Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

то, используя пример 9 при а = - , получаем

1

2 + С,

т. е. J = агсвт(2ж —1) + С. к

перейти к новой переменной.

Пусть ж = (p(t) — строго монотонная и дифференцируемая функ­

Преобразуя подынтегральное выражение в интеграле (16) с по­ мощью подстановки ж = ip(t), получаем /(ж) dx = f(ip(t))ip'(t) dt. Обо­

Формулу (20) называют формулой интегрирования подстановкой.

Согласно этой формуле для вычисления интеграла (16) достаточно по­ добрать такую обратимую дифференцируемую функцию ж = ip(t), с помощью которой подынтегральное выражение /(ж) dx представляет­ ся в виде u(t) dt, причем первообразная для функции u(t) известна.

А Подынтегральная функция определена на отрезке [—а, а]. Положим

х = ip(t) = a sin t; тогда t = ш(х) = arcsin —, \/а2 —х2 = Vа2cos2 t =

5.Метод интегрирования по частям . Пусть функции и(х)

иv(x) имеют непрерывные производные на промежутке А. Тогда функция uv также имеет непрерывную производную на А и соглас­ но правилу дифференцирования произведения выполняется равенство

uv' = (uvУ — vu'.

Интегрируя это равенство и учитывая, что

J (uv)1dx = uv + С,

получаем

Juv' dx = uv + С — J vu' dx.

Относя произвольную постоянную С к интегралу J vu' dx, нахо­ дим

Формула (21) (или (22)) называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла J u d v к вычислению ин­

теграла J v du.

П р и м е р 15.

J x cos х dx = j х d(sin x) = x sin x — J sin x dx = x sin x —cos x + C.

Пр име р 16. Вычислить интеграл

J = J v x2 + a dx.

А Полагая и = \/x2 + a, v = x, по формуле (21) находим

уравнение относительно J:

dx

J = х л/ x 2 + a — J + a j -

л/х2 + a

Используя результат примера 11, находим

х2 + a dx = ^ л/х2 + а + ^ In \х + л]х2 + а\ + С. ▲

Пр и м е р 17. Пусть

Jn = I (х2+ а2)»’ тееЛ/’ а ^ ° -

Выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла Jn.

А Пусть и = (х2 + а2)^п, v = х. Тогда и' = —2пх(х2 + a2)- ”-1 , v' = 1 и по формуле (2 1) получаем

на рассматриваем ом промеж утке. При п = 1 формула (24) принимает вид

§ 31. Комплексные числа

Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффици­ ентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение

г2 + 1 = 0

не имеет корней на множестве R. Возникает потребность расширить

множество R так, чтобы на более широком множестве было разре­ шимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициен­ тами.

1.Определение комплексного числа. Комплексными числами

называют пары (ж, у) вещественных (действительных) чисел х и у, для которых следующим образом определены понятие равенства и

которые показывают, что операции над комплексными числами ви­ да (ж, 0) совпадают с операциями над действительными числами. Поэ­ тому комплексное число вида (ж, 0) отождествляют с действительным числом ж, т. е. полагают (ж, 0) = ж.

Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое называют мнимой единицей и обозначают г, т. е.

*= (0, 1 )-

Вычислив произведение г на г по формуле (2), получим

г• г = (0, 1 )(0, 1 ) = (—1 , 0) = —1 ,

т.е. г2 = —1. Используя формулы (1), (2), находим

i - V = (0, 1 )(г/,0) = (0, 2/), (ж, у) = (ж,0) + (0, 2/) = x + iy.

Следовательно, любое комплексное число г = (ж,у) можно запи­ сать в виде ж + iy, т. е.

Запись комплексного числа г = (х,у) в виде (3) называют алгеб­ раической формой комплексного числа.

В записи (3) число ж называют действительной частью комплекс­ ного числа и обозначают Re z, а число у — мнимой частью и обозна­ чают Im z, т. е.

Re г = ж, Im z = у.

Из уравнения (7) в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что

Zi - z 2 = (х-! - х2) + г(г/1 - у2).

Деление на множестве С вводится как операция, обратная умно­ жению, а частным от деления комплексного числа Z\ = х± + iyi на число z2 = х2 + iy2 называют такое число z, которое удовлетворяет

и обозначается zi:z2 или —.

Z‘>

Докажем, что уравнение (8) для любых комплексных чисел Z\ и z2, где z2 ф 0, имеет единственный корень.

О Умножая обе части уравнения (8) на z2, получим в силу равенст­

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она полу­ чается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

ная система координат. Комплексное число z = х + iy изображается точкой плоскости с координатами (х ,у ), и эта точка обозначается той же буквой z.

Такое соответствие между множеством С и точками плоскости является взаимно однозначным: каждому числу z £ С соответству­ ет одна точка плоскости с координатами (х ,у ), и наоборот, каждой точке плоскости с координатами (х, у) соответствует одно комплекс­

иконцом в точке г. Этот вектор будем обозначать той же буквой г. Из рис. 31.1 или из формулы (4) видно, что длина вектора г равна \z\

исправедливы неравенства |ж| ^ \z\, \у\ ^ \z\, т. е.

\Rez\ ^ \z\, \lmz\ ^ г.

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируют­ ся сумма и разность комплексных чисел. Число 2Д + 2:2 изобража­ ется вектором, построенным по правилу сложения векторов 2Д и Z2

(рис. 31.2), а вектор z\ —Z2 можно построить как сумму векторов zi и —2:2. Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками 2Д и 2:2 равно длине вектора 2Д —2:2, т. е. равно 12Д —2г21. Это же утверждение следует из равенства

\z1 - Z2\ = л/(Ж1 - Х 2 ) 2 + ( 2/1 - У2 ) 2 ■

Итак, 12Д —Z2 I — расстояние между точками 2Д и ^ 2.