11. Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.

Коэффициент оптимизма λ выбирается между 0 и 1, при этом если коэффициент равен 1, то критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (по пессимизму результата), если коэффициент равен 0, то в критерий Севиджа.

Число (1- λ) будет характеризовать меру пессимизма игрока А, поэтому в данной работе будем называть коэффициентом пессимизма. Таким образом коэффициенты оптимизма и пессимизма в сумме дают единицу. С увеличением меры ответственности коэффициент λ стремится к нулю: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание ЛПР перестраховаться. А чем ближе λ к нулю, тем ближе (1- λ) к единице, т.е. тем больше пессимизма. И наоборот. Заметим, что при коэффициенте λ=0,5 видно нейтральность игрока в оценивании ситуации при выборе стратегии.

λ₁, λ₂,…, λ_n – числовые коэффициенты количественно характеризующие субъективную оценку игрока А в играх с природой. Такое положение делает обобщенный критерий Гурвица в большей степени субъективным, чем объективным. На результат выбора данной стратегии могут влиять различные ситуации, при которых известны возможные выигрыши.

Существуют некоторые методы выбора данных коэффициентов. Так Лабскер предлагает математико-формализованный метод, для ограничения степени полного произвола субъективного выбора игрока А, который будет разобран ниже.

В.Б. Волгоградский предлагает иной подход к выбору коэффициентов, который состоит в том, что игрок А сначала субъективно определяет числовое значение показателя своего оптимизма λ_о [0,1], а затем в зависимости от этого значения определяет коэффициентыλ_j, j=1,2,…,n, по следующей формуле:

(5.1)

Матиматико-формализованный подход Лабскера выбора коэффициентов λ зависит от средних выигрышей и носит менее субъективный характер, чем модель, предложенная Волгоградским. Её суть заключается в следующем:

Рассматривается игра с природой размером mxn, в которой матрица А является матрицей выигрышей игрока А, матрица B – матрица ранжированных выигрышей. Считается, что все выигрыши положительные. Далее используется специальная формула в зависимости от ситуации (думаю формулу учить не надо):

(5.2)

Где λ_о – показатель оптимизма, λ_P – показатель пессимизма;

b – сумма всех выигрышей матрицы, b^-1 необходимо для выведения среднего значения выигрышей j-го ранга;

- сумма выигрышей b_ij j-го ранга; λ _j = b _j / b – выражение коэффициентов λ_j через выигрыши.

11. Учёт выигрышей по критерию Гурвица крайним пессимистом, крайним оптимистом и нейтралом.

Весь выигрыш Игрока зависит от того, какой коэффициент оптимизма он выберет. Он может рискнуть и попробовать выиграть большую сумму, а может не рисковать и с уверенностью выиграть меньшую сумму. Таким образом игрок может быть пессимистом, крайним оптимистом или нейтралом.

Коэффициент оптимизма λ выбирается между 0 и 1, при этом если коэффициент равен 1, то критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (по пессимизму результата), если коэффициент равен 0, то в максимаксный – то есть игрок будет крайним оптимистом.. Число (1- λ) будет характеризовать меру пессимизма игрока А, поэтому в данной работе будем называть коэффициентом пессимизма. Таким образом коэффициенты оптимизма и пессимизма в сумме дают единицу.

С увеличением меры ответственности коэффициент λ стремится к нулю: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание ЛПР перестраховаться. А чем ближе λ к нулю, тем ближе (1- λ) к единице, т.е. тем больше пессимизма. И наоборот. Заметим, что при коэффициенте λ=0,5 видно нейтральность игрока в оценивании ситуации при выборе стратегии.

11. Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.

Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Смысл его состоит в нахождении по специальной формуле эффективности всех стратегий игрока А и последующее сравнении данных показателей эффективности для выбора наиболее оптимальной стратегии, при условии полной неопределённости, т.е. вероятности состояния природы нам неизвестны. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:

1. Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;

2. Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;

3. Допускается некоторый риск.

Рассмотрим игру с природой размера m x n, m2, n2, с матрицей A= (a_ij), где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A₁ ,A₂ ,…,A_m – чистые стратегии игрока А и П₁,П₂,...П_n – состояния природы П. Вероятности состояний неизвестны.

Введём специальный коэффициент λ [0,1], которым обозначим количественную «меру оптимизма» игрока А при выборе стратегии. Данный коэффициент выбирает сам игрок, на основании интуиции, личного опыта, состояния окружающей среды или на основе статистических исследований результатов принятия решений.

Эффективность чистой стратегии A_i в смысле критерия Гурвица [(Hur)^p (λ)] характеризуется показателем:

(Hur)^p_i (λ)= (1- λ)W_i + λM_i , i = 1,2,…,m, (2.1)

где W_i и M_i - показатели эффективности стратегии A_i соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.

Таким образом, Игрок А при использовании критерия Гурвица с коэффициентом λ [0,1] занимает более взвешенную позицию, чем если бы он применил критерий Вальда или максимаксный критерий.

Если открыть скобки в равенстве (2.1) и несколько преобразовать данное выражение, то можно получить показатель эффективности (Hur)^p_i (λ) в форме линейной функции от аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом (M_i -W_i):

(Hur)^p_i (λ) = (M_i -W_i) λ + W_i (2.2)

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)^p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:

(2.3)

Оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица с коэффициентом λ относительно выигрышей, или (Hur)^p (λ) – оптимальной во множестве , называется чистая стратегияA_k с наибольшим (Hur)^p (λ)-показателем эффективности:

(2.4)

Природа может находиться в самом выгодном положении с вероятностью λ и в самом невыгодном с вероятностью (1- λ). Можно также трактовать параметр λ как степень оптимизма лица, принимающего решения.