2.26.4. Упрощение выражений. Подстановки.
Рассмотрим вопросы, связанные с упрощением выражений и разного рода подстановками. Прежде всего, отметим, что для приведения коэффициентов при одинаковых степенях переменной или выражения используется команда collect; для разложения выражения на сумму и произведение простых сомножителей используется команда expand; для разложения полинома на множители используется команда factor; для упрощения выражений используются команды simplify и simple (устаревшая функция, которая будет исключена из MATLAB – идея алгоритма, реализованного в этой функции, но менее мощного по сравнению с реализованным в функции simplify, состоит в получении выражения, которое записывается меньшим количеством символов, чем исходное), которая выводит все возможные варианты преобразования выражения; для подстановки или замены переменных в выражении используются команды subs и subexr.
Перейдем к практическим примерам.
Пусть требуется упростить выражение
.
Имеем:
>> syms a x
>> f=a*log(x)-x*log(x)-x-a;
>> collect(f,log(x))
ans =
(a - x)*log(x) - a - x
Пусть требуется упростить выражение
.
Имеем:
>> syms x y a
>> f=x*y+a*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x*y^2+a*x
f =
a*x + x*y + x*y^2 + x^2*y - a*x^2*y + a*x*y
>> collect(f,'x')
ans =
(y - a*y)*x^2 + (a + y + a*y + y^2)*x
>> collect(f,'y')
ans =
x*y^2 + (x + a*x - a*x^2 + x^2)*y + a*x
Поясним, что функция collect, обращение к которой в общем случае имеет вид
collect(expr [, var])
вычисляет коэффициенты полинома expr при степенях переменной var (раскрывает скобки и приводит подобные слагаемые), если второй параметр отсутствует, то по умолчанию выбирается переменная x.
Пусть требуется разложить выражение
на сумму и произведение простых
сомножителей. Имеем:
>> syms alpha beta
>> expand(cos(alpha+beta))
ans =
cos(alpha)*cos(beta) - sin(alpha)*sin(beta)
Пусть требуется разложить выражение
на произведение простых сомножителей.
Имеем:
>> syms x y
>> expand(exp(x+y))
ans =
exp(x)*exp(y)
Пусть требуется разложить выражение
на сумму и произведение простых
сомножителей. Имеем:
>> syms x
>> f=(x+1)*(x+2)*(x+3)
f =
(x + 1)*(x + 2)*(x + 3)
>> expand(f)
ans =
x^3 + 6*x^2 + 11*x + 6
Пусть требуется разложить на множители
полином
.
Имеем:
>> syms x
>> f=x^3+8
f =
x^3 + 8
>> factor(f)
ans =
(x + 2)*(x^2 - 2*x + 4)
Заметим, что если аргумент функции factor представляется собой целое число, то результатом работы этой функции будет произведение простых множителей такого числа.
Пусть требуется упростить выражение
.
Имеем:
>> syms x
>> f=(4-x^2)/(x+2)
f =
-(x^2 - 4)/(x + 2)
>> simplify(f)
ans =
2 - x
Пусть требуется упростить выражение
.
Имеем:
>> syms x
>> f=sin(x)^2+cos(x)^2
f =
cos(x)^2 + sin(x)^2
>> simplify(f)
ans =
1
Как уже отмечалось, функция subs(expr [, var1, var2]) выполняет операции подстановки, причем при обращении вида subs(expr) в символьном выражении expr все переменные заменяются их символьными значениями, определенными ранее. В результате обращения вида subs(expr [, var1]) все свободные символьные переменные из выражения expr заменяются на переменные из списка var1; в наиболее общем случае при обращении subs(expr [, var1, var2]) в символьном выражении expr осуществляется замена var1 на var2. Например, имеем:
>> x=1;
>> subs(x^2-2*x+1)
ans =
0
>> syms a b
>> p=sym('5*x^4-7*x^2+4')
p =
5*x^4 - 7*x^2 + 4
>> p=subs(p,a-b)
p =
5*(a - b)^4 - 7*(a - b)^2 + 4
>> subs(p,[a,b],[2,1])
ans =
2