3. Обработка экспериментальных данных

Точность измерений нельзя повысить путем обработки результатов, однако обработки результатов позволяет среднее значения измеряемого параметра и его интервалы абсолютной и относительной ошибки. При обработке результатов, используют четыре способа округления чисел. 1. Сохраняя только надежные цифры. Например: 0, 6432≈0,64; 0,6457≈0,65; 7639≈7600; 7664≈7700; 2. При сложении или вычитании сохраняются те разряды, которые имеются в каждом их них: 114,46-62,1=52,35≈52,4; 3. При умножении и делении сохраняются значимые числа. Например: . Эта цифра, получена путем округления, следующим образом: 1) 4,3∙2,4≈10,3; 2) 10,3∙1,1≈11,3; 3) 30,81:11,3=2,73≈2,7; 4. Для окончательных результатов сохранить на одну цифру больше.

Абсолютная ошибка каждого измерения определяет по формуле: , где порядковый номер измерений. Истинного значения измеряемой величины определяется по формуле: . Значение величины А находится в интервале от до или пишется А_ист= <А> ±<∆A>.

В случае, когда выполняется большое количество измерений, тогда вместо средней абсолютной ошибки используется средняя квадратичная ошибка, определяемая по формуле:

.

В этом случае, относительная ошибка определяется по формуле: . Если учесть приборную ошибку , тогда полная абсолютная ошибка определяется по формуле: . Окончательный результат пишется в стандартной форме. Например, объем цилиндрического тела:

, а относительная ошибка: .

1.4. Примеры решения задач Пример 1

Измеряя периоды колебания математического маятника, получили следующие результаты: Т₁=3,1 с; Т₂=3,2 с; Т₃=3,0 с; Т₄=3,5 с; Т₅=3,3 с; Т₆=3,2 с. Определить среднюю квадратичную ошибку периода колебания математического маятника, относительную ошибку и представить результат в стандартной форме.

Решение

Находим среднее значение периода колебания:

<T>=(3,1+3,2+3,0+3,5+3,3+3,2)/6=3,216≈3,22 c.

Находим абсолютную ошибку каждого измерения по формуле:

∆T₁=|3,22–3,10|=0,12 с; ∆T₂=|3,22–3,20|=0,02 с; ∆T₃=|3,22–3,00|=0,22 с;

∆T₄=|3,22–3,50|=0,28 с; ∆T₅=|3,22–3,30|=0,08 с; ∆T₆=|3,22–3,20|=0,02 с;

Далее, вычислим среднюю квадратичную ошибку периода колебания математического маятника по формуле:

= =0,0703 с.

Далее определим относительную ошибку периода колебания математического маятника:

Запишем ответ в стандартной форме истинного значения периода колебания математического маятника:

Т=(3,22±0,07), с.

Относительная ошибка периода колебания математического маятника:

Е_Т=2,19%.

Пример 2

Значения плотности жидкости определяемой экспериментально ρ_э=(0,9567±0,0003), г/см³, равны ли в пределах ошибки измерения с ее табличным значением ρ_Т=(0,9561±0,0001), г/см³?

Решение

Суммируем средние значения абсолютных ошибок:

<∆ρ_э>+<∆ρ_т>= 0,0003+0,0001=0,0004 г/см³.

Далее, находим разность среднего значения плотностей:

<ρ_э>-<ρ_т>=(0,9567-0,9561)=0,0006 г/см³.

Сравнивая, заметим, что значения разности плотностей больше, чем суммы значений абсолютных ошибок, поэтому плотность жидкости, определенной экспериментально нельзя считать равным в пределах ошибок табличным значением плотности. Следовательно, при измерении допущена ошибка.