- •4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.
- •5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
- •Критерий решения игры в чистых стратегиях.
- •Доказательство утверждения .
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b
- •Равновесие в антагонистической игре.
- •Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.
- •Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.
- •Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции
- •Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры m×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •2)В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока a.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока b.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока a.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока b.
- •Основные понятия и определения теории игр с природой.
- •Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
- •Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.
- •Учёт выигрышей по критерию Гурвица крайним пессимистом, крайним оптимистом и нейтралом.
- •Критерий Севиджа
- •Миниминный критерий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий
- •Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.
- •Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в неантагонистических (бескоалиционных) играх. Доминирование стратегий.
- •Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
- •Семейная пара принимает решение о месте куда они могут пойти в свободное время. Так он предлагает футбол, а она балет
- •Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
- •46. Аналитическое решение биматричных игр 2×2.
- •Аналогичный анализ можно провести для второго игрока.
- •47. Геометрическое решение биматричных игр 2×2
- •48. Модель дуополии по Курно.
- •49. Модель дуополии по Бертрану.
- •50. Модель «Проблема общего».
- •51. Оптимальность по Парето в неантагонистических (бескоалиционных) играх.
- •52. Позиционная форма игры.
- •53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.
- •54. Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.
- •55. Равновесие по Нэшу в позиционной игре с совершенной информацией.
- •56. Обратная индукция и позиционные игры с совершенной информацией.
- •57. Модель дуополии по Штакельбергу.
- •58. Модель последовательного торга.
- •59. Модель «инвесторы и банк».
Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.
Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективностистратегииBjo игрока В: , то есть будет максимальной вj-ом столбце матрицы игры
Д-во: Пусть ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению(1) показателя неэффективности стратегииBj0 следует, что , то есть нер-водоказано. Тогда применяя (1) приj=j0 получим , то есть доказано
Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b
Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока В Тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективностистратегииAio игрока A: , то естьбудет минимален вi-ой строке матрицы игры
Д-во: Если ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенстваприi=i0 получим и рав-водоказано
Если же это справедливо то по приi=i0 будем иметь то есть доказано неравенство
Равновесие в антагонистической игре.
Ситуация (Ai0, Bjo) называется равновесной , если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В то есть если выполняются неравенства и:(1) или равенстваи:(2)
Таким образов двойное нер-во (1) и двойное равенство (2) эквивалентны
Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
Смешанная стратегия игрока – стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью, поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющегоmчистых стратегий можно представитьm-мерным вектором Р=(р1,…,рm), рi,i=1,2,…m.
Смешанной стратегией игрока называется совокупность его чистых стратегий с определёнными для них вероятностями выбора:
, , .
Цена игры в смешанных стратегиях – общее значение нижней и верхней цены игры в смеш.стратегиях: V=относительно которых доказано, что они всегда существуют и равны.
Нижняя цена:
Верхняя цена игры:
Функция определенная на декартовом произведениимножеств смешанных стратегийисоответственно игроковA и B и ставящая в соответствие каждой ситуации в смешанных стратегияхигрокаA и Q = игрокаB средневзвешенный выигрыш игрока А в этой ситуации, определяемый выражением в правой части равенства , называется выигрыш-функцией игрока А в смешанных стратегиях.
Выигрыш функция в смешанных стратегиях, заданную в координатной форме, можно представить и в матричной форме: , где- вектор-строка смешанной стратегии игрока А размера [1m]; А-матрица выигрышей игрока А в чистых стратегиях размера [mn],- вектор столбец размера [n1] смешанной стратегии игрока B.