Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

дифференциальные операторы, и в конце предыдущей главы. Там же обсуждается принцип материальной объективности, где идет речь о замене системы отсчета.

4.5.Трансляционные и спинорные движения

Как уже неоднократно отмечалось в предыдущей главе, существуют два принципиально различных вида движения: трансляционные и спинорные. Первые определяются заданием векторов положений и описывают перемещения (трансляции) тел в системе отсчета. Спинорные движения определяются заданием функций времени, значениями которых являются собственно ортогональные тензоры размерности три. Сопутствующие спинорным движениям характеристики (векторы поворота, угловые скорости и т.д.) описываются с помощью понятия аксиального вектора, прообразом которого являются объекты, называемые ниже спин-векторами. Именно спин-векторы являются прямыми носителями физического содержания того или иного спинорного понятия. Чтобы определить спин-вектор необходимо в теле отсчета задать прямую, называемую осью спин-вектора, и в плоскости, ортогональной оси, задать круговую стрелку, охватывающую ось. Длина этой круговой стрелки называется модулем спин-вектора, а направление стрелки показывает направление поворота или вращения. Спин-векторы очень удобны для работы на интуитивном уровне, но на формальном уровне удобнее работать не с ними, а с так называемыми аксиальными векторами, сопоставляемыми по определенному правилу спин-векторам. Принятие этого правила называется ориентацией системы отсчета. Каждому спин-вектору a сопоставляется “обычный” вектор a:

1)a расположен на оси спин-вектора a ,

2)модуль a равен модулю a ,

3)a направлен так, чтобы при взгляде с его конца круговая стрелка спинвектора показывала движение либо против хода часовой стрелки (правоориентированная система отсчета), либо по ходу часовой стрелки (левоориентированная система отсчета).

Векторы, сопоставляемые по указанному правилу спин-векторам, называются аксиальными. Видим, что аксиальные векторы не зависят от выбора системы координат и не меняются при замене правой системы координат на левую и наоборот. Таким образом в ориентированной системе отсчета действуют два типа вектора (направленных отрезков): одни из них не реагируют на изменение ориентации системы отсчета и называются полярными, а другие при изменении ориентации умножаются на (− 1) и называются аксиальными. Спинорные движения определяются заданием собственно ортогонального

Тензор P(t) ниже будет называться тензором поворота. Согласно теореме Эйлера любой тензор поворота, отличный от E, однозначно представим в виде

где единичный вектор m = m(t), является неподвижным вектором тензора P(t), т.е. P(t) · m(t) = m(t), а угол θ = θ(t) называется углом поворота.

Вектор θ = θ(t)m(t) называется вектором поворота. Справедливо представление

где тензор R = −RT называется логарифмическим тензором поворота. Представление (4.5.3) часто оказывается необходимым при исследовании,

например, устойчивости. Все эти понятия подробно обсуждались в предыдущей главе.

векторы ω и Ω называются левой (истинной) и правой угловыми скоростями соответственно. Удобно пользоваться левым и правым уравнениями Пуассона

Вдинамике твердого тела вектор ω принято называть угловой скоростью

впространстве, а вектор Ω — угловой скоростью в теле.

Здесь величина K называется кинетической энергией, K1 называется количеством движения, величина KQ2 называется моментом количества движения, вычисленным относительно опорной точки Q. В кинетическую энергию входит скалярный параметр m, называемый массой. Масса считается объективной характеристикой материальной точки, т.е. она не зависит от выбора системы отсчета и, следовательно, не может зависеть от скорости. В то же время, кинетическая энергия, количество движения и момент количества движения не объективны и меняются при переходе к другой системе отсчета. Это означает, что сами по себе они не могут описывать объективную реальность, которая вообще ничего не знает ни о каких системах отсчета. Поэтому законы механики, имеющие своей целью изучение реальности и формулируемые с использованием динамических структур, должны иметь специальный вид, гарантирующий независимость получаемых результатов от выбора системы отсчета. Обратим внимание на то, что никакие эксперименты не могут ни подтвердить, ни опровергнуть правильность динамических структур (5.1.1). В частности, никто и никогда не измерял кинетическую энергию, хотя ее можно вычислить по измеряемым величинам. Тем не менее, это одна из важнейших структур в механике. Динамические структуры материальной точки, как это видно из выражений (5.1.1), предельно просты, но они очень долго и трудно утверждались в механике. Можно только поражаться тому, что такой простой первичный элемент позволяет ньютоновой механике объяснить огромное количество явлений, в том числе и весьма трудных. В то же время ньютонова механика оказалась неспособной адекватно описывать электричество и магнетизм и многие другие явления микромира. Впрочем, и в пределах макромира ньютонова механика иногда вынуждена привлекать чуждые ей элементы и допускать логические противоречия. Например, законы статики абсолютно твердого тела в рамках ньютоновой механики получить невозможно, но они, тем не менее, используются и приводят к правильным результатам. На неполноту ньютоновой механики впервые указал Л. Эйлер еще в 1771 г., но и по настоящее время это обстоятельство не учитывается в должной мере в учебниках механики и, особенно, физики.

Материальную точку можно назвать бесспиновой частицей, поскольку она не реагирует на спинорные движения. Видимо, можно утверждать, что динамические структуры (5.1.1) дают наиболее общую модель бесспиновой части-

где симметричный тензор второго ранга m A называется тензором инерции. Тензор инерции любого тела, в том числе и материальной точки, должен

быть объективной характеристикой тела. Это означает, что при повороте тела тензором поворота P тензор инерции должен поворачиваться вместе с телом, т.е. должно выполняться условие

A = P · A0 · PT ,

где тензор A0 вычислен в отсчетном положении, т.е. не зависит от движения. Динамические структуры (5.1.2) при подобном задании тензора инерции кажутся интуитивно неприемлемыми, поскольку они реагируют на поворот, но не реагируют на интенсивность поворота, т.е. на угловую скорость. Хотя чисто умозрительно модель (5.1.2) кажется допустимой, но она ведет к множеству неприятностей при попытке ее использовать. Только в том случае, когда тензор A является единичным, т.е. модель (5.1.2) переходит в модель материальной точки, все неприятности исчезают. Желательно, конечно, найти простые и убедительные аргументы, заставляющие отбросить модель (5.1.2). Так или иначе, но в данной книге на основании огромного опыта, накопленного в механике, в качестве безальтернативной модели бесспиновой частицы

рассматривается модель материальной точки.

В эйлеровой механике в качестве исходного объекта вводится тело-точка, которое реагирует не только на трансляционные, но и на спинорные движения. Такое тело-точку будем называть односпиновой частицей. Относительно односпиновой частицы считается, что она существует и занимает нулевой объем в теле отсчета. Движение односпиновой частицы определено, если заданы ее вектор положения R(t) и тензор поворота P(t). Трансляционная и угловая скорости тела-точки находятся по формулам

Определение: кинетической энергией односпиновой частицы называется

где тензоры второго ранга mB, mC называются тензорами инерции односпиновой частицы, а скалярный множитель m выделен просто для удобства и называется массой тела.

Тензоры инерции, будучи объективными характеристиками тела-точки, должны зависеть от тензора поворота

где B0, C0 — значения тензоров инерции в отсчетном положении, т.е. при тех значениях t0, при которых P(t0) = E.

В принципе, на выражение для кинетической энергии налагаются очень слабые требования: C = CT и (5.1.5). Кроме того, потребуем, чтобы квадратичная форма (5.1.4) была бы положительно определенной

Условие (5.1.6) будет выполнено, если тензор C− BT ·B положительно определен и m > 0. В ряде идеализированных задач можно вместо (5.1.6) принимать более слабое условие неотрицательности тензора C − BT ·B. Например, кинетическая энергия односпиновой частицы в виде цилиндра бесконечно малого радиуса (в пределе нулевого радиуса) не зависит от составляющей угловой скорости вдоль оси цилиндра. Но при этом теряется единственность решения, а проекция угловой скорости на ось цилиндра остается неопределенной.

Придавая тензорам инерции те или иные значения, приходим к различным исходным объектам. Поэтому посредством квадратичной формы (5.1.4) вводятся не только те тела-точки, которые традиционно рассматриваются в механике, но и множество других тел-точек. Ниже будет приведен пример тела-точки, которое не встречается в механике. Кинетическая энергия (5.1.6) содержит десять независимых параметров: массу m, шесть инвариантов тензора B и три собственных числа симметричного тензора C.

Определение: число независимых параметров, определяющих кинетическую энергию тела-точки и не зависящих от движения тела-точки, называется размерностью тела-точки.

Материальная точка характеризуется всего одним параметром. Поэтому размерность материальной точки равна единице A = E, B = C = 0, причем единственным параметром является масса. Размерность абсолютно твердого тела, модель которого будет рассмотрена в следующем параграфе, равна четырем: B = 0, C — центральный тензор инерции; параметрами являются масса и три главных центральных момента инерции. Размерность частиц, необходимых для построения электродинамики, заведомо больше четырех. В общем

188 Глава 5. Тела и их динамические структуры

случае, размерность частицы (5.1.4) равна 10. Следовательно, квадратичная форма (5.1.4) описывает 10! = 3628800 различных частиц. Правда, многие из них образуют классы эквивалентности и потому не различаются.

Определение: количеством движения K1 тела-точки называется линейная

Несколько более сложным понятием является понятие кинетического момента, которое в случае материальной точки сводится к понятию момента количества движения. При определении кинетического момента в рассмотрение вводится некая точка Q в системе отсчета, которая выбирается произвольно, но неподвижна относительно системы отсчета. Эту точку Q в дальнейшем будем называть опорной.

Определение: кинетическим моментом KQ2 тела-точки, вычисленным относительно опорной точки Q, зафиксированной в данной системе отсчета,

называется линейная форма скоростей, вычисляемая по формуле

= m [ (R(t) − RQ) × (v + B · ω) + v · B + C · ω] . (5.1.8)

Здесь первое слагаемое в правой части называется моментом количества движения тела-точки, а второе слагаемое, т.е. величина m (v · B + C · ω), называется собственным кинетическим моментом или, короче, динамическим спином тела-точки.

В качестве чисто иллюстративного примера этого пункта приведем пример воображаемого тела-точки, кинетическая энергия которого задается выражением

где m — масса тела-точки; J — момент инерции, q есть новый параметр, который не встречается в телах-точках, используемых в классической механике.

Иными словами, параметр q определяет некое новое свойство частицы, которое условно будем называть зарядом. Обратим внимание, что условный заряд является аксиальным скаляром, т.е. он меняет знак при смене ориентации системы отсчета. Этим примером мы хотим подчеркнуть, что новые свойства частиц нельзя вводить голословно, но они должны описываться теми или иными параметрами в динамических структурах, которые определяют тело-точку. Например, если мы хотим ввести такие свойства частицы, как “шарм”, “заряд” и т.д., то это должно быть отражено в динамических структурах частицы. Кинетическая энергия, по определению, является положительно определенной

функцией своих аргументов, что для формы (5.1.9) обеспечивается условиями

m > 0, m J − q2 > 0.

В качестве опорной точки выберем начало в теле отсчета. Тогда количество движения и кинетический момент тела-точки (5.1.9) определяются выражениями

Как видим, и эти структуры не встречаются в классической механике. Забежав вперед, рассмотрим движение этой частицы по инерции. Основная аксиома механики утверждает, что количество движения и кинетический момент изолированной частицы должны сохранять постоянные значения

где принято, что R(0) = 0, V(0) = V0, ω(0) = ω0.

Дифференцируя второе из уравнений (5.1.11) по времени и исключая из получившегося уравнения вектор Jω˙ , приходим к уравнению для определения

Решение этого уравнения находится немедленно и имеет вид

V = Q(−αte) · V0 ≡ [(1 − cos αt)e e + cos αt E + sin αt e × E] · V0, (5.1.13)

где тензор поворота Q(−αte) осуществляет поворот вектора V0 вокруг e на угол α по ходу часовой стрелки и для него справедливо уравнение Пуассона

˙ (−αt ) = − α × (−αt ).

Q e e Q e

Из выражения (5.1.13) видим, что частица движется по инерции с постоянной по модулю, но переменной по направлению трансляционной скоростью. Подставляя представление (5.1.13) в первое из уравнений (5.1.11), получаем выражение для угловой скорости

ω = Q(−αte) · ω0.

Иными словами, угловая скорость частицы также постоянна по модулю, но переменна по направлению. Нетрудно найти и траекторию частицы. Для

190 Глава 5. Тела и их динамические структуры

этого достаточно проинтегрировать уравнение (5.1.13) по времени. Можно убедиться, что движение происходит по спирали, определяемой выражением

Если начальные условия подобрать так, чтобы выполнялось равенство

a · V0 = mV02 + qω0 · V0 = 0,

то движение частицы по инерции будет происходить по окружности с центром в точке e × V0/α, как это утверждали древние и, в частности, Пифагор.

Видим, что трансляционная и угловая скорости частицы постоянны по модулю, но переменны по направлению, т.е. движение рассматриваемой частицы по инерции остается равномерным, но не прямолинейным. Если в рассматриваемом примере условный заряд положить равным нулю, т.е. α = 0, то движение, описываемое формулами (5.1.9), (5.1.13) и (5.1.14), переходит в обычное движение по инерции

R = V0 t, V = V0, ω = ω0.

В этом примере следует обратить внимание, что в инерциальной системе отсчета движение изолированной частицы (тела-точки общего вида) по инерции не обязательно является прямолинейным. Разумеется, речь идет не о классической частице. Но ведь никто не доказал, что, например, электрон является классической частицей (материальной точкой). Любопытно сравнить движение по инерции частицы с энергией (5.1.9) с движением заряженной частицы в постоянном магнитном поле. В классической физике под заряженной частицей понимают обычную материальную точку, на которую в электромагнитном поле действует сила Лоренца, определяемая выражением

F = q (E + V × B) ,

где q есть истинный заряд частицы, векторы E и B суть векторы электрического и магнитного полей соответственно.

Примем, что электрическое поле отсутствует, а магнитное поле постоянно

E = 0, B = B e = const.

Сравнивая между собой уравнения (5.1.12) и (5.1.15), видим, что они совпадают с точностью до значения параметра α. Если условный заряд, т.е. параметр q в (5.1.9), подобрать так, чтобы выполнялось равенство

mJ − q

то движение частицы (5.1.9) по инерции будет идентично движению заряженной частицы в постоянном магнитном поле. Таким образом, меняя модель первичного тела-точки можно до некоторой степени моделировать наличие внешней среды, которую нам по тем или иным причинам не хотелось бы принимать во внимание. Впрочем, полной аналогии двух рассмотренных ситуаций все-таки не существует. В качестве информации для размышления отметим следующее обстоятельство. В классической физике считается, что заряд q является абсолютным скаляром, электрическое поле E есть полярный вектор, магнитное поле B есть аксиальный вектор. Эти предположения вводятся по умолчанию и не имеют обоснований. Между тем, они совсем не очевидны. В самом деле, известны элементарные частицы называемые электроном и позитроном. Они полностью идентичны по массе и величине заряда, но их заряды имеют противоположные знаки. Заряд электрона принято считать отрицательным, а заряд позитрона — положительным. Однако принципиально ничего не может измениться, если заряд электрона считать положительным, а заряд позитрона — отрицательным. Таким образом, мы стоим перед выбором одной из двух равноправных возможностей. В математике выбор такого рода называется ориентацией, а заряд оказывается зависящим от этой ориентации. Если обсуждаемую ориентацию связать с ориентацией системы отсчета, то заряд должен быть аксиальным скаляром и характеризовать некое свойство спинорного движения. Отсюда вытекают далеко идущие следствия, которые нуждаются в тщательной разработке и пока что являются не более чем полетом фантазии. Тем не менее, вопрос о выборе знака заряда электрона не снят с рассмотрения и требует ясного ответа.

Рассмотренный пример показывает, что в классической механике таятся еще не изученные возможности. Не исключено, что именно эти возможности окажутся определяющими при изучении микромира. Заметим, кстати, что чем глубже мы погружаемся в микромир, тем важнее становится роль спинорных движений и тем незначительнее становится роль трансляционных движений.

В заключение этого пункта введем понятие многоспиновой частицы. Здесь мы не будем вдаваться в детали, а ограничимся общим представлением о многоспиновой частице. Пусть дана частица, движение которой определяется заданием ее вектора положения R(t) и набором независимых тензоров пово-