11. Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.

Теорема. Нижняя цена игры α и верхняя цена игры β в чистых стратегиях, нижняя цена игры и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Доказательство. Начнем доказательство с левого неравенства (1).

По определению

нижней цены в смешанных стратегиях

Здесь правая часть не зависит отР и потому это неравенство остается верным и для Р = A_i, i = 1, ..., m:

Так как полученное неравенство справедливо для всех i = 1, ..., m, то оно будет справедливым в частности для того номера i, который максимизирует показатель эффективности α_i:

Итак, первое из неравенств (1) доказано.

Докажем второе неравенство ≤в (1). Для любых Р S_A и Q S_B по

и

имеем:

Соотношение (2) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (Р, Q) выигрыш H(P, Q) игрока A не меньше показателя эффективности α(P) его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В.

Так как (2) справедливо для любых РS_A и QS_B , то из него следует, что

Докажем последнее (правое) из неравенств (1). В силу определения

верхней цены игры в смешанных стратегиях

В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q = B_j, j = 1, ..., п , игрока В

и, следовательно, неравенство остается в силе и для того номера j, который минимизирует показатель неэффективности β(B_j) стратегии В_j, т.е.

Итак, (1) доказано.

11. Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции

Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выиг­рыш, равный цене игры: .

Применение первым игроком оптимальной стратегии должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока вы­игрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проиг­рыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то зада­ча определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности це­лесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычерки­вания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Если , то такая игра называетсяиг­рой с седловой точкой, элемент матрицы , соответст­вующий паре оптимальных стратегийназываетсясед­ловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

11. Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.

1. Рассмотрим игру 2х2.

Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение – это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке. Для игры, в которой отсутствует седловая точка оптимальное решение игры существует и определяется парой смешанных стратегий (x₁^*,x^*₂) и (у₁^*,у₂^*).

(!!!это заменяем на следующее обозначение смешанных стратегий P⁰ =(p₁⁰;p₂⁰) and Q=(q₁⁰;q₂⁰), соответственно дальше меняем сами)

2. Для того, чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях.

Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией не пользовался второй игрок. Для игры 2х2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Поэтому средний выигрыш и первого и второго игрока будет равен цене игры.

3. Пусть игра задана матрицей

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию х^*=(x₁^*,x^*₂), а второй игрок – чистую стратегию, соответ.первому столбцу платежной матрицы, равен цене игрыv:

a₁₁x₁^*+a₂₁x^*₂=v.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответ.второму столбцу платежной матрицы, т.е. a₁₂x₁^*+a₂₂x^*₂=v. Учитывая, чтоx₁^*+x^*₂=1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

a₁₁ x₁^*+a₂₁ x^*₂ = v.

a₁₂ x₁^*+a₂₂ x^*₂ = v

x₁^*+ x^*₂=1

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

x₁^*=

x₂^*=

и цену игры v=

4. Для второго игрока

В=-А^Т=

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании оптимальной смешанной стратегии второго игрока, получаем, что при любой чистой стратегии первого игрока средний проигрыш второго игрока равен v, т.е.a₁₁у₁^*+a₁₂у₂^*=v.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:

у₁^*=

у₂^*=

v’=-v