2.6. Система s5

11. Постулаты S5.

Постулаты S5 определяются как постулаты S1, к которым добавляется аксиома:

11.1. ├pp.

Эта аксиома независима от постулатов S1, так как согласно матрице группы VЛьюиса и Лэнгфорда она имеет значение 4 приp= 3.

Она также не противоречит постулатам S1, ибо матрица группы IIIЛьюиса и Лэнгфорда удовлетворяет как самим этим постулатам, так и 11.1.

11.2. Докажем следующие строгие эквивалентности.

11.2.1. ├pp.

1. ├ p  p подстановка в 8.2.

2. ├ ppиз (1) и аксиомы 11.1 по определению 3.5.

11.2.2. ├ppиз 11.2.1 по двойственности.

11.3. Можно вывести в S5 аксиому 9.1 системы S4, поэтому S5 содержит систему S4.

1. ├ p  p подстановка в 8.2.

2. ├ p  p замена по 11.2.2.

3. ├ p  p замена по 11.2.1.

Так как в S4 имеются 14 несводимых модальностей, то и в S5 они имеют место. Однако их число можно уменьшить в S5 до 6: четыре из них являются собственными модальностями, имеющими первую степень, а именно: «возможно» (p) и «невозможно» (pилиp); «необходимо» (p) и «не необходимо» или «случайно» (pилиp), а также две несобственные модальности (pиp).

Таким образом, мы рассмотрели различные системы модального исчисления высказываний, не касаясь модального исчисления предикатов первого порядка, которое может быть получено из первого путем введения соответствующих постулатов для формул, содержащих кванторы по предметным переменным.

2.7. Семантика возможных миров Крипке

Рассмотрим теперь один из способов интерпретации модальных систем при помощи структур, предложенных С. Крипке. Здесь будет четко прослеживаться связь между синтаксисом и семантикой, т.е. между системами аксиом и интерпретирующими отношениями.

Модальное исчисление высказываний по-прежнему задается бесконечным списком пропозициональных переменных (атомарных формул), комбинируя которые при помощи связок &, и, можно получить правильно построенные формулы, обозначаемые какA,B,C...

Модальное исчисление высказываний будет называться нормальным, если оно содержит следующие схемы аксиом и правила вывода:

А1. АА.

А3. (АВ)(АВ).

R1. Если├А и├АВ, то├В (modusponens).

R2. Если├А, то├А (в ненормальных системах правилоR2 не выполняется).

Система, содержащая только вышеприведенные схемы аксиом и правила вывода, называется системой М(системой Фейса-фон Вригта, иногда системой Т).

Система S4 получается из М добавлением схемы аксиом А4: АА.

Брауэрова системаполучается из М добавлением брауэровой схемы аксиом АА.

Наконец, система, эквивалентная S5, может быть определена как система М с добавленной схемой аксиом А2: АА. Известно также, что S4 плюс брауэрова схема аксиом эквивалентна S5.

Нормальной модельной структуройназывается упорядоченная тройка <G, W,R>, гдеW– некоторое непустое множество (универсум), элементы которого могут рассматриваться как «точки соотнесения» или «возможные миры», в которых высказывание истинно или ложно;G  W– некоторый выделенный элемент этого множества, иначе «действительный мир»;R–отношение доступности, определенное на множествеW, на которое наложено единственное требование рефлексивности.

Модальная формула будет оцениваться в лоне некоего «универсума» различных «возможных миров». Точнее, анализ истинности некой модальной формулы зависит от рассматриваемого возможного мира. Если два мира Н₁и Н₂принадлежат универсумуW, то доступность мира Н₂из мира Н₁обозначается как Н₁RН₂. Нормальную модельную структуру будем также называтьМ-модельной структурой.

М- (S4-, S5-, брауэровой) модельюформулы А из М- (S4-, S5-, брауэровой) системы называется двуместная функция Ф(Р, Н), соответствующая данной М- (S4-, S5-, брауэровой) модельной структуре <G, W, R>. Первая переменная Р пробегает множество атомарных подформул А, а вторая переменная Н пробегает элементыW. Эта функция принимает значения на множестве {И, Л}.

Для данной модели Ф, соответствующей модельной структуре <G, W, R>, определим для каждой подформулы В формулы А и всякого НWоценку– значение Ф(В, Н) (которое может быть И или Л), т.е. определим однозначное расширение Ф, первый аргумент которого пробегаетвсеподформулы А, а не только атомарные подформулы. Для атомарных В (т.е. для пропозициональных переменных) соответствующие значения Ф(В, Н) уже определены раньше. Для сложных формул оценка определяется индукцией по числу связок в формуле.

Пусть Ф(В, Н) и Ф(С, Н) уже определены для каждого Н W. Если Ф(В, Н) = Ф(С, Н) = И, то Ф(В  С, Н) = И; в противном случае Ф(В  С, Н) = Л. Если Ф(В, Н) = И, то Ф(В, Н) = Л; в противном случае, т.е. если Ф(В, Н) = Л, то Ф(В, Н) = И. Наконец, определим Ф(В, Н): если Ф(В, Н) = И длявсехНизW, таких что Н R Н, то положим Ф(В, Н) = И; в противном случае, т.е. когдасуществуеттакое Н, что Н R Ни Ф(В, Н) = Л, положим Ф(В, Н) = Л.

Формулу А назовем истиннойв модели Ф, связанной с модельной структурой <G, W, R>, если Ф(А,G) = И иложной, если Ф(А,G) = Л. Формулу А назовемобщезначимой, если она истинна во всех своих моделях, ивыполнимой, если она истинна хотя бы в одной из моделей.

Из множества «возможных миров» выделяем «действительный мир» – элемент G. Каждая атомарная формула (т.е. пропозициональная переменная) Р получает некоторое истинностное значение в каждом мире Н; в действительности это значение есть Ф(Р, Н).

Интуитивно отношение Rможет пониматься следующим образом: для данных двух миров Н₁, Н₂W, «Н₁RН₂» читается как «Н₂возможен относительно Н₁», «возможен в Н₁» или «зависит от Н₁»; это значит, что каждое высказывание, истинное в Н₂, возможно в Н₁. Один мир является теперь возможным относительно некоторого другого. Очевидно, что каждый мир возможен относительно себя самого (рефлексивность отношенияR), т.е. всякое высказывание,истинноев Н, является такжевозможнымв Н. Мы оцениваем формулу А какнеобходимуюв мире Н₁, если она являетсяистиннойв каждом мире, возможном относительно Н₁; иными словами, Ф(А, Н₁) = И тогда и только тогда, когда Ф(А, Н₂) = И для каждого Н₂такого, что Н₁RН₂. Двойственным образом, формула Авозможнав мире Н₁тогда и только тогда, когда существует мир Н₂, возможный относительно Н₁, в котором Аистинна.

Выясним, при каком условии отношение Rбудет обладать свойством транзитивности, т.е. следует ли из того, что Н₁RН₂и Н₂RН₃утверждение Н₁RН₃? Сказать, что Н₂RН₃, – значит, сказать, что каждая формула А, истинная в Н₃, является возможной в Н₂(т.е. формулаА истинна в Н₂); но тогда, поскольку Н₁RН₂,то отсюда в свою очередь следует, что формулаА является возможной («возможно, что возможно» А иА истинна) в Н₁. Но Н₁RН₃, значит, если А истинна в Н₃, то А возможна в Н₁; но выше мы установили, что по меньшей мере,возможно, что А возможна в Н₁. Это приводит к требованию дополнительной аксиомы:АА «возможно, что возможна А, означает, что А возможна», а это аксиома редукции S4. В соответствии с этим будем называть модельную структуру с транзитивным отношениемR(не забывая о рефлексивности)S4-модельной структурой.

Аналогично можно показать, что брауэрова аксиома приводит к симметричнос­ти R. Действительно, предположим, что имеет место АА и Н₁RН₂. Тогда Н₂RН₁будет установлено, если мы сможем доказать, что всякое утверждение, истинное в Н₁, возможно в Н₂. Но если А истинна в Н₁, то согласно брауэровой аксиоме (А истинна в Н₁)А необходимо в Н₁, т.е.А истинна во всех мирах, возможных относительно Н₁. В частности,А истинна в Н₂, что и требовалось доказать.

Аксиомы редукции классической модальной логики позволяют установить простые свойства (помимо рефлексивности) отношения R.

Если мы считаем, что отношение Rимеет место для каждой пары элементов изW, то тем самым утверждается, что каждое возможное высказывание является необходимо возможным, т.е. это приводит к характеристической аксиоме S5. К той же аксиоме мы придем, считаяRотношением эквивалентности.

Пусть отношение R^*является «транзитивным замыканием» отношенияR, т.е. Н₀R^*Н означает существование таких Н₁, ..., Н_n= Н, что для любогоi<nимеет место Н_iRН_i+1. Модельная структура <G, W, R> называетсясвязной, если для всех НWGR^*Н.

Модель называется связной, если она определена на связной модельной структуре.

Модель Ф является моделью формулы А тогда и только тогда, когда А истинна в Ф, в противном случае Ф является контрмоделью для А.

Покажем, что каждая выполнимая формула имеет связную модель или, что то же, что каждая необщезначимая формула имеет связную контрмодель.

Пусть А выполняется в модели Ф(Р, Н), определенной на модельной структуре <G, W, R>. ПустьWесть множество всех НWтаких, чтоGR^*Н, аRявляетсяограничениемRнаW, и пусть Ф(Р, Н) есть Ф, ограниченная условием, что Н пробегаетW. Тогда <G, W,R> есть модельная структура и Фявляется моделью в <G, W,R>. Очевидно, что Фсвязана. Мы докажем по индукции, что Ф(В, Н) = Ф(В, Н) для каждой подформулы В формулы А и для каждого НW(следовательно, окажется, что Фявляется искомой моделью А, т.к. Ф(А,G) = И, Ф(А,G) = И).

Если В атомарна, то этот результат получается немедленно. Если утверждение уже доказано для CиD, и В естьC & DилиC, то проверка утверждения для В тривиальна. Если В естьC, то проделываем шаг индукции следующим образом: заметим, что если НW, то НRНвлечет НW, а следовательно, НRН. По индуктивному предположению, для НWФ(С, Н) = Ф(С, Н). Тогда:

1. Ф(С, Н) = И тогда и только тогда, когда для всякого НWтакого, что НRН, Ф(С, Н) = И;

2. Ф(С, Н) = И тогда и только тогда, когда для всякого НWтакого, что НRН, Ф(С, Н) = И.

Предыдущее обсуждение показывает, что если Н W, то правые части (1) и (2) эквивалентны; так, Ф(С, Н) = И тогда и только тогда, когда Ф(С, Н) = И, а следовательно, Ф(С, Н) = Ф(С, Н), что и требовалось доказать.

Доказанное предложение приводит к тому, что можно было бы ограничиться рассмотрением только связных моделей. Очевидно, что если в связной модели Rесть отношение эквивалентности, то любые два мира связаны с этим отношением; этим объясняется то, что модельная структура с таким отношением есть S5-модельная структура.

Дадим еще несколько определений, относящихся к связным моделям.

Тройка <G, W,S>, гдеW– множество,G  W, аS– отношение, определенное наW(не обязательно рефлексивное), называетсядеревом, аG– егокорнемилиначалом, если:

1. не существует H  Wтакого, чтоH S G;

2. для каждого H  W, кромеG, существует единственноеHтакое, чтоH S H;

3. для каждого H  WG S^* H.

Если H S H, тоHмы назовем предшественникомH; в терминах, связанных сS,Wможно охарактеризовать как область определенияS, аGкак единственный элементW, не имеющий предшественника. Можно сказать, чтоSявляетсядревовиднымотношением, если существуютGиW, удовлетворяющие сформулированным выше условиям.

М-модельная структура <G, W,R> называетсядревовидной, если существует такое отношениеS, что <G, W,S> является деревом, аR– наименьшее рефлексивное отношение, содержащееS(рефлексивное отношение, «порожденное»S).

Очевидно, что в этом случае H₁ R H₂тогда и только тогда, когдаH₁ S H₂илиH₁ = H₂.

Аналогично определяются брауэрова, S4-, S5-модельные структуры как древовидные структуры с условием, что R– наименьшее рефлексивное и симметричное для брауэровой структуры; рефлексивное и транзитивное для S4 отношение и отношение эквивалентности для S5 соответственно.

Очевидно, что каждаядревовидная модельная структурасвязна. Согласно условию (3) для каждогоH  WG S^* H; а посколькуS  R, то получаем, чтоS^*  R^*. В S5 каждая конечная или счетная связная модельная структура является древовидной S5-модельной структурой. Это может не выполняться для S4; действительно, существуют связные S5-модельные структуры (например,W = {G, H} и отношениеRсвязывает все пары), являющиеся древовидными S5-модельными структурами, но не являющиеся древовидными S4-модельными структурами.

Модель, ассоциированная с древовидной модельной структурой, называется древовидной моделью.

Можно показать, что семантическая теория не потеряет общности, если рассматривать только древовидные модели. Кроме того, эти модели допускают наглядное диаграммное представление.

Я сейчас курю восхитительную мысль с обаятельным запахом. Ее смолистая нега окутала мой разум точно простыней.

В. Хлебников.

Убеждение – это не начало, а венец всякого познания.

И. Гёте.