![](/user_photo/1596_Y1cpK.gif)
- •4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.
- •5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
- •Критерий решения игры в чистых стратегиях.
- •Доказательство утверждения .
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b
- •Равновесие в антагонистической игре.
- •Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.
- •Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.
- •Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции
- •Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры m×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •2)В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока a.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока b.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока a.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока b.
- •Основные понятия и определения теории игр с природой.
- •Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
- •Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.
- •Учёт выигрышей по критерию Гурвица крайним пессимистом, крайним оптимистом и нейтралом.
- •Критерий Севиджа
- •Миниминный критерий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий
- •Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.
- •Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в неантагонистических (бескоалиционных) играх. Доминирование стратегий.
- •Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
- •Семейная пара принимает решение о месте куда они могут пойти в свободное время. Так он предлагает футбол, а она балет
- •Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
- •46. Аналитическое решение биматричных игр 2×2.
- •Аналогичный анализ можно провести для второго игрока.
- •47. Геометрическое решение биматричных игр 2×2
- •48. Модель дуополии по Курно.
- •49. Модель дуополии по Бертрану.
- •50. Модель «Проблема общего».
- •51. Оптимальность по Парето в неантагонистических (бескоалиционных) играх.
- •52. Позиционная форма игры.
- •53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.
- •54. Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.
- •55. Равновесие по Нэшу в позиционной игре с совершенной информацией.
- •56. Обратная индукция и позиционные игры с совершенной информацией.
- •57. Модель дуополии по Штакельбергу.
- •58. Модель последовательного торга.
- •59. Модель «инвесторы и банк».
53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.
Любая
игра
называется
конечной,
если она содержит конечное число игроков
(k)
функции выигрышей k-го
игрока (
).
В игре с совершенной информацией все
действия игроков идут последовательно,
а не одновременно. Игроки наблюдают
действия природы.
54. Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.
Отметим очень важное обстоятельство. Имея набор стратегий каждого игрока, мы можем построить нормальную, или стратегическую, форму данной игры.
Заранее определённую последовательность ходов игрока, выбранную им в зависимости от информации о ходах другого игрока и ходах природы, будем называть чистой стратегией этого игрока.
В том случае, если в игре нет случайных ходов, выбор игроком A и игроком B чистых стратегий однозначно определяет исход игры – приводит к окончательной позиции, где игрок A и получает свой выигрыш. Именно это обстоятельство позволяет сводить позиционную игру к матричной игре. Процесс сведения позиционной игры к матричной называется нормализацией позиционной игры.
Пример. Рассмотрим в позиционной форме обобщённую неантагонистическую игру двух игроков A и B с совершенной информацией.
У игрока
A
две чистые стратегии:
– выбратьU,
– выбратьD.
У игрока B четыре стратегии:
–
,
выбрать U
при любом выборе игрока A;
–
,
выбрать U,
если игрок A
выбрал U
и выбрать D,
если игрок A
выбрал D;
–
,
выбрать D,
если игрок A
выбрал U
и выбрать U,
если игрок A
выбрал D;
–
,
выбрать D
при любом выборе игрока A.
Дерево игры представлено на рис. 8.7.
Рис. 8.7
Здесь
пары
отражают выигрыши игроков в каждом из
четырёх исходов игры. Нормализация игры
даёт следующую таблицу выигрышей
игроков:
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
| ||||||
|
U |
|
|
|
| ||||
|
D |
|
|
|
|
55. Равновесие по Нэшу в позиционной игре с совершенной информацией.
Теорема. В конечной игре с совершенной информацией существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
Пример 6. Фирма E (entrant) – новичок – рассматривает вопрос о том, входить ли на рынок, где в текущий момент есть одна единственная укоренившаяся фирма I (incumbent). Если E решается на вход, то I может ответить двумя способами: она может предоставить вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену, либо она может вступить в хищническую войну, которая приведёт к «драматическому» снижению цен. Дерево данной игры представлено на рис. 8.8.
Рис. 8.8.
Стратегии игрока E:
–не
входить на рынок
– входить на рынок.
Стратегии
игрока I:– объявить войну игрокуE,
если он вошёл в рынок;
– предоставить игрокуE
вход, отдавая часть своих продаж, но, не
изменяя цену.
Соответствующая игре нормальная форма имеет вид:
|
I | ||
|
| ||
E |
|
(0, 2) |
(0, 2) |
|
(−3, −1) |
(2, 1) |
В этой
игре две равновесных по Нэшу ситуации
(0, 2) и (2, 1) в чистых стратегиях. Но первая
из этих ситуаций представляет собой
предсказание, не являющееся разумным.
Для того, чтобы исключить ситуации типа
мы рассмотримпринцип
последовательной рационализации:
стратегия игры должна преписывать
оптимальный ход в каждой вершине дерева.
Т.е., если игрок находится в некоторой
вершине дерева, его стратегия должна
предписывать оптимальный выбор, начиная
с этой точки, при данных стратегиях его
оппонентов. Согласно данному принципу
стратегия
не является оптимальной, поскольку
равновесной по Нэшу ситуации соответствует
стратегия
.
Если игрокE
вошёл на рынок, оптимальным поведением
игрока I
будет предоставить возможность E
действовать на рынке.
Итак,
после того как E
выбрал стратегию
,
оптимальной стратегией для игрокаI
будет
.
Теперь мы можем определить оптимальное
поведение фирмыE
до её входа на рынок. Это можно сделать,
рассмотрев редуцированную позиционную
форму, где после входа на рынок игрока
E
принятие решения игроком I
заменено на соответствующие выигрыши,
которые возникают при оптимальном его
поведении (рис. 8.9).
Рис. 8.9.
В результате получаем простейшую задачу индивидуального решения, причём очевидным является решение игрока E войти на рынок.