2.12.1. Общий алгоритм визуализации функций двух переменных.
Прежде всего, отметим, что аналогично процессу построения графика функции одной переменной, создание графика функций двух переменных включает следующие основные этапы:
– задание массивов значений аргумента (в частности, формирование массивов, содержащих (хранящих) информацию о координатах узлов сетки на области определения функции);
– вычисление массива соответствующих значений функции;
– вызов специальной функции для вывода графика на экран;
– отображение на графике дополнительной (поясняющей) информации (название графика, заголовки осей, соответствие цветов значениям функции, изменение палитры цветов и т.д.).
2.12.2. Построение трехмерных линий.
Положение каждой точки в трехмерном
пространстве, как известно, задается
тремя координатами (в частности, в
декартовой системе координат они
традиционно обозначаются
).
Набор точек, принадлежащий некоторой
линии в пространстве, задается в виде
трех векторов, которые содержат координаты
точек по соответствующим координатным
осям. Имена данных векторов указываются
в списке формальных параметров функции
plot3,
которая выполняет проектирование
соответствующей трехмерной линии на
плоскость и строит соответствующее
(результирующее) изображение. Следует
подчеркнуть, что все сопутствующие
вычисления и выбор необходимых параметров
визуализации (пределы изменения
переменных по осям координат, число
графических и числовых меток, выбор
цвета линии, цвета фона и т.д.) отображаемой
зависимости будут сделаны автоматически
в соответствии с общей концепцией
высокоуровневой графики системы MATLAB.
Так, например, для построения
пространственной (винтовой) спирали
(
,
,
)
необходимо выполнить следующую
последовательность команд (рис. 2.12.1):
>> t=0:pi/100:10*pi;
>> x=cos(t);
>> y=sin(t);
>> plot3(x,y,t);
>> grid on
Рис. 2.12.1. Пример построения пространственной кривой.
Следует пояснить, что в результате задания функции
plot3(x,y,t)
система MATLAB построит трехмерную линию, координаты которой соответствуют элементам векторов x, y, и t.
Функция plot3, также как и функция plot, принимает дополнительный аргумент, задающий параметры графической линии (такие как цвет, тип линии и тип маркера, помечающего точки на графике). Так, например, для того, чтобы изобразить показанную на рис. 2.12.1 спираль в виде зеленой пунктирной линии, необходимо ввести следующую команду:
plot3(x,y,t,’g:’)
Функцию plot3, являющуюся трехмерным аналогом функции plot, можно применять и для отображения поверхностей. В таком случае в отличие от представленного примера, в списке формальных параметров указываются три матрицы одинакового размера. Далее высокоуровневая графическая подсистема MATLAB автоматически выполняет трехмерную визуализацию поверхности (набора линий в пространстве, количество которых будет соответствовать числу столбцов матриц) без сколь-либо существенных усилий со стороны пользователя.
Рассмотрим более подробно задание
указанных матриц, используемых при
визуализации поверхности. Пусть в точке
с координатами
вычислено значение функции
.
Для всех таких точек
имеем соответствующие массивы точек.
Соответствующие функции системы MATLAB
проводят через эти точки гладкую
поверхность и отображают ее проекцию
на экран монитора компьютера. Следует
отметить, что наиболее часто для
вычисления аргументов используется
разбиение области определения функции
в виде прямоугольной сетки.
Для описания такой сетке в MATLAB
необходимо создать две матрицы, которые
будем обозначать здесь X
и Y.
Число строк данных матриц равно количеству
узлов разбиения отрезка
,
а число столбцов – количеству узлов
разбиения отрезка
,
при этом строки матрицы X
одинаковые и содержат координаты узлов
разбиения отрезка
,
а столбцы матрицы Y
также одинаковые и содержат координаты
узлов разбиения отрезка
.
Для формирования таких матриц используется
функция meshgrid,
имеющая следующий синтаксис:
[X Y]=meshgrid(x,y)
где x и y – векторы, содержащие координаты узлов сетки (табличных точек) вдоль координат и соответственно.
Заметим, что в частном случае, когда
область определения функции представляет
собой квадратную сетку т.е.
,
то к функции meshgrid
можно обратиться с одним аргументом:
[X Y]=meshgrid(x)
В дальнейшем в каждом узле полученной
таким образом прямоугольной сетки
вычисляются значения функции
и сохраняются в соответствующей матрице
Z.
Очевидный проигрыш в памяти из-за повторяющихся строк в массиве X и повторяющихся столбцов в массиве Y компенсируются простотой и эффективностью вычисления значений визуализируемой функции в узлах сетки. Такой подход естественным образом гарантирует правильность сочетания координат x и y в узлах сетки.
Для построения поверхности в виде линий,
получаемых в сечении поверхности
плоскостями, параллельными плоскости
,
как и в предыдущем примере используется
функция plot3(X,Y,Z).