определениям: р &qозначает(рq); рqозначаетрqи рqозначает (рq) & (qр), то├Qвыводится из├P.

1. ├ (p&q) гипотеза.

2. ├ (p&q)(pq).

3. ├ (p&q)((pq)) по 4.2.10.

4. ├ ((pq)) по правилу замены строго эквивалентных 2.5.

Аналогично доказываются с помощью 4.6.2, определения 3.3 и правила 4.2.3 остальные две формулы.

Таким образом, если формула Р доказуема в немодальном исчислении высказываний, то Р доказуема вS1.

7.2. Если ├P, то├P(Р доказуема вS1).

1. ├ P гипотеза.

2. ├ P  P замена по 6.1.1.

3. ├ (q&p)qподстановка в аксиому 1.1.

4. ├ (p&q)qзамена по 4.3.1.

5. ├ (P&P)Pподстановка в (4).

6. ├ (P&P)Pиз (5) и (2) по аксиоме 1.5.

7. ├ P  (P  P) по 5.2.3.

8. ├ P  P замена по 4.6.3.

9. ├ Pиз (1) и (8) по правилуMP2.4.

7.3. Если ├PQ, то├PQ.

1. ├ (P  Q) по 7.1.

2. ├ P  Q по 5.1.2.

8. Теоремы, специфические для S1.

8.1. ├ppиз аксиомы 1.6. по 4.4.3.

8.2. ├ p  p.

1. ├ p  p подстановка в 8.1.

2. ├ ppзамена по 4.4.2. и по определению 3.6.

8.3. ├ppиз 8.2 подстановкой и 8.2 по аксиоме 1.5.

8.4. ├ppиз 8.2 и аксиомы 1.6 по аксиоме 1.5.

8.5. ├ (p  q)  (p  q).

1. ├ (pq)(pq) подстановка в 8.2.

2. ├ (pq)(pq) замена по 5.1.2.

8.6. ├ (p & (p  q))  q.

1. ├ ((p  q) & p)  q из 8.5 по 5.2.3.

2. ├ (p& (pq))qзамена по 4.3.1.

Заметим, что аксиома 1.6 может быть получена из 8.6 следующим образом.

1. ├ ((pp) &p)pподстановка в 8.6.

2. ├ (pp)(pp) замена по 5.2.3.

3. ├ ppзамена по 6.1.2 и подстановка в 4.6.3.

4. ├ p  p по 4.4.3.

5. ├ p  p по 4.4.2 и 6.2.3.

Т.к. аксиома 1.6 и 8.6 дедуктивно эквивалентны (т.е. могут быть выведены друг из друга), то 8.6 можно принять в качестве аксиомы вместо 1.6.

8.7. Правило 7.2 (если├Р, то├Р) можно применить к 8.2–8.6. Например:

а) ├ppиз 8.2 или

б) если├Р, то├Р.

1. ├ Pгипотеза.

2. ├ PPпо 8.4.

3. ├ Pпо правилу 2.4.

Это позволяет выводить из каждой теоремы ├Р теорему├Р.

До сих пор матрицы использовались для доказательства независимости аксиом. Возможно ли построить характеристическую матрицу для S1 (т.е. матрицу, на которой формула принимает выделенное значение тогда и только тогда, когда эта формула доказуема в системе)?

Дугунджи (в 1940 г.) показал, что не существует конечнойхарактеристической матрицы дляS1. Это доказательство справедливо и дляS2,S3,S4 иS5.