Добавил:

darkl0rd Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

Основы теории колец

Файл:

otksp_STZI_press для диска

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.12.2019

Размер:

17.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Оскільки початкова фаза напруги на ємності ψu = ψi −π / 2 , зсув фаз між

напругою і струмом
ϕ = ψu −ψi = −π / 2 .	(3.31)

Отже, напруга на ємності відстає від струму за фазою на π/2, а у часі − на Т/4. Як і в індуктивності, коливання напруги і струму в ємності перебувають «у квадратурі». Графіки миттєвих значень напруги і струму в ємності

зображені на рис.3.16, б.

Векторна

діаграма

для ємності

має

вигляд

зсунутих

на

π/ 2

векторів

(рис.3.16, в), які відповідають комплексним амплітудам струму і напруги:

I m = Ime jψi ;

Ime j(ψi −π / 2) =Ume jψu .

ωC

Комплексні опір і провідність ємності визначаються так:

Z C

j(ψi −π / 2)

/ ωC

− j

= − j

= − jXC ;

(3.32)

I m

Ime jψi

ωC

jωC

I m

Ime jψi

= ωCe j 2

e j 2

= jωC =

jB ,

(3.33)

j(ψi −π / 2)

U m

Ime

/ ωC

де BC = ωC =1/ XC − ємнісна провідність, вимірюється в сименсах (См).

Миттєва потужність в ємності

(t) = u(t)i(t) =

I 2

sin(ωt +ψ

) cos(ωt +ψ

) =

ωC m

= X

I 2 sin 2(ωt + ψ

) = B U 2 sin 2(ωt + ψ

) .

(3.34)

Особливості зміни потужностей в ємності (рис.3.16, г) та індуктивності (рис.3.15, г) аналогічні. Тому ємність, як і індуктивність, належить до реактивних елементів. Реактивна потужність в ємності

P	= X	C	I 2 = B U 2 .	(3.35)
Q		C	C
C

Розглянуті в даному підрозділі основні співвідношення зведені до табл.3.6.

Таблиця 3.6 − Елементи R, L, C в колах синусоїдного струму

Елемент

Комплексний

jωL = jX L = ωLe j

= −

jωC

ωC

опір

jϕ

− jπ/ 2

Z = Ze

= − jX C =

ωC

Повний

X L = ωL

XC =1/ ωC

опір Z =

Аргумент Z

−

ϕ = ψu − ψi


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	121

Закінчення табл. 3.6

Елемент

Подання

X L

ϕ = 0

Z = Ze jϕ на

ϕ= π/ 2

комплексній

ϕ = −π/ 2

площині

− X C

Комплексна

= − j

= ωCe j

jωL

ωL

jωC = jB

провідність

− j π

Y =Ye

− jϕ

= − jBL =

ωL

Повнапро-

=1/ ωL

= ωC

відність Y =

Миттєва по-

pR (t)=

pL (t)=

pC (t) =

=RI

+ cos 2(ωt +ψ

)

= −X L I

sin2(ωt +ψi ) =

= X C I 2 sin 2(ωt + ψi ) =

тужність

[

]

)]

BCU

sin 2(ωt + ψi )

=GU 2 [1+ cos 2(ωt +ψ

= −B U

2sin2(ωt +ψ

)

Активна PA і

P = X

I 2 = B U 2

= X

2 = B U 2

реактивна P

потужності

Векторна

I R

ϕ = π/ 2

I C

діаграма

I L

U C

ϕ= −π/ 2

3.6Послідовне з'єднання елементів R, L, C в режимі синусоїдного струму

Розгляд послідовного з'єднання елементів R , L , C в режимі синусоїдного струму має як теоретичне, так і практичне значення. З точки зору теорії, аналіз цього кола дозволяє ввести всі види опорів, сформулювати закон Ома в комплексній формі, продемонструвати методику побудови векторних діаграм. Дане коло застосовується як одна з схем заміщення будь-якої пасивної ділянки кола, зокрема послідовного резонансного контуру (див. розд. 4).

Схема послідовного з’єднання елементів R , L , C з позначенням позитивних напрямів заданого струму i(t)= I m cos(ωt + ψi ) і шуканих напруг зобра-

жена на рис.3.17. Крім раніше розглянутих напруг на кожному з елементів, що описуються виразами (3.16), (3.20) і (3.28), на схемі вказана так звана реактивна напруга: up (t) =uL (t) +uC (t) .

122	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Напруга на затискачах кола згідно з другим законом Кірхгофа для вказа-

ного на рис.3.17 контуру
u(t) =uR (t) +uL (t) +uC (t) = uR (t) +up (t) .	(3.36)

Оскільки доданки у співвідношенні (3.36) мають однакову частоту, параметри напруги u(t) можна визначити, підсумовуючи комплексні амплітуди

відповідних миттєвих значень напруг (див. підрозд. 3.4):

U m=Ume jψu =U mR +U mL +U mC = RIme jψi + ωLIme j(ψi +π / 2)+ ω1C Ime j(ψi −π / 2). (3.37)

Якщо в (3.37) винести за дужки спільний множник Ime jψi = I m , то даний вираз прийме вигляд закону Ома в комплексній формі:

U m = Z I m ,	(3.38)
де Z=R + ωLe jπ / 2+ (1/ ωC)e− jπ / 2= Z R+ Z L+ Z C	– комплексний опір кола.

Комплексний опір Z є сумою комплексних опорів елементів R , L , C . Аналіз формули (3.38) показує, що при послідовному з'єднанні будь-якої кількості пасивних елементів їх комплексні опори підсумовуються.

Запис комплексного опору Z в алгебраїчній і показниковій формах дозволяє ввести поняття основних видів опорів в колах синусоїдного струму.

	R	L	C
uR (t)	i(t) uL (t)		uC (t)
	up (t)
	u(t)

Рисунок 3.17 – Послідовне з′єднання елементів R, L, C

Алгебраїчна форма запису комплексного опору має вигляд:
Z = R + jωL − j / ωC = R + j(ωL −1/ ωC ) = R + j(X L − XC ) = R + jX ,	(3.39)
де уявна частина комплексного опору X = ωL −1/ ωC = X L − XC	− нази-

вається реактивним опором.

Показникова форма подання комплексного опору визначається виразами:

Z =	R2 + X 2 e jarctg( X / R) =	Z	e jϕ ,	(3.40)

де Z = Z = R2 + X 2 –	повний опір; ϕ = arctg(X / R)			– аргумент ком-

плексного опору послідовного кола R , L , C .

Після підстановки всіх множників у показниковій формі закон Ома виглядатиме

U m =Ume jψu = Ze jϕIme jψi = ZIme j(ψi +ϕ) ,

(3.41)

що дозволяє знайти співвідношення для амплітуд і початкових фаз, а також перейти від комплексної амплітуди до миттєвого значення напруги u(t) :

Um = ZIm;	(3.42)
ψu = ψi + ϕ ;	(3.43)


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	123

u(t) = Re[U me jωt ]

=Um cos(ωt +ψu ) = ZIm cos(ωt +ψi +ϕ).

(3.44)

Вираз (3.42) показує, що повний опір Z за законом Ома пов'язує

амплітуди, а отже, і діючі значення напруги і струму кола.

Комплексні

опори

можна

ϕ< 0

зобразити на комплексній площині

ϕ > 0 б 0

(рис.3.18). Застосування показни-

кової форми запису (3.40) у виразі

закону Ома в комплексній формі

дозволяє визначити

комплексну

Рисунок 3.18 – Зображення комплексних

амплітуду напруги U m на затиска-

опорів послідовного кола R, L, C:

чах кола, а отже, і миттєве значення

а – X > 0, ϕ > 0; б – X < 0, ϕ <0

u(t) цієї напруги.

Після підстановки в (3.42) розгорненого виразу для повного опору можна

встановити зв'язок між значеннями напруг на ділянках кола:

Um= Im

R2 + (X L − XC )2 = (RIm )2+ ( X L Im− XC Im )2 = UmR2

+Um2p ;

(3.45)

U = I R2 + (X L − XC )2 =

UR2 + (UL −UC )2 =

UR2 +Up2

(3.46)

де

Ump = UmL −UmC = X Im ;

Up = UL −UC = X I

– амплітуда і

діюче

значення реактивної напруги відповідно.

Формули (3.45) і (3.46) показують, що амплітуди і діючі значення, а отже, і показання вимірювальних приладів (для даного кола – вольтметрів) в колах синусоїдного струму підсумовуються не арифметично, а геометрично − з урахуванням фазових співвідношень відповідних процесів.

Аргумент комплексного опору, як видно з виразу (3.43), визначає зсув фаз між напругою і струмом:

	ϕ =ψu −ψi = arctg	X L − XC		= arctg	X	(3.47)
		R			R

і, залежно від параметрів кола ( R , L , C ) і частоти, може змінюватися у межах
	−π / 2 ≤ϕ ≤π / 2 .					(3.48)
Окремі	випадки, які відповідають індуктивності					( ϕ = π/ 2 ) і ємності
( ϕ = −π/ 2 ), можливі, якщо R = 0.
Якщо	0 < ϕ< π/ 2 ( X > 0 ; X L > X C ),		то напруга за фазою випереджає
струм. Це відповідає індуктивному характеру кола.

За умови ємнісного характеру кола напруга за фазою відстає від струму. Це відповідає змінюванню аргументу комплексного опору в межах 0 > ϕ > −π/ 2

( X < 0 ; X L < X C ).

Режим, при якому коло R, L, C має активний характер ( ϕ = 0 ; X L = XC ),

зветься резонансом. Резонансний режим є основним у роботі коливальних контурів і розглядається в розд. 4.

124	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Амплітудні та фазові співвідношення для даного кола ілюструють векторні діаграми (рис.3.19).

	Im	U mC	U mL
		U mC	U mL
а		U m	U mp	I m
а			U mp	I m
		ϕ> 0
			U mR
	0			Re
	Im		U mL
			U mL
		U mC
в		U mR=U m		I m
		U mR=U m
			ψu = ψi
	0			Re

U mL	I m
б	I m
U mR
ϕ< 0	U mC
0	U mp Re

U m

Рисунок 3.19 – Векторні діаграми послідовного кола R, L, C:

а– індуктивний характер кола (X > 0; ϕ > 0);

б– ємнісний характер кола (X < 0; ϕ < 0);

в– резонанс (X = 0; ϕ = 0)

Побудову векторних діаграм слід починати із зображення комплексної амплітуди I m відомого струму. Комплексні амплітуди напруг на елементах

R, L, C є векторами, орієнтованими відносно вектора I m відповідно до

табл.3.6. Результатом підсумовування цих векторів є вектор, що відповідає комплексній амплітуді напруги U m на затискачах кола. Вектори, які

відповідають комплексним амплітудам реактивної напруги U mp =U mL +U mC ,

на рис.3.19, а, б побудовані пунктиром.

Види опорів і співвідношення для них у колах синусоїдного струму зведені до табл.3.7.

Приклад 3.5. Миттєве значення напруги на ділянці кола з параметрами R =1 кОм; L =2,73 мГн; C =1 нФ (рис.3.17) становить u(t) = 20cos(106 t + π/ 2) В.

Знайти миттєві значення струму та напруг у колі. Побудувати векторну діаграму. Розв’язання. Визначаємо комплексний опір кола:

Z= R +j(ωL−1/ ωC) =103+j(106 2,73 10−3− 6 1 −9 ) =1 + j1,73 кОм= 2e jπ / 3 кОм. 10 10

Використовуючи закон Ома, комплексну амплітуду заданої напруги U m = 20e jπ / 2 В і знайдений опір кола Z , знаходимо комплексну амплітуду струму:

I m =	U	m	=	20e jπ / 2		=10	10−3e jπ / 6	А = 10e jπ / 6 мА.

				2 103e jπ	/ 3
	Z


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	125

Розраховуємо комплексні амплітуди напруг на ділянках кола:

U mR = RI m =103 10 10−3e jπ / 6 =10e jπ / 6 В;
U mL = jωLI m = 27,3e j2π / 3 В; U mC = − jI m / ωC = − j103 10 10−3e jπ / 6=10e− jπ / 3						В;
U mp = j(ωL −1/ ωC)I m = j(2,73 −1) 103 10 10−3e jπ / 6 =17,3e j(	π	+	π	=17,3e j	2π
	2		6 )
	2		6 )		3	В.

За допомогою знайдених комплексних амплітуд побудуємо векторну діаграму (рис.3.20) і запишемо миттєві значення струму і напруг на ділянках кола:

i(t) =10cos(106 t + π/ 6) мА;

uR (t) =10cos(106 t + π/ 6) В; uL (t) = 27,3cos(106 t + 2π/ 3) В;

uC (t) =10cos(106 t −π/ 3) В; up (t) =17,3cos(106t + 2π /3) В.

Дане коло має індуктивний характер. Зсув фаз між напругою на затискачах кола і струмом дорівнює аргументу комплексного опору і становить ϕ = π/ 3.

	Im	Масштаб
	U m L	1 мА
	U mC	10 В
	U m p
	U m	I m
	ϕ	I m
	ϕ	ψi
		ψi
	0	U mR
	0	Re

Рисунок 3.20 – Векторна діаграма до прикладу 3.5

Таблиця 3.7 − Опори в колах синусоїдного струму

Опори	Позначення	Розрахункові співвідношення
Активний	R	R =U mR I mR =UmR ImR =U R I R
Індуктивний	X L	X L = ωL =UmL	ImL =U L	IL
Ємнісний	XC	X C =1 ωC =UmC	ImC =UC	IC
Реактивний	X	X = X L − XC = ωL −1 ωC ;
		X =Ump / Imp =Up / Ip

Комплексний	Z	Z = R + j(ωL −1 ωC) =R + j( X L − XC ) =
		= R + jX = Ze jϕ =U m / I m =U I

Повний	Z	Z = Z = R2 +(ωL −1 ωC )2 =
		= R2 + X 2 =Um / Im =U / I

Аргумент Z	ϕ = ψu −ψi	ϕ = arctg[(ωL −1 ωC)/ R]=
		= arctg[(X L − XC )	R]= arctg(X / R)

126	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

3.7Паралельне з’єднання елементів R , L , C в режимі синусоїдного струму

Коло в режимі синусоїдного струму, що містить паралельно сполучені елементи R , L , C , має велике теоретичне і практичне значення. Теоретичний аналіз цього кола дозволяє розглянути всі види провідностей для режиму синусоїдного струму.

Дане коло застосовується як схе-					i(t)
ма заміщення будь-якої пасивної					i(t)	iR (t)	iL (t)
ма заміщення будь-якої пасивної						iR (t)	iL (t)
ділянки кола і як одна з схем			u(t)				iC (t)
заміщення паралельного резонансного			u(t)		R	L	C
контуру (див. розд. 4). Схема пара-					R	L	C
контуру (див. розд. 4). Схема пара-
лельного з'єднання елементів R , L , C
з позначенням позитивних		напрямів
заданої напруги на	затискачах кола
u(t)=Um cos(ωt + ψu )	і	шуканих		Рисунок 3.21 – Схема паралельного
струмів показана на рис.3.21.					з′єднання елементів R, L, C
Струм кола можна визначити за першим законом Кірхгофа для будь-кого
з вузлів з урахуванням вибраних позитивних напрямів струмів у вітках:
i(t) = iR	(t) +iL	(t) +iC (t) = u(t)		+ 1	∫u(t)dt +C du(t) .		(3.49)
			R	L		dt

Доданки у виразі (3.49) мають однакову частоту. Тому параметри струму i(t) можна знайти, підсумовуючи комплексні амплітуди струмів у вітках:

		jψu		j(ψu −	π)	j(ψu +	π	)
I me jψi = I mR + I mL + I mC =	Ume			Ume	2
			+			+ωCUme	2	. (3.50)
	R			ωL

Якщо в правій частині рівняння (3.50) винести за дужки спільний множ-

ник Ume jψu , який є комплексною амплітудою напруги U m

на затискачах кола,

виходить вираз закону Ома в комплексній формі

I m =Y

(3.51)

де Y=

−jπ / 2

+ ωCe

jπ / 2

=Y R+Y L+Y C − комплексна провідність кола.

ωL

Співвідношення (3.51) показує, що комплексна провідність паралельно

з’єднаних елементів R , L , C дорівнює сумі комплексних провідностей цих

елементів.

Комплексну провідність в алгебраїчній формі записують у вигляді:

Y =

− j

+ jωC =

− j(

− ωC) =G − j(B

− B ) =G − jB, (3.52)

ωL

де B =1/ ωL −ωC = BL − BC

– реактивна провідність.


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	127

Уявна частина комплексної провідності в загальному вигляді береться зі знаком мінус у зв'язку з тим, що аргументи комплексного опору і провідності як обернених величин відрізняються знаками:

Y =

− jϕ

=Ye

− jϕ

=Y cosϕ − jY sin ϕ.

(3.53)

Ze jϕ

У показниковій формі запису комплексна провідність має вигляд:

Y =

G2 + B2 e− jarctg (B / G) =

e− jϕ ,

(3.54)

де Y =Y = G2 + B2 – повна провідність; (−ϕ) = −arctg(B / G)

– аргумент

комплексної провідності паралельного кола R , L , C .

Комплексну провідність, подібно комплексним опорам, зображують вектором на комплексній площині (рис.3.22).

Використання показникової форми запису комплексної провідності дозволяє визначити комплексну амплітуду струму кола, амплітудні та фазові співвідношення між напругою і струмом, записати миттєве значення струму:

I m = Ime jψi =Ye− jϕUme jψu =YUme j(ψu −ϕ),		(3.55)
	Im =YUm;	(3.56)
i(t) = Re[I me jωt ]	ψi = ψu − ϕ;	(3.57)
i(t) = Re[I me jωt ]	= Im cos(ωt + ψi ) =YUm cos(ωt + ψu −ϕ).	(3.58)

Im			Im		Im	BC
			0	Re		BC
		G	0	Re
		G		BL
	0	Re		BL	0	Re
Im	а		б			в
Im		Y		Im
− B		Y				G
− B	Y					G
	Y			0	(−ϕ) < 0 Re
		(−ϕ) > 0		0	(−ϕ) < 0 Re
0		G Re		− B	Y	Y
0	г	G Re		− B	д	Y
	г				д

Рисунок 3.22 – Зображення комплексних провідностей на комплексній площині:

а – G ; б –

Y L = − jBL ; в – Y C = jBC ; г –

Y якщо G ≠ 0, − B > 0 ;

−ϕ >

ϕ<

0 ; д – Y якщо G

≠

−

0 ;

(−ϕ) < 0

ϕ>

( )

Вираз (3.55) показує, що комплексна провідність Y пов'язує згідно із за-

коном Ома комплексні амплітуди (комплексні діючі значення) струму і напруги кола:

Y = I m /U m = I /U .

(3.59)

128	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

З формули (3.56) отримуємо вираз, який пов’язує за законом Ома амплітуди (діючі значення) струму і напруги кола:

Y = Im /Um = I /U .

(3.60)

Підстановка в (3.56) розгорненого виразу для повної провідності (3.54) встановлює зв'язок між струмами у вітках кола:

G2 +(B

− B

I 2 + (I

− I

)2 =

I 2

+ I 2

; (3.61)

I =U

G2 + (B

− B

)2 =

I 2 + (I

− I

I 2 + I 2 ,

(3.62)

де Imp =

ImL − ImC

, Ip =

IL − IC

– відповідно амплітуда і діюче значен-

ня реактивної складової струму.

Співвідношення (3.61) дуальні виразам (3.45) для послідовного кола R , L , C і показують, що амплітуди і діючі значення, а отже, і показання вимірювальних приладів у колах синусоїдного струму підсумовуються з урахуванням фазових співвідношень відповідних процесів.

Векторні діаграми (рис.3.23), ілюструють амплітудні та фазові співвідношення між струмами і напругами в даному колі.

Im	I mL	I mC
	I mL	I mC
	I m	I mp	U m
		I mp
	(−ϕ)> 0
		I mR
0		а	Re
		а

Рисунок 3.23 – Векторні діаграми паралельного кола R, L, C:

а – ємнісний характер кола (−B > 0;

−ϕ > 0, ϕ < 0); б – індуктивний (−B < 0; −ϕ < 0, ϕ > 0); в – резонанс (B = 0, ϕ = 0)

Im	I mC		U m
	I mR		U m
	I mR
	(−ϕ)< 0		I mL
0	I	mp	Re
0		mp

бI m

I mC

I mL

I mR=I m

U m

		ψu = ψi
0	в	Re

Аргумент комплексної провідності (− ϕ) , як видно з формул (3.55) і (3.57), визначає зсув фаз між напругою і струмом (−ϕ) = ψi −ψu і залежно від

параметрів кола ( R , L , C ) і частоти може змінюватися у межах:

−π / 2 ≤ (−ϕ) ≤π / 2 .

Окремі випадки, які відповідають ємності (−ϕ) =π / 2 та індуктивності (−ϕ) = −π / 2 , можливі, якщо G = 0 .


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	129

За умови, що 0 > (−ϕ) > −π / 2 ( B > 0 ; BL > BC ), струм за фазою відстає

від напруги, що відповідає індуктивному характеру кола. Якщо аргумент комплексної провідності змінюється в межах 0 < (−ϕ) <π / 2 ( B < 0 ; BL < BC ), коло

має ємнісний характер.

При резонансі коло, що містить елементи R, L, С, має активний характер ( ϕ = 0 ; BL = BC ).

Найменування, позначення та розрахункові формули для різних видів провідності в колах синусоїдного струму зведені до табл.3.8.

Таблиця 3.8 − Провідності в колах синусоїдного струму

Провідність	Позначення	Розрахункові формули
Активна	G	G = I mR U mR = ImR UmR = I R U R = IR UR
Індуктивна	BL	BL =1 ωL = ImL	UmL
Ємнісна	BC	BC = ωC = ImC UmC
Реактивна	B	B =BL− BC =1 ωL−ωC;	B = Imp/Ump
Комплексна	Y	Y = G − jB =Ye− jϕ = I m /U m = I U
Повна	Y	Y = Y = G 2 + B2 = Im	U m = I U
Аргумент Y	(− ϕ)	− ϕ = −arctg (B G)= ψi − ψu

Порівняння співвідношень для послідовного і паралельного кіл R, L, С показує, що паралельне коло дуальне відносно послідовного. Це означає, що всі співвідношення, отримані для одного кола, можна застосувати для іншого, як-

що замінити струм напругою, індуктивність − ємністю, провідність − опором і навпаки, тобто зробити заміну вихідних величин на дуальні.

Приклад 3.6. Миттєве значення струму в ємності кола (рис.3.21) iC (t) =10 cos(106 t + π/ 2) мА. Параметри кола: R = 1 кОм; L = 1 мГн; C = 2 нФ.

Визначити миттєві значення струмів і напруги кола. Побудувати векторну діаграму. Розв’язання. Попередньо записавши комплексну амплітуду струму

I mC =10e jπ / 2 мА = 10 10−3e jπ / 2 А

і розрахувавши комплексний опір ємності
Z C = − j	1	= − j	1	= − j0,5 103 Ом,
	ωC		106 2 10−9

визначимо за законом Ома комплексну амплітуду напруги на затискачах кола:

U m = Z C I mC = − j0,5 103 10 10−3e jπ / 2 =5 B.

Розрахуємо комплексну провідність кола і комплексні амплітуди струмів:

Y =	1	− j(	1	−ωC) =		1	− j(	1	−106 2 10−9 ) =10−3 + j10−3 См =
	R		ωL		103
							106 10−3

130	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>