3. Немонотонные модальные логики

Рассматриваемые в данной главе немонотонные модальные логики оперируют с неполным, неточным, зачастую противоречивым, динамически изменяющимся знанием. Рассуждения здравого смысла часто не монотонны, т.е. оказываются предположительными, правдоподобными и должны подвергаться пересмотру (ревизии). Такие рассуждения неточны и пересматриваемы по самой своей природе или из-за той информации, на основании которой они построены. Бывают случаи, когда корректные по своей природе рассуждения могут пересматриваться, когда они основаны на таких договоренностях(соглашениях), которые выходят за рамки той информации (знания), на основе которой они приняты.

Сначала будут рассмотрены логики убеждения и знания, затем описаны универсальные аксиоматические модальные системы Мак-Дермотта и Дойла, которые будут модифицированы, привлекая моделирование идеально разумного агента, интроспективно рассуждающего об исходном множестве предположений (автоэпистемические логики Мура). Далее будет дан подход, основанный на немонотонных правилах вывода, в котором используются умолчания, индуцирующие так называемые расширения классических логических теорий (логики умолчаний Рейтера).

В заключении рассмотрены две системы поддержания истинности БД: система TMS(Truth-MaintenanceSystem) иATMS(Assumption-BasedTruth-MaintenanceSystem).

3.1. Логики убеждения и знания

Главной функцией модальной логики является формализация модальностей «необходимости» и «возможности». Другим ее применением является моделирование и анализ парадигм «убеждения» и «знания». Для этого различные логические системы используют формальные языки с модальными операторами «убеждения» и «знания». В рамках логик убеждения и знания оператор принимает соответственно значения «предполагается» и «известно». Двойственный ему операторпринимает соответственно значения «противоположное не предполагается» и «противоположное неизвестно».

Пусть L– модальный язык высказываний,pиq– метапеременные, представляющие формулы в языкеL. Модальные операторы вLобозначим символамиLи М, гдеpестьLpиp–Mp, причем, как и раньшеLp = Mp.

Напомним, что нормальная модальная система– это четверка, состоящая из:

• множества всех теорем логики высказываний, область действия которых распространена на формулы модального языка высказыванийL;

• схемы аксиомы дистрибутивностиL (p  q)  (Lp  Lq) (в классике А₃), обозначаемой буквой К. Схема К утверждает, что «если необходимо, чтоpвлечетq, то из необходимостиpвытекает необходимостьq»;

• правила МР: если ├ pи ├ p  q, то ├ q;

• модального правила вывода необходимости: если ├p, то ├ Lp. Формулаpнеобходимо истинна при условии, чтоpистинна (см. также §7.7).

Обогатим нормальную модальную систему следующими схемами аксиом.

• схема аксиомы знания:Lpp(в классике А₁).

В немонотонных модальных системах ее обозначают буквой Т. Схема Т утверждает: «то, что известно – верно». Эту схему добавляют к нормальной модальной системе, чтобы оператор Lозначал «известно». Напротив, схемы Т не будет в системе аксиом, формализующих «предположение», ибо оно может быть ошибочным.

Нормальная модальная система, пополненная схемой Т, перенимает имя от двух входящих в нее схем модальных аксиома: она обозначается через КТ.

• Схема аксиомы позитивной интроспекции:LpLLp.

Она обозначается цифрой 4. Когда модальный оператор Lозначает «известно», схема 4 утверждает: «если мне известноp, то я знаю, что известноp». Если же модальный операторLозначает «предполагается», то схема 4 гласит: «если я предполагаю, чтоpподтверждается, то я предполагаю, что я предполагаю, чтоpподтверждается».

Описанная схемой 4 возможность интроспекции (от лат. introspecto– смотрю внутрь, то же, чтосамонаблюдение) нужна для формализации совершенного интроспективного интеллекта. Нормальная модальная система, пополненная схемами аксиом Т и 4, обозначается КТ4 (или в классической модальной системеS4).

• Схема аксиомы негативной интроспекции:MpLMp.

Она обозначается цифрой 5 и в логиках знания и убеждения формализует совершенную негативную интроспекцию. Схема 5 эквивалентна следующей схеме: Lp  LLp. Когда операторLозначает «известно», то схема 5 утверждает: «если я не знаю, чтоpподтверждается, то я знаю, что я не знаю, чтоpподтверждается». Если же операторLозначает «предполагается», то она гласит: «если я не предполагаю, чтоpподтверждается, то я предполагаю, что я не предполагаю, чтоpподтверждается».

Это свойство, конечно, чрезвычайно обременительное. Оно выражает совершенное понимание пределов нашего знания или убеждения. Нормальная модальная система, пополненная схемами аксиом Т, 4 и 5, обозначается КТ45 (или в классической модальной системе S5).

Какую модальную систему выбрать – зависит от моделируемого понятия. Подробнее об этом выборе будет написано далее.

Возвращаясь к семантике возможных миров Крипке, структуройбудем называть пару= (W, R), гдеW– непустое множество (универсум) возможных миров, аR– бинарное отношение доступности на множествеW, т.е. некоторое подмножество изW  W.

Пусть Р – множество атомов (или высказываний) модального языка L. ТогдаР-модельюна структуре (W, R) называется тройкаM = (W, R, V), где оценкаV– отображение из Р в 2^w(т.е. множество всех подмножеств множестваW), сопоставляющая каждому высказываниюpР подмножествоV(p) изW.

Неформально это значит, что V(p) интерпретируется как множество возможных миров изW, в которых высказываниеpистинно. Если нет никакой двусмысленности в контексте, то префикс Р в определении модели будем опускать и говорить просто омодели.

Пусть w  Wи А – модальная формула в языкеL. Для семантической оценки формул изLжелательно иметь в виду конкретный мирwиз универсумаWвместе с рассматриваемой оценкойV. Рекурсивно определяют отношение семантического следования ╞ между моделями и формулами языка. ЗаписьM╞_wА отражает семантику формулы А и означает, что А истинна в миреwдля моделиM.

Эта семантика определяется следующим образом:

• M╞_wИ,

• M_wЛ,

• M╞_wp, еслиwV(p),

• M╞_wА₁А₂, если изM╞_wА₁следуетM╞_wА₂,

• M╞_wLA, если изw R tвытекает, чтоM╞_tА длявсехt  W.

Последнее правило выражает тот факт, что формула LAистинна в миреwмоделиM, если формула А истинна во всех мирахt, находящихся в отношенииRс миромw. Это правило учитывает желательные значения модального оператораL. Действительно, в логике необходимого формулаLAпредставляет необходимость формулы А: «А необходимо в данном мире» интуитивно означает подтверждаемость А во всех мирах доступных из данного. С другой стороны, в логике знания формулаLAозначает «А известно» и, следовательно (интуитивно), что А подтверждается во всех возможных мирах, какие только можно вообразить на основе некоего множества знаний и предположений.

Семантическая оценка (означивание) формул И, А, МА, А₁А₂, А₁& А₂и А₁А₂получается из базовых семантических отношений с помощью эквивалентных преобразований, позволяющих записать константу И, оператор М и связки, &,в виде формул, построенных из константы Л, оператораLи связоки. Например, из соотношенияА = АЛ и правила двойственности выводятся следующие семантические правила:

• M ╞ _w A, если M  _w A;

• M╞_wМА, еслиM╞_tА хотя бы для одногоt  Wтакого, чтоw R t.

Введем ряд понятий.

• Формула А из Lобщезначима в моделиM= (W, R, V) тогда и только тогда, когда она истинна во всех мирах этой модели, т.е. еслиM╞_wА длявсехw  W. Это обозначается так:M╞ А.

• Формула А из Lобщезначима в структуре= (W, R) тогда и только тогда, когда А общезначима в любой модели (W, R, V), т.е. еслиM╞ А длявсехмоделейM. Это обозначается следующим образом:╞ А.

• Формула А из Lобщезначиматогда и только тогда, когда А общезначима в любой структуре. Символьная запись такова: ╞ А.

Необходимой истиной в миреwназывается формула, которая подтверждается во всех мирахt, достижимых изw. Отсюда формулаLAчитается так: «А необходимо истинна».

Возможной истиной в миреwназывается формула, которая подтверждается хотя бы в одном из миров, достижимых изw. Отсюда формула МА читается так: «возможно, что А истинна».

Введем реальный мир G. Формула А, которая необходимо истинна в реальном миреG, будет истинна и во всех мирах, достижимых из реального мира, а значит, в частности, и в самом реальном миреG. Таким образом, формулаLA  Aистинна в рассматриваемой структуре.

Если формула А истинна в реальном мире G, то она будет истинной хотя бы в одном из миров, доступных из реального мираG. Значит, формулаA  MAистинна в рассматриваемой структуре.

Рассмотрим список свойств, которым может обладать отношение доступности R.

1. Рефлексивность: w(wRw).

2. Симметричность: w t (w R t  t R w).

3. Репродуктивность: wt(wRt).

4. Транзитивность: wtu(wRt&tRuwRu).

5. Евклидовость: w t u (w R t & w R u  t R u).

6. Частичная функциональность: wtu(wRt&wRut=u).

7. Функциональность: w!t(wRt) (обозначение!tозначает: существует одно и только одноt).

8. Слабая плотность: wt(wRtu(wRu&uRt)).

9. Слабя связность: w t u (w R t & w R u  t R u  t = u  u R t).

10. Слабая направленность: w t u (w R t & w R u  v (t R v & u R v)).

Этому списку свойств отношения Rсоответствует список схем формул.

LA  A (T). A  LMA (B). LA  MA (D). LA  LLA (4). MA  LMA (5).

MA  LA. MA  LA. LLA  LA. L (A & LA  B)  L (B & LB  A) (L). MLA  LMA.

В скобках справа (около некоторых схем формул) указаны исторические названия соответствующих схем аксиом.

Следующая теорема дает точное описание вышеупомянутого соответствия.

Теорема 3.1.(Р. Голдблатт). Если задана структура = (W, R), то отношениеRтогда и только тогда обладает конкретным из свойств 1‑10, когда соответствующая схема формул истинна в.

Эта теорема имеет фундаментальное значение. Именно ею объясняется тот успех, который имела реляционная семантика с тех пор, как ее ввел Крипке. Такие структуры хорошо приспособлены для применения.

Однако отметим, что есть и такие достаточно привычные свойства отношения R, которые не соответствуют общезначимости никакой модальной схемы. Таковы, например, следующие три свойства:

• иррефлексивность: w(wRw);

• антисимметричность: w t (w R t & t R w  w = t);

• асимметричность: w t (w R t  (t R w)).

Возвращаясь к нормальным модальным системам, следует заметить, что если {_i | i  } – какое-либо множество нормальных логик, то их пересечение{_i | i  } является нормальной логикой. В частности, логика К, определенная соотношением К ={_i | _iесть нормальная логика}, т.е. пересечение всех нормальных логик естьнаименьшаянормальная логика. Следующая теорема показывает важность этой «минимальной» логики.

Теорема 3.2.(Р. Голдблатт). Формула А является теоремой логики К тогда и только тогда, когда А общезначима (т.е. истинна во всех структурах).

Следующие отношения выполняются в любой нормальной логике:

├_AB├_LALBи ├_MAMB,

├_AB├_LALBи ├_MAMB,

├_LA & LB  L(A & B),

├_M(A  B)  MA  MB,

├_LA  LB  L(A  B),

├_M(A & B)  MA & MB.

Существует соответствие между выбором схем основных аксиом данной формальной системы и свойствами отношения доступности между возможными мирами семантической характеристики этой системы. Проиллюстрируем это соответствие следующими теоремами.

Теорема 3.3.Формула А является теоремой логики КТ тогда и только тогда, когда А истинна во всех структурах, в которыхRрефлексивно.

Теорема 3.4.Формула А является теоремой логикиS4 тогда и только тогда, когда А истинна во всех структурах, в которыхRрефлексивно и транзитивно.

Теорема 3.5.Формула А является теоремой логикиS5 тогда и только тогда, когда А истинна во всех структурах, в которыхRрефлексивно, транзитивно и евклидово (т.е.R– отношение эквивалентности).

Теоремы 3.3–3.5 можно обосновать с использованием следующей леммы.

Лемма 3.6.(Р. Голдблатт). Если нормальная логикасодержит какую-либо из схем 1‑10 (см. список свойств отношения доступностиR), то существует отношениеR^(названноеканоническимдля), обладающее соответствующим свойством.

Структура возможных миров семантически характеризует различные модальные системы в зависимости от свойств отношения доступности.

Схема КТ может быть выбрана в нормальной модальной системе, если соответствующая семантическая характеризация свойств модального оператора Lбудет состоять из множества возможных миров, связанных рефлексивным отношением доступностиR. Аналогично, если выбрать систему КТ45 (она жеS5) для аксиоматизации свойств оператораL, то соответствующая семантическая характеризация будет состоять из множества возможных миров, связанных между собой отношениемR, являющимся отношением эквивалентности.