1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

Другий закон Кірхгофа виходить із закону збереження енергії для довільного контуру при переміщенні в ньому одиничного заряду і формулюється так:

у будь-якому контурі алгебраїчна сума миттєвих значень напруг на пасивних ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі миттєвих значень ЕРС.

Другий закон Кірхгофа в загальному випадку і для кола постійного струму, відповідно, можна подати у вигляді:

де m − кількість пасивних елементів; n − кількість джерел ЕРС у контурі. Знаки доданків у рівняннях, складених згідно з другим законом Кірхгофа, визначають, виходячи з довільно вибраних напрямів обходу в кожному з контурів (рис.1.15, а). Напруги і ЕРС, напрями яких збігаються з вибраним напря-

мом обходу, беруть зі знаком плюс, в іншому випадку − зі знаком мінус.

За наявності у колі індуктивностей і ємностей в рівняннях для запису напруг на цих елементах необхідно використати вирази (1.11) і (1.16).

Для схеми (рис.1.15, а) з урахуванням напрямів обходу виходять рівняння:

контур К1: R1i1 + R6i6 − C1 ∫i5dt = e1 ; контур К2: − R2i2 − R7i7 − R6i6 = e2 ;

контур К3: R7i7 + R3i3 − L didt8 =e3 ; контур К4: C1 ∫i5dt + L didt8 − R4i4 = −e4 .

Другий закон Кірхгофа застосовується також для контурів, до складу яких

(алгебраїчні в контурі)

1.9 Класифікація кіл і режимів їх роботи. Задачі теорії кіл

Кола класифікують за різними ознаками: лінійні і нелінійні; дво-, чотири- і багатополюсні; активні та пасивні; із зосередженими і розподіленими параметрами.

У лінійних колах всі елементи лінійні, тобто їх параметри не залежать від величин і напрямів струмів і напруг. За наявності у колі хоча б одного неліній-

ного елемента коло є нелінійним.

За кількістю зовнішніх затискачів (полюсів), за допомогою яких дане коло сполучено з іншими колами, розрізнюють двополюсники, чотириполюсники і багатополюсники.

Пасивне коло або складається тільки з пасивних елементів, або містить джерела енергії, котрі компенсують один одного. Активні кола містять джерела енергії, що обумовлюють напруги на розімкнених або струми в замкнених зовнішніх затискачах.

Критерієм, за яким коло відносять до кіл із зосередженими параметрами, теоретично є наявність зосереджених елементів R, L, C у вітках схеми і незмінність струму в будь-якому перерізі кожної вітки у будь-який момент часу. Практичною ознакою кіл із зосередженими параметрами є те, що довжина хвилі коливань, що використовуються, істотно перевищує геометричні розміри реального кола.

У колах з розподіленими параметрами елементи R, L, C розподілені вздовж кола. При цьому струми і напруги залежать не тільки від часу, але і від однієї з координат, наприклад х, − що характеризує відстань від джерела: i(t, x) ,

u(t, x) . У реальних кіл з розподіленими параметрами один з лінійних розмірів сумірний з довжиною хвилі.

Розрізнюють два основних режими роботи кіл − усталений (стаціонарний)

інестаціонарний (перехідний).

Вусталеному режимі струми і напруги змінюються у часі за

періодичним законом: i(t) =i(t + nT ) ; u(t) =u(t +nT ) , де Т − період. Окремим

випадком усталеного режиму є режим постійного струму, коли всі струми і напруги є постійними величинами, тобто T →∞.

У разі перехідних режимів струми і напруги є неперіодичними функціями часу. Причинами виникнення перехідних режимів є ввімкнення кола до джерел і відімкнення від них, змінювання схеми та її параметрів, дія сигналів.

Теорія кіл розглядає два види задач − аналізу і синтезу.

Задача аналізу полягає у визначенні декількох або всіх струмів і напруг заданої схеми за відомими значеннями параметрів її елементів (пасивних і активних). Для аналізу кіл використовуються загальні методи розрахунку кіл.

Задачі синтезу поділяються на два види − параметричний і структурний синтез. Параметричний синтез полягає у визначенні значень елементів відомої схеми з метою досягнення заданих характеристик або режиму роботи схеми. Структурний синтез передбачає складання схеми і визначення параметрів її елементів. Задачі структурного синтезу складніші, не завжди однозначні та й не завжди реалізовуються.

1.10 Запитання та завдання для самоперевірки

іконтролю засвоєння знань

1.У чому полягає відмінність реального та ідеального елементів електричних кіл? Які пасивні та активні елементи використовуються в теорії кіл?

2.Що таке позитивний напрям струму? Який висновок можна зробити, якщо після виконання розрахунків струм має від’ємне значення?

3.Якими приладами вимірюються величина і напрям постійного струму і напруги? Назвіть властивості ідеальних амперметра і вольтметра.

4.Чи залежить вибір позитивного напряму напруги від позитивного напряму

струму?

5. Починаючи з моменту t = 0 , через опір R = 1 Ом проходить струм

i =1−e−t А. Яка кількість енергії виділиться у вигляді тепла до моменту часу, коли струм досягне значення 0,632 А?

Відповідь: 0,168 Дж.

6.Починаючи з моменту t = 0 , через індуктивність L = 1 Гн проходить струм

i=1−e−t А. Знайти напругу на індуктивності та енергію магнітного поля в момент часу, коли струм досягне значення 0,632 А.

Відповідь: 0,37 В; 0,2 Дж.

7.Ємність С = 1 Ф, котра має електричний заряд 1 Кл, у момент t = 0 починає

розряджатися через опір R = 1 Ом. Струм змінюється згідно із законом i = e−t А. Знайти напругу на ємності та енергію електричного поля в момент часу, коли струм досягне значення 0,37 А.

Відповідь: 0,37 В; 0,068 Дж.

8. Пояснити поняття однойменних затискачів індуктивно зв'язаних котушок. 9. Дві індуктивно зв'язані котушки мають індуктивності L1 = 4 Гн і

L2 = 25 Гн; коефіцієнт зв'язку k = 0,5. Визначити взаємну індуктивність. Чому

дорівнює загальна індуктивність цих котушок при зустрічному і узгодженому увімкненні, якщо їх з'єднати послідовно?

Відповідь: 5 Гн; 19 Гн; 39 Гн.

10.Чому для двох індуктивно зв'язаних котушок не можуть одночасно виконуватися умови L1 < M і L2 < M ?

11.Зобразити вольт-амперні характеристики ідеальних джерел напруги і стру-

му. Чим відрізняються ВАХ ідеальних і реальних джерел енергії?

12.Назвати види керованих джерел напруги і струму. Який параметр є керуючим для кожного з цих джерел?

13.Пояснити основні топологічні поняття, які використовуються в теорії кіл.

14.Вважаючи в схемі (див. рис.1.15,а) С =0 і R7 →∞, скласти рівняння за

другим законом Кірхгофа для всіх контурів кола.

2 МЕТОДИ АНАЛІЗУ КІЛ

2.1 Постановка задачі та огляд основних методів аналізу кіл

Задача аналізу в загальному випадку полягає в розрахунку струмів у вітках кола, для якого задані схема і параметри елементів (пасивних і активних). При цьому кількість невідомих збігається з кількістю віток Nв. Можливі

також інші варіанти постановки задач аналізу. Наприклад, необхідно визначити параметри деяких елементів і частину струмів кола при заданих значеннях інших струмів і параметрів елементів. Як і у загальному випадку, кількість невідомих при цьому не повинна перевищувати Nв.

Аналіз кіл оснований на законах Кірхгофа і співвідношеннях між напругами і струмами в пасивних елементах. Однак безпосереднє застосування законів Кірхгофа необхідне тільки для аналізу нелінійного кола. Для аналізу лінійних кіл розроблено декілька простіших методів, доцільність застосування яких визначається постановкою задачі аналізу (необхідністю визначення всіх, частини або одного з струмів), конфігурацією схеми, особливостями практичного застосування кола та ін. Ці методи зводяться до складання і розв’язання меншого числа рівнянь, ніж це потрібно при використанні законів Кірхгофа або до матричних і топологічних розрахунків, зручних для виконання на ЕОМ.

Для будь-якого методу аналізу складність розрахунків істотно залежить від режиму роботи кола (усталений або перехідний) і вигляду функцій, якими описують миттєві значення параметрів джерел.

Найпростіше аналізувати лінійне кола з джерелами постійного струму (напруги) в усталеному режимі. При цьому всі струми і напруги є постійними дійсними величинами, а з пасивних елементів у колі залишаються тільки опори, оскільки індуктивності та ємності можна виключити (індуктивності замінити ідеальними провідниками, а ємності − розімкнути). У цьому випадку аналіз кола зводиться до розв’язання системи алгебраїчних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

Вихідні рівняння для усталених режимів у колах з іншими джерелами (наприклад, синусоїдних коливань) і для перехідних режимів є, в загальному випадку, інтегро-диференціальними. При цьому, крім класичної теорії розв’язання диференціальних рівнянь, застосовують методи алгебри комплексних чисел і операторний метод, які дозволяють звести інтегро-диференціальні рівняння для кіл з джерелами синусоїдних коливань в усталеному режимі до алгебраїчних рівнянь з комплексними числами або (для перехідних режимів) до алгебраїчних рівнянь з операторними зображеннями функцій часу.

У даному розділі розглядаються основні методи аналізу кіл (еквівалентних перетворень; рівнянь Кірхгофа; вузлових напруг; накладання; еквівалентного генератора) стосовно усталеного режиму кіл з джерелами постійного струму (напруги). Це дозволяє спростити виклад і полегшити розуміння методів і прийомів, які надалі будуть використані для аналізу уста-

леного режиму в колах з джерелами коливань синусоїдної форми, а також для аналізу перехідних процесів. Крім основних методів аналізу, в даному розділі викладено також основні теореми і принципи лінійних кіл.

2.2 Метод еквівалентних перетворень

Суть методу полягає в раціональному застосуванні деяких прийомів еквівалентних перетворень, що призводять до спрощення схеми, тобто зменшення в ній кількості віток, вузлів, контурів, і зведенні її до одноконтурної або двовузлової. Крім самостійного застосування, прийоми еквівалентних перетворень входять як складовий елемент в інші методи розрахунку. Тому метод еквівалентних перетворень розглядається першим.

Під еквівалентними розуміють такі перетворення однієї частини схеми, при яких не змінюється режим роботи (струми і напруги) в іншій частині схеми, що залишилася неперетвореною. Найпоширеніші прийоми еквівалентних перетворень в лінійних колах постійного струму, зведені до табл.2.1, розглянемо детальніше.

2.2.1 Еквівалентні перетворення при послідовному з'єднанні елементів

Послідовним називається з'єднання елементів, коли в них протікає однаковий струм. Приклад ділянки кола з послідовним з'єднанням декількох опорів і джерел ЕРС показаний на рис.2.1, а.

Рисунок 2.1 – Перетворення послідовно з’єднаних елементів

Використовуючи другий закон Кірхгофа для контуру (рис.2.1, а), до складу якого входить ділянка з послідовно сполученими елементами і напруга на його затискачах, для довільно вибраних напрямів струму I і обходу контуру можна записати рівняння

Рівняння (2.1) можна подати у вигляді

U − ReI = Ee ,

алгебраїчній сумі ЕРС джерел даної ділянки.

Отже, ділянку з послідовним з'єднанням опорів і джерел напруги можна замінити послідовним з'єднанням двох елементів − еквівалентного опору і еквівалентного джерела напруги (рис.2.1, б).

Для окремих випадків, коли відсутні або джерела, або опори, ділянку кола можна замінити відповідно опором Re або джерелом Ee .

2.2.2 Еквівалентні перетворення при паралельному з'єднанні елементів

Паралельним називається з'єднання елементів з однаковою напругою на них. Приклад ділянки кола з паралельним з'єднанням декількох опорів і джерел струму показаний на рис.2.2, а.

Якщо до вузла ділянки кола з паралельним з'єднанням n провідностей і m джерел струму застосувати перший закон Кірхгофа, виходить рівняння

джерела, що дорівнює алгебраїчній сумі струмів джерел даної ділянки.

Отже, ділянку з паралельним з'єднанням кількох елементів у загальному випадку можна замінити паралельним з'єднанням двох елементів − еквівалентної провідності та еквівалентного джерела струму (рис.2.2, б).

Дане правило справедливе для пасивної паралельної ділянки кола, в якому відсутні джерела, і паралельного з'єднання тільки одних ідеальних джерел. У першому з цих випадків ділянку кола можна замінити опором Re =1/ Ge , а у

Приклад 2.2. Розрахувати струми у вітках схеми (рис.2.3, б) для заданих значень параметрів елементів: Е = 50 В; R1 =2,6 кОм; R2 = 4 кОм; R3 = 1 кОм; R4 = 5 кОм.

Розв’язання. Враховуючи результати прикладу 2.1, виконаємо розрахунок в такому порядку:

а) розрахуємо опори ділянок кола (рис.2.3, б, в, г):

R34 = R3 + R4 =1+5 = 6 кОм; R234= R2R34 /(R2+ R34 ) = 4 6/10 = 2,4 кОм;

б) обчислимо еквівалентний опір кола відносно затискачів джерела (рис.2.3, г):

Re = R1 + R234 = 2,6 + 2,4 =5 кОм;

Ці формули відображають розподіл струмів в паралельних вітках і дозволяють спростити розрахунки.

Приклад 2.3. На рис.2.4 показана еквівалентна схема за постійним струмом міської телефонної лінії на ділянці телефонний апарат (ТА) абонента – автоматична телефонна станція (АТС). Лінія живиться від станційної батареї (джерела живлення) з

RІК =10 Ом. Якщо слухавка ТА піднята, ключ К замкнено, якщо покладена – ключ К розімкнено. Під час набирання номеру ІК замикається.