13.2. Примеры решения задач Пример 1
Точка
участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях, выраженных
уравнениями
и
(смещение в см). Найти уравнение траектории
точки. Показать направление движения
точки. Определить скорость и ускорение
точки в момент
Решение
Так
как
,
поэтому траектория точки будет эллипс.
Исключив t,
получим:
, (1)
Затем,
сравнивая с уравнением эллипса
,
находим:
и
.
Теперь
находим направление точки, в момент
времени
,
,
а
.
Следовательно, точка находится в
положении А.
При возрастании t
увеличивается х,
значит точка движения против часовой
стрелки.
Определим
значение скорости и ускорения точки.
Скорость равна векторной сумме скоростей
и
.
Так как они взаимно перпендикулярны,
поэтому получим:
(2)
Аналогично, получим для ускорения:
(3)
Взяв первую и вторую производную, получим:
(4)
(5)
Поставив (4) в (2) и (5) в (3), найдем:
(6)
(7)
Взяв
и выполнив вычисление, получим:
, 
Пример 2
Медный
стержень длиной
см закреплен в середине. Найти частоты
возможных собственных продольных
колебаний стержня, в случае удара
молотком по торцу стержня.
Решение
После удара, все частицы тела придут в колебательное движение. В теле устанавливаются собственные колебания. Частота собственных колебаний определяется по формуле:
, (1)
где
с
– скорость продольных волн в стержне,
Е
– модуль упругости меди и
- плотность меди. Их значения берутся
из таблицы:
,
.
Задача сводится к определению длин
волн, соответствующих собственным
колебаниям стержня. Процесс распространения
колебаний в закрепленном стержне
представляет собой стоячие волны. Эти
волны являются результатом интерференции
двух встречных бегущих волн: падающих
и отраженных от торца стержня. По всей
длине (
)
стержня должно укладываться четное
число полуволны (
)
и еще две четверти волны:
, (2)
где
.
Отсюда
(3)
Подставляя (3) в (1) находим рабочую формулу:
(4)
Произведя
вычисления, найдем:
,
Гц.
Значение
дает
Гц – основную частоту собственных
колебаний, значения
дают высшие гармонические частоты.
13.3. Решите задачи
131. Два маятника, длины которых различаются на 22 см, совершают в одном и том же месте за некоторое время один 30 колебаний, а другой – 36. Определите длины обоих маятников.
[
].
132.
Определите период гармонических
колебаний материальной точки, если
амплитуда колебаний 1 см, а максимальная
скорость 31,4 см/с. [
].
133. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание с периодом 12 с и начальной фазой, равной 0, сместиться от положения равновесия на расстояние, равное половины амплитуды? [t=T/12=1 c].
134. Тело массой 5 г совершает колебание, которое в системе СИ описывается уравнением:
.
Найдите численные значения кинетической
и потенциальной энергии через 20 с, от
начала колебаний. Чему равна полная
энергия тела? [Wk=4,6∙10-5
Дж;
W=6,1∙10-5
Дж].
135.
Амплитуда колебаний камертона за 15 с.
уменьшилась в 100 раз. Найдите коэффициент
затухания и время релаксации колебаний.
[
].
136.
Как изменится ход маятниковых часов на
высоте 20 км над поверхностью Земли? [
].
137. Часы с математическим маятником отрегулированы в Москве. Как изменится ход часов за сутки на экваторе? Ускорение силы тяжести в Москве 981,6 см/с2, на экваторе 978,0 см/с2. [Часы будет отставать за сутки на 2 мин 10 с].
138.
Во сколько раз и как отличается период
гармонических колебаний математического
маятника на планете, масса и радиус
которой в четыре раза больше, чем у
Земли, от периода колебаний такого же
маятника на Земле? [
].
139.
Космический корабль движется вдали от
небесных тел. Как по периоду колебаний
Т математического маятника и длиной
ℓ, подвешенного в кабине корабля,определить
ускорение корабля, сообщаемое ему
работающими двигателями? [
].
140.
На какую волну настроен радиоприемник,
если его приемный контур обладает
самоиндукцией 1,5 мГн и емкостью 450 пФ?
[
].
……******……