2.26.2. Вычисление пределов.
Одной из важных задач математического анализа является вычисление пределов последовательностей и функций [99,103,113,187,190,221]. Для решения этой задачи в системе MATLAB предусмотрена функция:
limit(func [, x, b, options])
где func – символьная запись функции или ее имя; x – имя переменной относительно которой вычисляется предел; b – точка в которой вычисляется предел (возможно вычисление справа и слева от заданной точки).
Рассмотрим использование функции limit на нескольких примерах.
Пусть требуется вычислить предел
.
Имеем:
>> syms x h
>> limit((cos(x+h)-cos(x))/h,h,0)
ans =
-sin(x)
Функция limit(func,x,a) возвращает предел символьного выражения func в точке x, стремящейся к значению a.
Пусть требуется вычислить предел
.
Имеем:
>> syms x n
>> limit((1+x/n)^n,n,inf)
ans =
exp(x)
Функция limit(func,x,inf) возвращает предел символьного выражения func в точке x, стремящейся к бесконечности.
Пусть требуется вычислить предел
.
Имеем:
>> syms x
>> limit(1/(2-x),x,2)
ans =
NaN
Поясним, что значение NaN переменной ans в данном случае означает, что значение рассматриваемого предела не определено.
Пусть требуется вычислить пределы
и
.
Имеем:
>> syms x
>> limit(1/(2-x),x,2,'left')
ans =
Inf
>> limit(1/(2-x),x,2,'right')
ans =
-Inf
Функция limit(func,x,a,’right’) возвращает предел символьного выражения func в точке x, стремящейся к значению a справа (т.е. x принимает значения большие, чем a). Функция limit(func,x,a,’left’) возвращает предел символьного выражения func в точке x, стремящейся к значению a слева (т.е. x принимает значения меньшие, чем a).
Пусть требуется вычислить пределы слева и справа:
и
.
Имеем:
>> syms x
>> f=2^(1/(x^2-4))
f =
2^(1/(x^2 - 4))
>> limit(f,x,2,'left')
ans =
0
>> limit(f,x,2,'right')
ans =
Inf
2.26.3. Символьное интегрирование.
Для вычисления интегралов в символьном виде в системе MATLAB используется функция int, имеющая следующий синтаксис:
int(f)
int(f[, var])
int(f[, var, a, b])
где f – символьная подынтегральная функция; var – переменная интегрирования (необязательный параметр); a – нижний предел интегрирования (необязательный параметр); b – верхний предел интегрирования (необязательный параметр).
Рассмотрим ниже несколько тематических примеров.
Пусть требуется вычислить неопределенный интеграл
.
Имеем:
>> syms x a b
>> int(1/(a^2+(b*x)^2))
ans =
atan((b*x)/a)/(a*b)
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
.
Имеем:
>> syms x a b
>> int(1/(a^2+(b*x)^2),0,a/b)
ans =
pi/(4*a*b)
2.26.3. Вычисление суммы ряда. Разложение функций в ряды.
Для вычисления суммы ряда в системе MATLAB используется функция symsum, синтаксис обращения к которой имеет вид:
symsum(func [, var, a, b])
где func – символьное выражение, обозначающее общий член суммы числового ряда, зависящий от переменной var, которая, в свою очередь, может принимать значения от a до b.
Пусть требуется вычислить суммы ряда
и
.
Имеем:
>> syms x k
>> s1=symsum(1/k^4,1,inf)
s1 =
pi^4/90
>> s2=symsum(1/k^4,1,10)
s2 =
43635917056897/40327580160000
Приведем теперь пример расходящегося ряда
,
при попытке вычисления суммы элементов которого будем иметь:
>> syms x k
>> s=symsum(1/k,1,inf)
s =
Inf
Для формирования ряда Маклорена (являющегося частным случаем ряда Тейлора) символьной функции func до n-го члена (если параметр n отсутствует, то по умолчанию до шестого) следует использовать функцию
taylor(func [, n])
Пусть, например, требуется разложить в ряд Маклорена функцию
.
Имеем:
>> syms x
>> f=1/(5+3*sin(x));
>> T=taylor(f)
T =
(631*x^5)/125000 + (6*x^4)/3125 - (29*x^3)/1250 + (9*x^2)/125 - (3*x)/25 + 1/5
Функция taylor(func, var [, a]) возвращает разложение в ряд Тейлора для символьной функции func относительно переменной var окрестности точки a.
Пусть, например, требуется разложить в
ряд Тейлора (вывести первые три члена)
в окрестности точки
функцию
.
Имеем:
>> syms x a
>> taylor(exp(x),x,a)
ans =
exp(a) + (exp(a)*(a - x)^2)/2 - (exp(a)*(a - x)^3)/6 + (exp(a)*(a - x)^4)/24 - (exp(a)*(a - x)^5)/120 - exp(a)*(a - x)