10. Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые могут быть использованы для упрощения расчетов:

1. Средняя постоянная величины равна ей самой: .

2. Постоянный множитель может быть вынесен за знак средней: .

3. Средняя суммы (разности) равна сумме (разности) средних:

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то среднее арифметическое от этого не изменится: .

5. Сумма отклонений отдельных вариантов x от x_ср равна 0:

11. Средняя гармоническая.

Средняя гармоническая – величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака (1/х).

К средней гармонической прибегают в тех случаях, когда веса не заданы непосредственно, а входят в виде сомножителя в один из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая простая: .

Средняя гармоническая взвешенная: .

12. Обобщенные характеристики вариационного ряда. Мода.

Кроме средних в качестве обобщенных характеристик признака используют значения конкретных вариантов, занимающих в ранжированном ряду значений признака определенное место.

Наиболее часто используют 2 таких варианта – моду и медиану.

Модой называют вариант, который чаще всего встречается в данной совокупности.

В дискретном ряду это будет вариант, имеющий наибольшую частоту f.

Существуют ряды, в которых все варианты встречаются одинаково часто. Для этого случая мода отсутствует. Если несколько вариантов имеют наибольшую частоту, тогда будет несколько мод.

При нахождении моды для интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал с наибольшей частотой), внутри этого интервала мода определяется по формуле:

х₀ – нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

f₁, f₂, f₃ – частота интервала, предшествующего модальному, модального, следующего за модальным.

13. Обобщенные характеристики вариационного ряда. Медиана.

Кроме средних в качестве обобщенных характеристик признака используют значения конкретных вариантов, занимающих в ранжированном ряду значений признака определенное место.

Наиболее часто используют 2 таких варианта – моду и медиану.

Медианой называют вариант, стоящий в центре ранжированного вариационного ряда.

В дискретном ряду с нечетным числом значений медианой является вариант с порядковым номером (n+1)/2.

Если же вариантов четное число, то медиану определяют как среднюю из 2-х центральных уровней с порядковыми номерами n/2 иn/2+1.

Пример для четного числа: .

При нахождении медианы в интервальном ряду сначала определяется интервал для которого накопленная частота равна или превышает половину суммы частот: (Σf)/2

Внутри этого интервала медиана определяется по формуле:

х₀ – левая граница медианного интервала; - величина медианного интервала;- накопленная частота для интервала, предшествующего медианному;- частота медианного интервала.

14. Показатели вариаций: размах вариаций, среднее линейное отклонение.

Одним из важных элементов анализа вариационных рядов является измерение вариации признака.

Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения могут отличаться от нее мало, а в другом случае эти отличия могут быть велики.

В первом случае вариация признака может быть мала, а во втором велика.

Простейшим показателем вариаций является размах вариаций: .

Размах вариаций дает лишь самое общее представление о размерах вариации, т.к. показывает, как отличаются друг от друга лишь крайние значения признака, но не указывает, на сколько велики отклонения отдельных вариантов друг от друга внутри этого промежутка.

Характеристика вариации будет более точной, если показатель станет учитывать отклонение каждого из вариантов от их средней.

Дело осложняется тем, что сумма всех отклонений отдельных вариантов x от их средней = 0: .

В связи с этим находят среднюю либо из модуля отклонений, получая при этом среднее линейное отклонение: (для дискретных рядов);(для интервальных рядов).