Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Он будет функцией 2п переменных х\,...,хп, dx\, ...,dxn, причем при фиксированных х\,...,хп дифференциал есть линейная функция dxi, ...,dxn. Правила дифференцирования такие же, как и для функ­

сложной функции следует, что функция u(x)v(x) дифференцируема, если дифференцируемы функции и(х) и v(x). Далее, имеем

7. Формула конечных приращений Лагранжа. Пусть функ­ ция f(x) дифференцируема в выпуклой области G С Rn. Напомним,

что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для любых двух точек х = (xi,...,xn) G G, у = (yi,...,yn) G G найдется число в € (0, 1 ) такое, что

Формула (18) называется формулой конечных приращений Лагран­ жа. Докажем ее.

О Пусть точки х,у € G. Так как область G выпукла, то отрезок, соединяющий точки ж и у, лежит в области G. Поэтому определена функция одной переменной

252 Гл. V. Функции многих переменных

Очевидно, что </э(0) = f(x), ip(1) = f(y) и что функция ip(t) диф­ ференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем

d f

Р ' Х = 2 ^ Q ^ \ X1 + %1 - xl)> •••> Х‘п + t(Pn - Хп)){'Уг - Xi). (20)

i= l *

Применим к функции ip(t) формулу конечных приращений Лаг­ ранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число

G rf = {(x,y,z): z = f(x,y), (х,у) £ G}.

Пусть точка Р(хо, уо? ^о) лежит на Gr /, т. е. ZQ = /(#о, Уо)? и пусть гладкая кривая

г = {х = x(t), у = y(t), z = z(t), a ^ t ^ P }

лежит на графике и проходит через точку (#о, Уо? ^о)- Это означает, что

z(t) = f(x(t), y(t)); (x(t0), у (to), z(t0)) = (x0,yo,z0), tQ£ (a,P).

(21)

Дифференцируя тождество (21) в точке to и пользуясь инвариант­ ностью формы первого дифференциала, получаем

кривой Г в точке Р. Но Г — любая гладкая кривая, лежащая на G r/ и проходящая через точку Р. Поэтому вектор N ортогонален к любой кривой, лежащей на Gr / и проходящей через точку Р. Он называется

вектором нормали к Gr / в точке Р.

Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная вектору

Прямая, проходящая через точку Р и параллельная вектору N, называется нормалью к Gr / в точке Р. Ее уравнение —

Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке Р (ж0, уо, ZQ ) <ЕG r / .

Из (24) получаем

z - z0 = ^ { х 0,уо){х - Х 0 ) + ^ { х 0,уо){у - Уо) = d f{ x 0,y0).

Таким образом, df(xo,yo) есть приращение аппликаты касатель­ ной плоскости (рис. 26.1).

9. Производная по нап­ равлению. Градиент. Пусть функция f(x,y,z) определена в области G С /?3, и пусть точ­

ка Р(хо,уо, zo) G G. Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению

1 = (cosa, cos/3, cosy),

где

cos2 а + cos2 (д + cos2 7 = 1 .

Так как Р — внутренняя точка G, то найдется число to такое, что отрезок

Р(хо,Уо, zo), то производную по направлению 1 в этой точке можно вычислить при помощи следующей формулы:

О Формула (25) есть простое следствие правила нахождения произ­ водной сложной функции. •

Обозначим через grad f(xo, уо, ZQ) вектор

g r a d f ( x 0,yo,z0) = ( j £ ( x 0,yo,z0), ^ ( x 0,y0, z0), § ((* 0, Уо, z0)) •

Тогда равенство (25) можно записать в следующем виде:

d f

и договориться, что векторы, стоящие слева от V, перемножаются

сV по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, V действует как дифференциальный оператор, то

Тогда формулу (25) можно записать через оператор Гамильтона

df

-± ( x 0,yo,z0) = ( l , V ) f ( x 0,yo,z0).

Упражнение 3. Пусть функция f(x, у, г) дифференцируема во всем

пространстве R . Множество точек f(x,y,z) = Со, Со € R, будем называть

поверхностью уровня функции f(x, у, г). Показать, что вектор grad f(x, у, г)

ортогонален к любой гладкой кривой Г, лежащей на поверхности уровня и проходящей через точку Р{х,у,г).

Указание. Обобщить рассуждения п. 8.

§ 27. Частные производные и дифференциалы высших порядков

1. Частные производные высших порядков. Пусть во всех точках открытого множества G С R3 существует частная производ­ ная df(x)/dxi- Эта производная как функция х может иметь в неко­ торой точке х° производную

_ д _ ( Щ

dxj ЧдХг ) х=х° ’

которая называется частной производной второго порядка и обозна­ чается одним из символов

ных перестановок индексов i\, *2, •••, im, определены в окрестности точки х° и непрерывны в точке х°, то все эти производные равны в точке х°. Если вспомнить, что транспозицией называется такая пере­ становка, которая переставляет два соседних элемента, а все осталь­ ные оставляет на своих местах, то легко понять, что две производные то-го порядка, полученные при помощи транспозиции индексов, будут равны по теореме 1 о смешанной производной. В курсе алгебры дока­ зывается, что все перестановки можно упорядочить таким образом, что каждая последующая перестановка получается из предыдущей при помощи транспозиции. Упорядочивая таким же образом и все производные то-го порядка, получающиеся перестановкой индексов, заключаем, что все они равны.

3. Дифференциалы высших порядков. Пусть функция и(х) имеет в области G С Rn непрерывные частные производные первого

и второго порядков. Тогда дифференциал

П

г=1

есть функция 2п переменных, а именно х±,...,хп и d x \ , d x n. Если фиксировать переменные dxi , ..., dxn, то дифференциал du(x)

будет функцией х, имеющей в области G непрерывные частные про­ изводные. В силу теоремы 3 из § 26 du(x) как функция х имеет в каждой точке х £ G дифференциал d(du). Если приращения незави­ симых переменных обозначить через Sxi, ...,6хп, то

Выражение d(du(x)) есть билинейная форма относительно прира­ щений dxi,Sxi, ...,dxn,Sxn. Полагая в этой билинейной форме dxi = = Sxi, ..., dxn = Sxn, получаем квадратичную форму, которая назы­ вается вторым дифференциалом функции и(х) в точке х и обознача­ ется через сРи(х). Таким образом,

(5)

Аналогично, предполагая, что все частные производные третье­ го порядка непрерывны, можно вычислить первый дифференциал от сРи(х), после чего положить Sx, = dx, и полученную однородную фор­ му третьего порядка назвать третьим дифференциалом функции и(х).

Третий дифференциал обозначается через d3u(x). Таким образом,

По индукции определяется дифференциал т-го порядка в предполо­ жении, что все частные производные то-го порядка непрерывны в точ­ ке х. Если дифференциал йта_1«(ж) вычислен как однородная форма порядка то —1 относительно dxi, ...,dxn с коэффициентами, являющи­ мися функциями х, то, вычисляя первый дифференциал от dm^ 1u(x) и полагая затем Sx, = dx, при i = 1,п, получим, что dmu(x) есть од­ нородная форма порядка то, т. е.

свойством инвариантности относительно замены переменных. Пусть f(x) = f(xi,...,xn), Xi = tpi(u), и € Rm, функции f(x) и ipi(u) имеют все непрерывные частные производные до второго порядка включи­ тельно и сложная функция f(ipi(u),...,ipn(u)) определена в некоторой окрестности точки и. Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала получаем равенство

Пользуясь правилом нахождения дифференциала произведения и

Формула (6) отличается от формулы (5) наличием суммы

Е :ddxif ( x )-d"Xi

8=1

которая обращается в нуль, если х\,...,хп — независимые переменныв.

линейной замены переменных. То же самое справедливо и для дифферен­ циалов всех порядков.

Если функция и(х,у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой о равенстве смешанных производных, получаем

П г)

i=1

то выраж ения для дифференциалов можно записать в удобной символичес­ кой форме:

Под произведением дифференциальных операторов понимается их по­ следовательное применение. Например, если Di = d/dxi, то

При перемножении дифференциальных операторов вида (8) нужно пользо­

ваться правилом (9). При этом дифференциалы независимых переменных dx1, ...,dxn перемножаю тся как вещ ественные числа.

§28. Неявные функции

1.Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция F(x,y) определена в R2. Рассмотрим уравнение

Множество GF точек плоскости, координаты которых удовлетво­ ряют уравнению (1), было в § 9 названо графиком уравнения. Через Ар будем обозначать проекцию графика GF на ось х. Будем рассмат­

рого F(x,y) = 0. Говорят, что уравнение (1) определяет у как неяв­ ную функцию X.

Но, как правило, график уравнения (1) не проектируется взаимно однозначно на Ар. Тогда на Ар в общем случае определено бесконеч­ ное множество функций, графики которых совпадают с некоторым