11. Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.

Критерий Вальда есть частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей со специальными коэффициентами

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та стратегия, при которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий.

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. ориентирует игрока А на наихудшее для него состояние природы и, следовательно, на крайне осторожное, осмотрительное поведение при выборе стратегий. Этот критерий уместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть.

11. Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.

Является противоположностью критерия Вальда. Представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей, когда коэф. выбираются следующим образом:

Оптимальной среди чистых стратегий по максимаксному критерию является стратегия А_ioс максимальным показателем эффективности:

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

Т.е. стратегия, максимальный выигрыш при которой максимален среди максимальных выигрышей всех чистых стратегий. Поэтому оптимальной будет стратегия, при которой (хотя бы) один из выигрышей является максимальным среди выигрышей всех чистых стратегий .Оптимальная по максимаксному критерию стратегия гарантирует игроку А возможность наибольшего выигрыша, равного максимаксу.

Для максимаксного критерия показатели пессимизма и оптимизма равны соответственно ,. Таким образом, максимаксный критерий является критерием крайнего оптимизма, так как ориентирует ЛПР на наилучшее, благоприятнейшее для него состояния природы и, следовательно, на порой неоправданно легкомысленное поведение при выборе стратегий. Вместе с тем, в некоторых ситуациях этим критерием пользуются осознанно, например, в ситуации когда перед игроком стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом.

11. Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.

Критерий Гурвица был выдвинут в 1951 году Леонидом Гурвицем, как некоторая альтернатива, попытка разработать промежуточный критерий, который учитывает критику критериев Вальда и максимакса. В научной литературе он именуется критерием Гурвица: «Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица с коэффициентом оптимизма λ [0,1] оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей».

Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Смысл его состоит в нахождении по специальной формуле эффективности всех стратегий игрока А и последующее сравнении данных показателей эффективности для выбора наиболее оптимальной стратегии, при условии полной неопределённости, т.е. вероятности состояния природы нам неизвестны. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:

1. Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;

2. Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;

3. Допускается некоторый риск.

Рассмотрим игру с природой размера m x n, m2, n2, с матрицей A= (a_ij), где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A₁ ,A₂ ,…,A_m – чистые стратегии игрока А и П₁,П₂,...П_n – состояния природы П. Вероятности состояний неизвестны.

Введём специальный коэффициент λ [0,1], которым обозначим количественную «меру оптимизма» игрока А при выборе стратегии. Данный коэффициент выбирает сам игрок, на основании интуиции, личного опыта, состояния окружающей среды или на основе статистических исследований результатов принятия решений.

Эффективность чистой стратегии A_i в смысле критерия Гурвица [(Hur)^p (λ)] характеризуется показателем:

(Hur)^p_i (λ)= (1- λ)W_i + λM_i , i = 1,2,…,m, (2.1)

где W_i и M_i - показатели эффективности стратегии A_i соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.

Таким образом, Игрок А при использовании критерия Гурвица с коэффициентом λ [0,1] занимает более взвешенную позицию, чем если бы он применил критерий Вальда или максимаксный критерий.

Если открыть скобки в равенстве (2.1) и несколько преобразовать данное выражение, то можно получить показатель эффективности (Hur)^p_i (λ) в форме линейной функции от аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом (M_i -W_i):

(Hur)^p_i (λ) = (M_i -W_i) λ + W_i (2.2)

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)^p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:

(2.3)

Оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица с коэффициентом λ относительно выигрышей, или (Hur)^p (λ) – оптимальной во множестве , называется чистая стратегияA_k с наибольшим (Hur)^p (λ)-показателем эффективности:

(2.4)

Из определений (2.2) и (2.3) очевидно, что критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей при λ = 0 превращается в критерий Вальда оптимальности чистых стратегий, а при λ = 1 – в максимаксный критерий оптимальности чистых стратегий.

Составим общий алгоритм нахождения оптимальной чистой стратегии игрока А относительно выигрышей с использованием критерия Гурвица:

1) Выбираем по строкам наименьший выигрыш и заполняем колонку W_i;

2)Выбираем по строкам наибольший выигрыш и заполняем колонку _{Mi ;}

3)Находим эффективность чистой стратегии по формуле:

(Hur)^p_i(λ)= (1- λ)W_i + λM_i ; результаты заносим в соответствующую колонку в таблицу;

4)По методу максимина (критерий Вальда) и максимакса определяем наибольший из всех расчётных выигрышей в колонках W_i и М_i; по наибольшему значению (Hur)^p_iопределяется оптимальная чистая стратегия данного игрока.

5)Для разрешения конфликтной ситуации составляем таблицу Гурвица относительно игрока В. В таблице меняем платёжную матрицу.

6)Далее также применяем обобщенный критерий Гурвица и метод максимина относительно игрока В.

_{7)Игрок, разрешающий конфликтную ситуацию определяется по наибольшему расчётному выигрышу из соответствующих оптимальных стратегий игроков}, т.е. используется формула_.

Выбор показателя оптимизма λ логичен: вместо того, чтобы придерживаться двух крайностей в оценке ситуации в большинстве случаев целесообразно придерживаться некоторой промежуточной позиции, которая учитывает как наихудшее, так и наилучшее поведение природы.