2.5. Система s4

Так как системы S2 иS3 целиком находятся вS4, мы их опустим и остановимся на весьма важной системе S4. Почти все теоремы, доказуемые в следующей системе S5, доказуемы также и в S4. Тем не менее, S4 не имеет тривиальной простоты системы S5, так как сохраняет 12 различных собственных модальностей.

9. Постулаты S4.

Система S4 определяется как система, получаемая добавлением к постулатам S1 аксиомы

9.1. ├рр.

Ясно, что вместо 9.1 можно взять в качестве аксиомы двойственную формулу

9.2. ├рр

Аксиома 9.1 ведет к строгим эквивалентностям.

9.3. ├рр.

1. ├ р р подстановка в аксиому 1.6.

2. ├ р р аксиома 9.1.

3. ├  р р из (1) и (2) по определению 3.5.

9.4. ├рр из 9.3 по двойственности.

Таким образом, «возможно» в этой системе отождествляется с «возможно, что возможно» и вообще с неограниченным повторением символа «возможно».

Аналогичное имеет место и для символа необходимости.

Аксиома 9.1 независимаот аксиом S1, так как на матрицах группыVЛьюиса и Лэнгфорда (см. эту группу при доказательстве непротиворечивости S1), которым удовлетворяет S1, она принимает значение 3 при р = 4.

Постулаты S4 непротиворечивы, так как все они удовлетворяют матрицам группы IIIЛьюиса и Лэнгфорда, отличающейся от группыVтолько одной матрицей:

р	р
1	1
2	1
3	1
4	4

Покажем, что S4 включает в себя системы S2 и S3. Это видно из следующих теорем.

9.5. ├ (p  q)  (p  q).

1. ├ (pq)(pq) подстановка в 9.4.

2. ├ (pq)(pq) замена по 5.1.2.

9.6. ├ (p & q)  p аксиома S2.

1. ├ ((p&q)p)((p&q)p) подстановка в 9.5.

2. ├ ((p&q)p) &(p&q))pподстановка в 6.3.3.

3. ├ ((p&q)p) из аксиомы 1.1 по (1).

4. ├ (p & q)  p из (3) и (2) по 6.3.5.

9.7. ├ (p  q)  (p  q) аксиома S3.

1. ├ (pq)(pq) подстановка в 6.3.2, применением МР 2.4 для 6.3.2 и 6.3.4, затем по 7.1 и 5.1.2.

2. ├ (p  q)  (p  q) по 9.5 и 5.1.2.

Таким образом, S2 и S3 выводимы из постулатов системы S1 при добавлении соответственно 9.6 и 9.7 и поэтому содержатся в S4.

Показано, что в системе S3, содержащейся в S4, имеется не более 40 несводимых собственных модальностей (т.е. модальностей степени высшей, чем нуль), а если добавить к ним две несобственные модальности pиp, то будет не более 42 несводимых модальностей.

В S4 имеется ровно 14 несводимых модальностей, из них 12 собственных модальностей и 2 несобственных (pиp). Парри показал, что если с помощью 9.3 свестиpкp, а с помощью 9.4 свестиpкp, то 40 собственных модальностей сведутся к 12.

10. Теоремы и правила, доказуемые в S4.

10.1. ├ q  (p  q).

1. ├ (p & q)  p аксиома S2 9.6.

2. ├ p(pq) из (1) по двойственности.

3. ├ q(qp) подстановка.

4. ├ q(pq) замена по├(qp)(pq).

5. ├ q  (p  q) по 4.6.2 и.5.1.2.

6. ├ q(pq) подстановка в (5).

7. ├ q(pq) замена по 9.4.

10.2. Теоремы импортации и экспортации становятся строгими эквивалентностями.

10.2.1. ├ ((p & q)  r)  (p  (q  r)).

1. ├ ((p&q)r)(p(qr)) из 5.2.3 по правилу 4.2.4.

2. ├ (qp)(qp) подстановка в аксиому 9.7.

3. ├ (p  q)  (p  q) по 4.4.3.

4. ├ (pq)(pq) по определению 3.6.

5. ├ (p(qr))(p(qr)) подстановка в (4) и 5.1.2.

6. ├ (qr)(qr) подстановка в (4).

7. ├ (p(qr))(p(qr)) по правилу S2: если├QR, то├(PQ)(PR).

8. ├ ((p&q)r)(p(qr)) из (1), (5) и (7) по 5.4.3.

9. ├ ((p&q)r)(p(qr)) подстановка в (8).

10. ├ ((p&q)r)(p(qr)) замена по 9.4.

11. ├ (qr)(qr) подстановка в 8.5.

12. ├ (p(qr))(p(qr)) по правилуS2: если├QR, то├(PQ)(PR).

13. ├ (p(qr))((p&q)r) замена по 5.2.3.

14. ├ (p(qr))((p&q)r) подстановка в (13).

15. ├ ((p&q)r)(p(qr)) из (10) и (14) по определению 3.5.

10.2.2. ├ (p  (q  r))  (q  (p  r)).

1. ├ (qr)(qr) подстановка в 8.5.

2. ├ (p(qr))(p(qr)) из (1) по правилуS2: если├QR, то├(PQ)(PR).

3. ├ (p(qr))((p&r)q) из 5.2.4 по правилу 4.2.6.

4. ├ (p  (q  r)) (q  (p & r)) по 4.4.3.

5. ├ (p(qr))(q(pr)) по определению 3.2.

6. ├ (p(qr))(q(pr)) по правилу 4.2.4.

7. ├ (qp)(qp) подстановка в 9.7.

8. ├ (p  q)  (p  q) по 4.4.3.

9. ├ (pq)(pq) по определению 3.6.

10. ├ (q(pr))(q(pr)) подстановка в (9) и 5.1.2.

11. ├ (p(qr))(q(pr)) из (2), (6) и (10) по 5.4.3.

12. ├ (p(qr))(q(pr)) подстановка в (11).

13. ├ (p(qr))(q(pr)) замена по 9.4.

14. ├ (q(pr))(p(qr)) подстановка в (11) и 9.4.

15. ├ (p(qr))(q(pr)) из (13) и (14) по определению 3.5.

10.3. Если ├Р, то├Р. Чтобы доказать это правило, достаточно показать, что если Р – аксиома S4, либо формула, выводимая в ней, то├Р.

1. Все аксиомы S4 имеют форму P  Q. По 9.5, если├P  Q, то├(P  Q); таким образом, еслиR– аксиома системы S4, то├ R.

2. Если Qвыведена изPпо правилу подстановки 2.2, то, очевидно, что├ Qможет быть выведена из├ P.

3. Если P & Qвыведена изPиQпо правилу соединения 2.3, то согласно├ (p & q)  (p & q),├ (P & Q) следует из├ Pи├ Q.├ (p & q)  (p & q)доказывается в системе S2.

4. Если Qвыведена изPиP  Qпо правилу отделения2.4, то по 6.3.1├ Qследует из├ Pи├ P  Q(которая строго эквивалентна├ (P  Q) согласно 9.5).

5. Если Qвыведена изPпо правилу замены строго эквивалентных 2.5 или по определениям, то, очевидно, что├ Qследует из├ P.

10.4. Следствиями 10.3 являются, например, такие правила вывода:

10.4.1. Если ├PQ, то├PQ.

1. ├ P  Q гипотеза.

2. ├ P  Q по 10.3 и 5.1.2.

3. ├ P  Q по 6.3.2.

10.4.2. Если ├PQ, то├PQпо 10.3 и├(pq)(pq) (доказано в S2).

10.4.3. Правило замены материально эквивалентных.

Если ├ P  Q, то доказуемая формула остается доказуемой, если все вхожденияPзаменить в ней наQ(из 2.5 по 10.4.2).

10.5. Некоторые другие теоремы.

10.5.1. ├(pp)(pp).

1. ├ (pp)(pp) подстановка в 8.2.

2. ├ p  p.

3. ├ (p  p) из (2) по 7.1.

4. ├ (pp)((pp)(pp)) подстановка в 10.1.

5. ├ (pp)(pp) из (3) и (4) по 2.4 (МР).

6. ├ (pp)(pp) из (1) и (5) по правилу 2.3 и определению 3.5.

10.5.2. ├(p&p)(p&p) из 10.5.1 по двойственности.