3.3. Автоэпистемические логики

Автоэпистемические логики (АЭЛ) имеют своим предметом формализацию интроспективных(т.е. зависящих от текущего состояния знаний агента) иидеально разумныхрассуждений об исходном множестве предположений. Вместо формализации понятия непротиворечивости в АЭЛ рассматривается идеальный агент, рассуждающий о своих собственных убеждения (верах). Предполагается, что такой агент имеет полные интроспективные способности в том смысле, что он знает, что он знает утверждениеpвсякий раз, когда он знаетp, и он знает, что он не знаетpвсякий раз, когда он не знаетp.

Под идеально разумными понимаются утверждения, идеализированные в двух аспектах: можно выводить только ожидаемые логические следствия из исходного множества предположений, и все эти логические следствия надо принять во внимание. Таким образом, для рассуждений нужны неограниченные ресурсы.

Подобные рассуждения немонотонны, ибо множество основных предположений агента может со временем меняться, что чревато противоречиями для некоторых выводов. Такими интроспективными рассуждениями можно моделировать многочисленные виды пересматриваемыхрассуждений (в частности, для формализации таких рассуждений применяются модальные логики знания и убеждения, см. §3.1).

Столнекер и особенно Мур развили основанный на модальной логике метод для формализации немонотонных, интроспективных и идеально разумных рассуждений.

Разработанную ими АЭЛ можно рассматривать как результат реконструкции немонотонной логики Мак-Дермотта, состоящий в замене парадигм выводимости и выполнимостина формализациюинтроспективных способностейрассуждений.

В этом контексте модальный оператор М и двойственный ему оператор Lформализуют соответственно «обратное не предполагается» и «предполагается» (вместо выполнимого и выводимого). Модальные операторы в АЭЛ позволяют выразить соотношение между тем, что предполагается и тем, что истинно в мире. Например, мы можем выразить, что если Петров – студент, и мы не предполагаем, что он не юн, тогда он действительно юн, т.е. Ст(Петров) & LЮн(Петров)Юн(Петров).

Синтаксически это представление эквивалентно представлению в немонотонной модальной логике Мак-Дермотта.

Язык и семантика. Рассматриваемый здесь языкLpполучается ограничением модального языка Мак-ДермоттаLна свою пропозициональную компоненту и использованием модального оператораL(двойственного М) для построения модальных формул. Формула видаLqинтерпретируется следующим образом: «предполагается, чтоqподтверждается».

Назовем теориеймножество формул языкаLp,автоэпистемической теорией– подмножество Т изLp, представляющее какое-тополноеисостоятельноемножество предположений, которое идеально разумный агент может построить на основе множества А исходных предположений. Сначала уточним, каковы семантические свойства, которыми должно обладать подобное множество формул Т.

Введем следующие определения (Мур).

• Интерпретация высказыванийавтоэпистемической теории Т приписывает значения истинности формулам множества Т. Приписывание подчиняется классическим правилам оценки сложных формул логики высказываний. Оно придает произвольное значение истинности пропозициональным константам и формулам видаLp(«предполагаетсяp»).

• Модель высказыванийавтоэпистемической теории Т – это интерпретация высказываний из Т, в которой подтверждаются все формулы теории Т.

• Автоэпистемическая интерпретацияавтоэпистемической теории Т – это интерпретация высказываний из Т, для которой всякая формула видаLpподтверждается тогда и только тогда, когдаpТ. Таким образом, при автоэпистемической интерпретации формулаLpподтверждается в том и только в том случае, еслиpпринадлежит множеству Т предположений данного агента.

• Автоэпистемическая модельавтоэпистемической теории Т – это автоэпистемичес­кая интерпретация, в которой подтверждается всякая формула из Т.

На эти семантические рассмотрения дадим понятие полнотыисостоятельности(вместо выполнимости), приспособленные к автоэпистемичности.

1. Автоэпистемическая теория Т семантически полнатогда и только тогда, когда она содержит все формулы, подтверждающиеся во всех автоэпистемических моделях Т. (Интуитивно: Т полна тогда и только тогда, когда Т содержит все формулы, которые данному агенту семантически позволено вывести в предположении истинности всех его гипотез.)

2. Автоэпистемическая теория Т состоятельнаотносительно множества А основных предположений тогда и только тогда, когда любая автоэпистемическая интерпретация Т, являющаяся моделью А, является также и моделью теории Т. (Интуитивно: это позволяет гарантировать, что предположения некоего агента, составляющие автоэпистемическую теорию, истинны тогда и только тогда, когда истинны основные предположения из множества А.)

Зададим синтаксическую характеризацию автоэпистемическим теориям Т, обладающим семантическими свойствами полноты и состоятельности относительно множества А исходных предположений.

Ввиду трудности конструктивнойхарактеризации множеств выводимых формул немонотонной системы дадимнеконструктивноеопределение автоэпистеми­чес­ких теорий Т, таких, что их полные и состоятельные множества предположений идеально разумный агент в состоянии построить на основе множества А исходных предположений.

Будем говорить, что автоэпистемическая теория Т устойчива, если Т есть множество замкнутых формул изLp, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Если {p₁ …, p_n}  Tи {p₁ …, p_n} ├ q, где ├ – отношение выводимости в логике высказываний, тоq  T.

2. Если p  T, тоLp  T.

3. Если p  T, тоLp  T.

Первоеправило утверждает, что агент предполагаетвселогические следствия (логическое всеведение).

Второеправило гарантирует, что формула «предполагаетсяp» принадлежит множеству Т предположений этого агента, еслиp– предположение этого агента.

Третьеправило утверждает, что формула «pне предполагается» фигурирует во множестве предположений того же агента, если формулыpтам нет.

Автоэпистемическая теория Т называется теорией, основанной на множестве посылок А(предположений, дополнительных аксиом), есливсеформулы из Т находятся среди общезначимых следствий из множества

A  {Lp | p  T} {Lp | p  T}.

Справедливы следующие утверждения (Мур):

• Автоэпистемическая теория Т семантически полнатогда и только тогда, когда онаустойчива.

• Автоэпистемическая теория Т состоятельнаотносительно множества А основных посылок (предположений) тогда и только тогда, когда онаоснованана А.

• Наконец, назовем устойчивым расширениеммножества исходных предположений А множество предположений Т, котороеустойчивоиосновано на А. Устойчивые расширения являютсямаксимальными состоятельнымимножествами предположений, которые идеально разумный агент в состоянии вообразить на основе исходного множества предположений.

При анализе немонотонной АЭЛнапомним, что Мак-Дермоттом была обнаружена одна особенность, связанная с тем, что каждая теорема изнемонотонной S5-системыявляется теоремой измонотонной системыS5. Этот факт можно объяснить, привлекая АЭЛ. Мак-Дермотт рассматривает неподвижные точки Т системы вывода своей немонотонной логики, приложенной к множеству А предположений (дополнительных аксиом). Этиточкиможно сравнить смаксимальными состоятельнымимножествами предположений идеально разумного агента.

Определение Мак-Дермотта, ограниченное на пропозициональную компоненту, в сущности, эквивалентно следующему.

• Т является неподвижной точкой относительно А тогда и только тогда, когда Т есть множество модальных следствий (в системе М (КТ), S4 илиS5) изA  {Lp | p  T}.

Правило немонотонного вывода позволяет вывести формулу вида Mp, если формулаpне принадлежит рассматриваемой неподвижной точке Т. Иначе говоря, опираясь на отношение двойственности между модальными операторами М иL, можно с помощью этого правила осуществить вывод формулы видаLp, если формулаpне принадлежит рассматриваемой неподвижной точке. Но тогда в логике Мак-Дермотта неподвижная точка состоит из всех модальных следствий из объединения множества формулLpс указанной характеризацией и множества А дополнительных аксиом (предположений).

Напротив, устойчивое расширениеТ в АЭЛ определяется следующим образом:

• Т является устойчивым расширением А тогда и только тогда, когда Т есть множество общезначимых следствий из A  {Lp | p  T}  {Lp | p  T}.

Легко заметить, что в определении неподвижной точки, данном Мак-Дермоттом, в совокупности аксиом нет(!) множества {Lp | p  T}. Мур описываетприроду этой неполнотыследующим образом: «При автоэпистемическом видении модального оператораLмыслящий субъект, использующий немонотонную логику Мак-Дермотта,всеведущотносительно всего имне предполагаемого, но может полностью игнорировать им предполагаемое». В самом деле, он не включает в число аксиом формулы вида «я предполагаю, чтоpподтверждается», которые квалифицируют положительные предположения агента.

Теперь относительно того, что любая теорема немонотонной S5-системы является теоремой в монотонной системеS5. Это можно объяснить следующим образом. НемонотоннаяS5-система содержитсхему аксиомы знания, т.е.Lp  p. Для автоэпистемического анализа немонотонности эта схема кажется слишком обременительной, так как она утверждает: «все, что предполагается, истинно» (а не «то, что известно – верно», как раньше). Это было бы приемлемо в логике знания, но не в логике убеждения (веры).

Если мы хотим построить немонотонную систему, то использование логики знания представляется неподходящим. Все выведенное не имеетбольше статусаобщезначимогов классическом смысле, ибо есть возможность ревизии (пересмотра). Это кажется трудно совместимым со схемой аксиомы, требующей истинности всего предполагаемого. Поскольку ничто не позволяет выделить в системе Мак-Дермотта общезначимые утверждения и утверждения со статусом всего лишь выполнимых формул, эту схему аксиом, видимо, надоисключить.

С другой стороны, как считает Мур, немонотонная S5-система содержит также схему аксиомыMp  LMp, применяя которую совместно со схемой аксиомы знания, можно обосновать предположение в любой формуле.

Следовательно, нет такой формулы, которая отсутствовала бы во всех неподвижных точках множества вспомогательных аксиом, получаемого с помощью немонотоннойS5-системы. В частности, не существует теоремы видаLp(эквивалентной Mp) ни в какой теории, базирующейся нанемонотоннойS5-системе, ибо такая теорема имела бы обоснование, построенное с помощью правила немонотонного вывода из логики Мак-Дермотта. Мур следующим образом толкует этот факт: «идеально разумный субъект, который предполагается не совершающим ошибок, склонен предполагать все таким образом, что внешний наблюдатель не может сделать никаких выводов относительно того, что этот субъект не предполагает».

Предлагается и еще один путь: не отвергать схему аксиомы Mp  LMp, чтобы тем самым получитьнемонотоннуюS4-систему, а лучше отбросить схему аксиомы знанияLp  p, что приведет к немонотонной системе, основанной на модальнойслабойS5-системе (иногда обозначаемой как К45).

Впрочем, Мур показал, что система вывода, содержащая произвольное подмножество схем модальных аксиом, присущих слабой S5-системе, дает всегда одни и те же устойчивые расширения (независимо от выбора указанного подмножества). Таким образом, АЭЛ может обойтись без явного упоминания схем модальных аксиом.

Как и в немонотонной логике Мак-Дермотта в АЭЛ имеются множества посылок (предположений), дающих 0, 1 или много расширений. Например, если A = {Lp}, то нет способа полученияpиз А всякий раз, когда добавляются модальные формулы. ПоэтомуLpдолжно содержаться в каждом расширении. Но это противоречит А, отсюда вытекает, что в этом случае нет расширения.

Возвращаясь к нашему примеру, имеем

1. Ст(Петров) & LЮн(Петров)Юн(Петров),

2. Ст(Петров).

Так как нет способа вывести Юн(Петров) из посылок, тоLЮн(Петров) содержится в расширении. Отсюда имеем одно расширение, содержащее Юн(Петров).

Если мы добавим еще две посылки:

3. Иметь_детей(Петров) & LЮн(Петров)Юн(Петров),

4. Иметь_детей(Петров),

то получим два расширения одно из которых содержит формулу Юн(Петров), а другое – ее отрицание (Юн(Петров)).

Описанная нами семантика АЭЛ имеет то достоинство, что, используя ее, можно характеризовать предположения агента, независимо от того, разумен он или нет. Между тем она оказалась неудобной для использования, будучинеконструктивнойв том смысле, что в ней нет правил, позволяющих оценивать предположения агента о сложных формулах, исходя из его предположений и/или непредположений о составных частях формул. Это положение вещей вполне приемлемо для случая неразумного агента, ибо нельзя априори установить никакой связи между его предположениями. Напротив, предположения разумного агента подчиняются неким отношениям, из которых можно попытаться извлечь пользу.

С этой целью Мур предложил альтернативную семантическую характеризацию своей АЭЛ. Эта новая семантика, основанная на понятии возможных миров, позволяет построить конечные модели для автоэпистемических теорий. Она дает возможность доказать существование полных и состоятельных относительно некоторого множества посылок автоэпистемических теорий, что было бы трудно осуществить с помощью первоначально указанной семантической характеризации.

Основным результатом, на котором базируется эта новая характеризация, является следующее утверждение.

• Т есть множество формул, подтверждающихся во всех мирах S5-полной структуры (т.е. структуры относительно системыS5, для которой любой возможный мир доступен из другого, неважно какого, возможного мира) тогда и только тогда, когда Т являетсяустойчивой автоэпистемической теорией.

Таким образом, любая автоэпистемическая интерпретация устойчивой автоэпистемической теории Т может характеризоваться структуройStтипаS5 и некой оценкойV.Структура возможных мировспецифицирует предположенияидеально разумного агента, тогда как оценка определяет то, что действительно подтверждается в реальном мире.

Точнее, автоэпистемическая интерпретацияIавтоэпистемической теории Т есть пара= <St, V>, где

• St–S5-полная структура (представленная множеством своих возможных миров, каждый из которых символизирован множеством подтверждающихся позитивных и негативных пропозициональных констант),

• V– оценка истинности в реальном мире для пропозициональных констант изLp.

Автоэпистемическая теория Т является множеством всех формул, истинных во всех мирах из St.

Рассмотрим пример автоэпистемической интерпретации: = <St, V> сSt = {{q, p}, {q, p}} и V = {p, q}.S5-полная структураStсоставлена из двух возможных миров. В первом формулыqиpистинны. Во втором истинны формулыqиp. ОценкаVуказывает, чтоpиqистинны в реальном мире.– автоэпистемическая интерпретация автоэпистемической теории Т, содержащей все формулы, истинные во всех мирах структурыStиз. В данном случае Т сводится к единственной формулеq.

 называется автоэпистемической модельютеории Т, составленной из множества формул, истинных во всех мирах изSt, когда любая формула из Т подтверждается в.

Второй результатдает средство проверки, является ли автоэпистемическая интерпретациядля Т автоэпистемической моделью для Т.

• Если = <St, V> – автоэпистемическая интерпретация для Т, тоявляетсяавтоэпистемической модельюдля Т тогда и только тогда, когдаV– элемент изSt, что означаетвыполнимостьоценкиVвместе с данной оценкой, задаваемой в одном из возможных миров структурыSt(т.е., что реальный мир – один из миров, совместимых с предположениями данного субъекта).

В нашем примере – автоэпистемическая модель для Т, ибо оценкаVреального мира выполнима вместе с оценкой, заданной в первом возможном мире структурыSt.

Эти два результата интересны тем, что они индуцируют метод проверки принадлежности формулы к устойчивому расширению исходного множества посылок.

Напомним, что устойчивое расширениеТ множества А основных пред­положений (посылок) естьустойчивоемножество предположений,основанноена А.

В силу первого результата автоэпистемическая теория Т устойчива, если ее можно представить S5-полной структурой возможных миров. Чтобы автоэпистемическая теория Т былаустойчивым расширением, нужно еще, чтобы Т былаоснованана множестве А исходных предположений (следовательно, чтобы Т быласостоятельнаотносительно А). Иначе говоря, любая автоэпистемическая модель посылок А должна также быть и моделью для Т. В силу второго результата оценка реального мира каждой из этих автоэпистемических моделей посылок должна быть выполнимой вместе с оценкой в одном из возможных миров структурыStдля автоэпистемической интерпретации.

Мур предложил разрешающую процедуру для автоэпистемической логики. Приведем один простой ее вариант.

Пусть А – множество посылок.

1. Строим все оценки, возможные для пропозициональных констант, появляющихся в А. Они будут характеризовать S5-полные структуры возможных миров языка для А.

2. Выбираем структуры возможных миров, для которых любая формула из А подтверждается во всех мирах.

3. Для каждой из этих структур Stстроим все автоэпистемические интерпретации <St, V>, соответствующие всем оценкамVпропозициональных констант, которые появляются в А.

4. Проверяем для каждой автоэпистемической интерпретации <St, V> выполнение или невыполнение утверждения: «любая формула из А истинна в <St, V> тогда и только тогда, когдаVпринадлежитSt». В случае выполненияStхарактеризует некое устойчивое расширение для А.

5. Чтобы проверить принадлежность данной формулы устойчивому расширению, представленному посредством St, выясняем, подтверждается ли эта формула вSt.

Пример 3.6.

Пусть множество исходных предположений A = {Lp  q}. Оно содержит только одну формулу, означающую «если я не предполагаюp, тоqподтверждается». Докажем, что:

• идеально разумный агент, имеющий множество исходных предположений А, состоящее из одного элемента, получит устойчивое расширение Т, содержащее высказывание q, но неp;

• не может существовать ни устойчивого расширения, содержащего p, но неq, ни устойчивого расширения, содержащего одновременноpиq.

1. Предположим, что какое-то устойчивое расширение Т для А содержитq, но неp. В этом случаеS5-полной структурой, связанной с множеством предположений Т, будетSt = {{q, p}, {q, p}}.

Эта структура отражает два возможных мира: в первом подтверждаются qиp, во втором –qиp. Истинные формулы во всех мирах этой структуры соответствуют формулам, предполагаемым данным агентом. Таким образом, Т – устойчивая автоэпистемическая теория.

Рассмотрим все автоэпистемические интерпретации для Т. Они составлены из структуры возможных миров, отражающей предположения данного агента, и из произвольной оценки Vистинности в реальном мире. В рассматриваемом языке лишь две пропозициональные константы; значит, оценок – четыре: {p, q}, {p, q}, {p, q}, {p, q}.

Из четырех автоэпистемических интерпретаций = <St, V> только первая и третья превращают в истинное основное предположениеLp  q. Так как оценкаVдля каждой из этих интерпретаций (1 и 3) совпадает с оценкой возможного мира данной структуры, то теория Тоснованана множестве посылок А, и следовательно, является устойчивым расширением А.

2. Предположим, что Т содержитp, но неq. Структура возможных миров будет тогдаSt = {{p, q}, {p, q}}. Рассмотрим оценкуV= {p, q}. Она служит основой автоэпистемической интерпретации= <St, V> теории Т, подтверждающей А. Так какVне соответствует оценке какого бы то ни было мира этой структуры, то Т не может быть устойчивым расширением А.

3. Предположим, что Т содержитpиq. Единственно возможным является мир {p, q}. Так как существует автоэпистемическая интерпретация, подтверждающая А и заданная этим возможным миром и оценкойV= {p, q}, для которойVне соответствует единственному возможному миру данной структуры, то Т не может быть устойчивым расширением А.

Области применения АЭЛ весьма разнообразны. Она позволяет характеризовать заключения, ожидаемые от системы, способной к совершенной интроспекции. Это особенно полезно, когда запрашивают БД или БЗ об их собственных пределах знаний.

Между тем эффективноеприменение АЭЛ ограничено возможностями языка высказываний и громоздкостью разрешающей процедуры.