Тема 3. Кинематика нерелятивистские движения

3.1. Методические указания к решению задач Основные формулы

1. Мгновенная скорость: .

2. Средняя скорость: .

3. Мгновенное ускорение: .

4. Среднее ускорение: .

5. Уравнение пути равномерного ( = const) движения: .

6. Уравнение пути равноускоренного (а = const) или же закон равноускоренного движения:

.

7. Скорость равноускоренного (а = const) движения:

.

8. Тангенциальное ускорение: .

9. Нормальное ускорение: .

10. Полное ускорение: .

11. Мгновенная угловая скорость: .

12. Средняя угловая скорость: .

13. Мгновенное угловое ускорение: .

14. Уравнение равнопеременного ( = const) вращения:

.

15. Угловая скорость равнопеременного ( = const) вращения:

.

16. Уравнение равномерного ( = const) вращения: .

17. Частота вращения (число оборотов в единицу времени):

, где Т – период вращения.

18. Связь между длиной дуги и углом вращения: .

19. Связь между линейной и угловой скоростью: .

20. Связь между тангенциальным и угловым ускорением:

.

21. Связь между нормальным ускорением и угловой скоростью:

.

3.2. Примеры решения задач

Пример 1

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх, пуля массой поднялась на высоту . Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на .

Дано:

Решение

При выстреле, потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию пули. Затем, при подъеме пули на высоту h, кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию пули. Следовательно,

.

Откуда получаем рабочую формулу:

Проверим правильность этой формулы, с помощью размерности:

Теперь произведем вычисление:

Пример 2

Спортивный автомобиль, имея скорость 144 км/ч, стал двигаться равнозамедленно и через 10 с, снизил скорость до 72 км/ч. С каким ускорением, двигался автомобиль на данном участке? Какое расстояние, при этом проходит автомобиль?

Решение.

Приведем единицы измерения скоростей в систему СИ:

υ_Ο=144 км/ч=144·1000 м/3600с=40 м/с;

υ_t=72 км/ч=72·1000 м/3600с=20 м/с

Ускорение автомобиля определяем по формуле:

м/с².

Ускорение отрицательно, так как движение равнозамедленно.

Пройденный путь находим по формуле: ;

Вычислим:

3.3. Решите задачи

11. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло за 6 с расстояние 450 м. На каком расстоянии от начального положения оно находилась, через 4 с после начала движения? ( ).

12. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=A-Bt+Ct², где А=6 м, В=3 м/с и С=2 м/с². Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела, в интервале времени от 1 до 4 с. [<υ>=13 м/с; <a>=4 м/c²].

13. Зависимость пройденного пути от времени задается уравнением где С=0,1 м/с², D=0,03 м/c³. Определите: 1) через какое время после начала движения ускорение (а) тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение <a> тела за этот промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с²].

14. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что встречный поезд длиной 210 м прошел мимо него за 6 с. Определите скорость движения встречного поезда. [υ₂=(ℓ∕t)–υ₁=20м/с].

15. Первую четверть пути мотоциклист проехал со скоростью υ₁=10 м/с, вторую – со скоростью υ₂=15 м/с, третью – со скоростью υ₃=20 м/с и последнюю – со скоростью υ₄=5 м/с. Определите среднюю скорость ‹υ› движения мотоциклиста на всем пути. [‹υ›=4υ₁υ₂υ₃υ₄∕( υ₂υ₃υ₄+ υ₁υ₃υ₄+ υ₁υ₂υ₄+ υ₁υ₂υ₃)=9,6 м/с].

16. Поезд движется со скоростью 36 км/час. Если выключить ток, то поезд, двигаясь равнозамедленно, останавливается за счет силы трения через 20 с. Найдите: 1) отрицательное ускорение поезда; 2) расстояние, пройденное до остановки. [1) -0,5 м/с²; 2) 100 м].

17. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля? [<υ>=60 км/ч].

18. Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля? [[<υ>=53,3 км/ч].

19. Определите время подъема из метро пассажира, стоящего на эскалаторе, если при одинаковой скорости относительно ступенек по неподвижному эскалатору он поднимается за t₁=2 мин, а по движущемуся - за t₂=30 с. [t=t₁t₂/(t₁+t₂) =40 с].

20. Моторная лодка плывет по реке из одного пункта в другой и обратно. Во сколько раз время движения лодки против течения больше времени движения по течению, если скорость течения реки υ_р=2 м/с, а скорость лодки относительно воды υ_л=10 м/с. [t_пр/t_по=(υ_л+υ_р)/(υ_л–υ_р) =1,5 раза].

21. Лодка движется перпендикулярно берегу со скоростью 7,2 км/ч. Течение относит ее на 150 м вниз по реке. Ширина реки 0,5 км. Найти: 1) скорость течение реки, 2) время, затраченное на переезд через реку. [υ=0,6 м/с; t=250 c].

22. Определите продолжительность полета самолета между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1000 км, если дует встречный ветер со скоростью υ₁=25 м/с, а средняя скорость самолета относительно воздуха υ₂=250 м/с. Чему равно время полета самолета, при попутном ветре? [t₁=ℓ/(υ₁–υ₂)≈1 час 14 мин, t₁=ℓ/(υ₁+υ₂)=1 час 40 сек].

23. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю, через 3 сек. Найти: 1) начальную скорость тела. 2) высоту подъема тела. [υ₀=14,7 м/с; h=11 м].

24. Камень бросили вверх на высоту 10 м. 1) Через сколько времени, он упадет на землю? 2) На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое? [t=2,9 с; H=4h=40 м].

25. С башни, высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти: 1) сколько времени камень будет в движении, 2) на каком расстоянии от основания башни он упадет на землю, 3) с какой скоростью, он упадет на землю. [t=2,26 с; s=33,9 м; υ=26,7 м/с].

26. Определите время подъема лифта в высотном здании, считая его движение при разгоне и торможении равнопеременным с ускорением, равным по абсолютной величине а=1 м/с², а на среднем участке – равномерным со скоростью υ=2 м/с. Высота подъема h=60 м. [t=(h/υ)+(υ/а)=32 сек].

27. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, линейная скорость точки, лежащей на ободе в 2, 5 раза больше линейная скорость точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса. [R=8,33 см].

28. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10об после начала движения. Найти угловое ускорение колеса. [ε=ω²/4πN=3,2 рад/с².].

29. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 мин. с 300 до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время. [ε= ­ 0,21 рад/с².; N=240 об].

30. Колесо с радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω=2At+5Bt⁴ (A=2 рад/с² и B=1 рад/с⁵). Определите полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанное колесом за это время. [а=8,5 м/с², N=0,48].

……******……