1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

Вибираємо довільно умовні позитивні напрями струмів ( I1... I5 ) у вітках схеми.

Виразимо струми I4 , I5 і I2 з рівнянь (2.16) − (2.18) через струми I1 і I3 :

I4 = I1 − Iдж ; I5 = I3 + Iдж ; I2 = −I4 − I5 = −I1 − I3

і підставимо ці вирази в рівняння (2.19) і (2.20). В результаті отримаємо систему

Перетворимо систему (2.21), підставимо до неї числові значення параметрів і знайдемо струми I1 і I3 за допомогою визначників:

де Uдж − напруга на затискачах джерела струму (рис.2.15).

Напругу Uдж знайдемо за другим законом Кірхгофа для контуру К3 , зображе-

ного на рис.2.15 пунктиром:

R5I5 −Uдж − R4I4 = 0 , звідки Uдж = R5I5 − R4I4 =5 8,5 +11 3 = 75,5 В.

Розраховуючи баланс потужностей, в ліву і праву частини рівняння (2.22) задані значення опорів підставимо в кілоомах (103 Ом), а знайдені значення струмів − у міліамперах (10−3 А). При цьому потужності, що входять до складу рівняння

(2.22), вимірюватимуться у міліватах (10−3 Вт). Розрахуємо баланс потужностей:

R1I12 + R2I22 + R3I32 + R4I42 + R5I52 =

= 4 72 +10 (−5,5)2 + 5 (−1,5)2 +11 (−3)2 + 5 8,52 =970 мВт;

E1I1− E2I2+ E3I3+UджIдж=10 7 −40 (−5,5)+50 (−1,5)+75,5 10=970мВт.

Від’ємне значення потужності джерела напруги E3 вказує на те, що це джерело не віддає, а споживає енергію.

Метод рівнянь Кірхгофа є найзагальнішим методом, що дозволяє розраховувати як лінійні, так і нелінійні кола. Недолік методу пов'язаний з необхідністю складання і розв’язання порівняно великої кількості рівнянь. Зменшити кількість рівнянь дозволяють методи контурних струмів і вузлових напруг, які грунтуються на складанні рівнянь відповідно тільки за першим або тільки за другим законом Кірхгофа. Оскільки ці методи дуальні, обмежимось розглядом одного з них.

2.4 Метод вузлових напруг

Метод вузлових напруг полягає у складанні та розв’язанні рівнянь за першим законом Кірхгофа.

У даному методі для складання рівнянь використовуються так звані вузлові напруги. Введемо поняття вузлової напруги на прикладі кола (рис.2.16). Один з вузлів вибрано як базисний вузол і позначено індексом «0» і знаком «за-

землення». Інші вузли пронумеровані цифрами 1...3. Напруги між вузлами позначені двома індексами, що повторюють номери відповідних вузлів схеми.

Напруги U10 , U20 , U30 є незалежними, оскільки вони дозволяють визна-

чити всі інші напруги відповідно до другого закону Кірхгофа:

U12 =U10 −U20 ; U23 =U20 −U30 ; U31 =U30 −U10 .

У разі вибору іншого базисного вузла незалежні напруги будуть іншими, але їх кількість для даного кола як і раніше дорівнюватиме трьом.

0

Рисунок 2.16 – Приклад для обгрунтування методу вузлових напруг

Ці незалежні напруги прийнято називати вузловими напругами. Отже,

вузлові напруги − це напруги вузлів відносно базисного вузла. Для струмів кола,

які знаходять через вузлові напруги із застосуванням закону Ома, можна скласти рівняння згідно з першим законом Кірхгофа для вузлів 1…3. Така система з трьох рівнянь з трьома невідомими вузловими напругами є системою рівнянь методу вузлових напруг.

Якщо покласти, що потенціал базисного вузла дорівнює нулю, вузлові напруги дорівнюватимуть потенціалам відповідних вузлів. Тому метод вузлових напруг іноді називають методом вузлових потенціалів.

Застосовуючи метод вузлових напруг, реальні джерела напруги необхідно перетворити у джерела струму, а замість опорів ввести їх провідності.

Один з вузлів схеми (рис.2.16) вибраний як базисний. Вузлові напруги U10 , U20 , U30 і струми I1 , I2 , I3 у вітках, увімкнених до «бази», вибрано такими, що вони спрямовані до базисного вузла. Напрями інших струмів вибрано довільними.

Застосовуючи закон Ома, можна записати струми у вітках даного кола через напруги віток:

Якщо напруги U31 , U12 , U23 виразити через вузлові напруги

U31 =U30 −U10 ; U12 =U10 −U20 ; U23 =U20 −U30

і підставити до виразу (2.24), тоді струми I4 , I5 , I6 також будуть виражені через вузлові напруги:

Рівняння за першим законом Кірхгофа для вузлів 1, 2 і 3 (відповідно до правила знаків, згідно з яким струми, спрямовані до вузла, мають знак мінус, а струми, направлені від вузла, − знак плюс) мають вигляд:

Підстановка в систему (2.26) виразів (2.23) і (2.25), які пов'язують струми віток з вузловими напругами, призводить цю систему до вигляду:

Після групування доданків з вузловими напругами в лівій частині кожного з рівнянь системи (2.27) і перенесення відомих струмів джерел до правих частин рівнянь формується стандартна система методу вузлових напруг:

Аналіз системи рівнянь (2.28) дозволяє зробити такі висновки:

−у лівій частині кожного з рівнянь системи напруга вузла, для якого складається рівняння, помножується на суму провідностей віток, увімкнених до даного вузла;

−вузлові напруги, номери яких не збігаються з номером вузла, для якого складається дане рівняння, помножуються на взяті зі знаком мінус провідності віток, увімкнених між цим та іншими вузлами;

− права частина кожного з рівнянь системи є алгебраїчною сумою струмів джерел, увімкнених до вузла, для якого складається рівняння; струми джерел, спрямованих до вузла, мають знак плюс, інакше − знак мінус.

Вказані закономірності покладено в основу понять: власна провідність вузла, взаємна провідність вузлів і вузловий струм джерел.

Власною провідністю вузла називається сума провідностей всіх віток, увімкнених до цього вузла. Власні провідності вузлів завжди додатні і позначаються подвійними індексами, що повторюють номер вузла (G11, G22 тощо).

Взаємною провідністю вузлів називається сума провідностей віток, які сполучають два незаземлених вузли. Взаємні провідності позначають подвійним індексом, складеним з номерів вузлів, для яких ця провідність є спільною (G12 = G21 ; G23 = G32 тощо). Взаємні провідності завжди від’ємні,

якщо вузлові напруги направлені до базисного вузла.

Вузловим струмом джерел називається алгебраїчна сума струмів джерел, увімкнених до даного вузла. Струми джерел, спрямовані до вузла, входять у вузлові струми джерел зі знаком плюс, а струми джерел, спрямовані від вузла, − зі знаком мінус. У позначеннях вузлових струмів джерел використовують один числовий індекс, що відповідає номеру вузла ( Iвз1 , Iвз2 тощо).

З урахуванням введених понять система рівнянь (2.28) матиме вигляд:

де G11 = G1 +G4 +G5 ; G22 = G2 +G5 +G6 ; G33=G3+G4+G6 ; G12=G21= −G5 ; G13 =G31 = −G4 ; G23 =G32 = −G6 ; Iвз1 = Iдж1 − Iдж4 ; Iвз2 = −Iдж2 ; Iвз3= Iдж4− Iдж3 .

Система (2.29) є стандартною формою запису рівнянь у методі вузлових напруг для будь-якого кола з трьома вузлами і, отже, з трьома вузловими напругами. Подібну форму запису мають системи рівнянь для кіл і з іншою кількістю вузлів. У загальному випадку для кола з N вузловими напругами система рівнянь методу вузлових напруг має вигляд:

де (Gij ) − квадратна матриця власних і взаємних провідностей вузлів або скорочено − матриця провідностей; (Ui0 ) – матриця-стовпець вузлових напруг;

(Iвзi ) – матриця-стовпець вузлових струмів джерел; i, j − відповідно номери

рядка і стовпця елементів матриць.

Матриця провідностей симетрична, оскільки Gij = G ji . На головній діагоналі цієї матриці розташовані власні провідності вузлів Gii .

Розв’язок матричної системи (2.31) відносно невідомої матриці вузлових напруг можна записати у вигляді:

де (Gij )−1 – обернена матриця провідностей.

Розв’язуючи систему (2.29) із застосуванням визначників обчислюють вузлові напруги, наприклад:

Аналізуючи коло методом вузлових напруг, виведення рівнянь можна не робити і виконувати розрахунки в такому порядку:

−еквівалентно замінити реальні джерела напруги на джерела струму;

−вибрати один з вузлів як базисний і відповідно позначити його індексом «0» (див. рис.2.16), а інші вузли пронумерувати;

−вибрати у напрямку «бази» умовні позитивні напрями вузлових напруг

іструмів у вітках, увімкнених до базисного вузла; умовні позитивні напрями інших напруг прийняти довільними;

−розрахувати власні та взаємні провідності вузлів, вузлові струми дже-

рел;

−записати і розв’язати систему рівнянь за методом вузлових напруг;

−за знайденими вузловими напругами обчислити напруги між іншими (незаземленими) вузлами схеми; ці напруги визначаються за другим законом Кірхгофа для контурів, утворених невідомою і вузловими напругами;

−згідно із законом Ома розрахувати струми у вітках.

Запис системи рівнянь не є обов'язковим. Маючи певні навички, можна безпосередньо використовувати співвідношення (2.33) або (2.32).

Якщо у колі є ідеальні джерела напруги, застосування методу вузлових напруг має особливості. У цьому випадку деякі напруги між вузлами відомі і дорівнюють заданим ЕРС ідеальних джерел. Якщо як базисний вибрано вузол, до якого увімкнено ідеальне джерело напруги, відомою стає пов'язана з ним вузлова напруга. Це скорочує кількість невідомих вузлових напруг і, відповідно, зменшує кількість необхідних рівнянь.

Отже, перевагою методу вузлових напруг є менша кількість рівнянь у порівнянні з методом рівнянь Кірхгофа, однотипність цих рівнянь і простота їх розв'язання за допомогою визначників і матриць. Застосування методу обмежується тим, що він використовується для аналізу тільки лінійних кіл.

Найбільшу перевагу має метод вузлових напруг при розрахунку кіл з двома вузлами і довільною кількістю віток. Наприклад, на рис.2.17 зображені два варіанти схем кола з двома вузлами і N невідомими струмами. За умови рівності опорів (G1 =1/ R1 , G2 =1/ R2 , ... ,GN =1/ RN ) обох кіл і при виконанні

еквівалентних схем у загальному випадку не дорівнюють один одному, і тому вони позначені різними індексами (індексом «а» − для схеми (рис.2.17, а) та індексом «б» − для схеми (рис.2.17, б).

провідність вузла 1.

Струми у розглянутих схемах можна подати через вузлову напругу:

I1б = G1U10 ; I2б = G2U10 ; ... INб = GNU10 ;

I1а =G1(U10 − E1) = I1б − Iдж1 ;

I2а =G2 (U10 − E2 ) = I2б − Iдж2 ;

…………………………………..

INа =GN (U10 − EN ) = INб − IджN .

Порівняння цих виразів показує, що I1а ≠ I1б , I2а ≠ I2б та ін.

2.5 Метод накладання

Метод накладання базується на однойменному принципі, так званому принципі суперпозиції або незалежності дії. Принцип накладання, а отже, і даний метод, справедливі тільки для лінійних кіл.

Використовуючи вирази (1.1), (1.10), (1.17), що пов'язують струми і напруги в пасивних лінійних елементах R, L, C, можна показати, що для цих елементів справедливе співвідношення

i(k1u1 ± k2u2 ±... ± knun ) = k1i(u1) ± k2i(u2 ) ±...kni(un ) ,

де kn − будь-які дійсні числа.

Для окремого випадку, коли k1 = k2 =... = kn =1, це означає, що струм в

будь-якому лінійному елементі дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які викликані в цьому елементі кожною з прикладених до нього напруг (або джерел ЕРС). У цьому полягає принцип накладання для лінійних елементів. Цей принцип справедливий також для напруги на лінійному елементі у разі паралельного увімкнення до нього декількох джерел струму.

Із справедливості принципу накладання для лінійних пасивних елементів випливає можливість його застосування для струмів і напруг будь-якого лінійного кола, що містить декілька джерел. Принцип накладання формулюєть-

ся так: струм будь-якої вітки лінійного електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі струмів, викликаних в цій вітці кожним з джерел окремо.

Аналогічно принцип накладання можна обгрунтувати для напруги на будь-якій ділянці лінійного кола.

Наприклад, режим у колі (рис.2.18), можна подати як сукупність чотирьох окремих режимів (рис.2.19). У кожній з окремих схем діє одне з джерел, а інші джерела виключені. Виключення джерела напруги означає замикання його затискачів, а виключення джерела струму − їх розмикання. Відповідно до принципу накладання струм у n-й вітці та напруга на n-му елементі розглядуваної схеми є алгебраїчними сумами відповідних струмів і напруг в окремих схемах:

In = Ina − Inб + Inв + Inг ; Un =Una −Unб +Unв +Unг .

Розв’язання задач методом накладання полягає в знаходженні і подальшому алгебраїчному підсумовуванні часткових струмів (або напруг) від кожно-

го (або від груп) з джерел. Визначаючи частковий струм від одного джерела (див., наприклад, схеми, зображені на рис.2.19), доцільно застосовувати метод еквівалентних перетворень.

Принцип накладання для лінійних кіл є окремим випадком подібного принципу для будь-яких лінійних систем (механічних, гідравлічних та ін.). У загальному випадку

принцип накладання формулюється так: дія суми причин дорівнює алгебраїчній сумі дій від кожної з цих причин, які діють окремо.

Рисунок 2.19 – Окремі схеми для визначення методом накладання струму In і напруги Un кола (рис.2.18)

Приклад 2.6. Розрахувати методом накладання струм I1 у колі (рис.2.20), якщо E1 = 20В; E2 = 30 B; Iдж =80 мА; R1 = 3кОм; R2 = 2 кОм.

двома окремими схемами (рис.2.21). У першій з цих схем (рис.2.21, а) виключимо джерело струму, а у другій (рис.2.21, б) − джерела напруги E1 і E2 . Очевидно, що

розглядати в даному прикладі три окремі схеми недоцільно, оскільки при виключенні джерела струму виходить одноконтурна схема з єдиним струмом I1a (рис.2.21, а).

Розрахуємо часткові струми I1a та I1б і визначимо шуканий струм I1 :

Від’ємне значення знайденого струму показує, що його фактичний напрям протилежний вибраному на рис.2.20.

2.6 Метод еквівалентного генератора

Метод еквівалентного генератора заснований на двох теоремах про активний двополюсник. Це − теорема про еквівалентне джерело напруги (теорема Тевенена1) і теорема про еквівалентне джерело струму (теорема Нортона2). В основу цих теорем покладено поняття двополюсника як частини електричного кола з двома затискачами (полюсами). Напруга на розімкнених затискачах дво-

полюсника називається напругою холостого ходу Uх.х .

1Тевенен, M. L. Thevenin (1857–1926) – французький телеграфний інженер. У 1883 р.

відкрив теорему про еквівалентне джерело напруги. Однак відомо (Harold Hallikainen. Thevenin's Theorem. Radio World - December 13, 1995), що вперше аналогічну теорему в 1853 р. сформулював німецький вчений Герман Гельмгольц, Herman Von Helmholtz (1821 – 1894).

2Ед. Нортон, E. L. Norton (18..− 19..) – інженер, а згодом начальник відділу телефонної лабораторії Бела (США); у 1926 р. запропонував нове формулювання теореми, замінивши джерело напруги джерелом струму.