1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

Якщо до складу двополюсника входять тільки лінійні елементи, то двополюсник називається лінійним. В іншому випадку двополюсник є нелінійним.

Розрізнюють пасивні й активні двополюсники. Пасивний двополюсник не містить джерел, або вони так компенсують одне одного так, що напруга холостого ходу дорівнює нулю (Uх.х = 0 ). Основним параметром пасивного двопо-

люсника є вхідний опір Rвх , яким можна еквівалентно замінити пасивний двополюсник (рис.2.22).

Виключення активних елементів полягає в замиканні ідеальних джерел напруги і розмиканні ідеальних джерел струму.

Позначення активного двополюсника і значення його параметрів (напруги холостого ходу і вхідного опору) показані на рис.2.23.

Теорема про еквівалентне джерело напруги (теорема Тевенена):

лінійний активний двополюсник можна замінити реальним джерелом напруги, ЕРС Е якого дорівнює напрузі холостого ходу Uх.х , а внутрішній опір Ri

дорівнює вхідному опору Rвх даного активного двополюсника.

Еквівалентність такої заміни означає, що струм в однакових опорах навантаження даного активного двополюсника і струм відповідного реального джерела напруги дорівнюють один одному (рис.2.24), тобто

Для доказу теореми про еквівалентне джерело напруги послідовно з вихідними затискачами активного двополюсника вмикається додаткове ідеальне джерело напруги E =Uх.х так, щоб у пасивному двополюснику (по-

значений на рис.2.25, а пунктиром), який отримано внаслідок цього, напруга на вихідних затискачах і струм у навантаженні дорівнювали б нулю:

Uнр = 0 ; Iнр = 0 .

що відповідає виразу (2.34) і означає еквівалентність режиму в навантаженні для схем, показаних на рис.2.24 і 2.26.

Рисунок 2.26 – До пояснення теореми про еквівалентне джерело струму

Теорему про еквівалентне джерело струму можна розглядати як наслідок теореми про еквівалентне джерело напруги, якщо зробити заміну реального джерела напруги, еквівалентного даному активному двополюснику відповідно до теореми Тевенена (див. рис.2.24), на джерело струму.

Метод еквівалентного генератора широко застосовують для розв’язання теоретичних і прикладних задач. В основу методу покладено визначення основних параметрів активного двополюсника – E =Uх.х ( Iдж = Iк.з) і Rвх .

Розв’язуючи задачі, параметри активного двополюсника Uх.х (або Iк.з ) і Rвх визначають розрахунковим шляхом.

Щоб знайти напругу холостого ходу Uх.х , рекомендується використову-

вати другий закон Кірхгофа для контуру, до складу якого входить ця напруга. Струми, а потім і напруги на елементах віток, що входять у вибраний контур, визначаються при Rн →∞.

Щоб розрахувати струм короткого замикання Iк.з , доцільно, замкнувши Rн = 0 , знаходити струм у перемичці за першим законом Кірхгофа для одного з вузлів, до якого увімкнено опір Rн = 0 . Струми інших віток, які сполучено у цьому вузлі, заздалегідь визначаються за спрощеною схемою ( Rн = 0 ).

Для визначення вхідного опору у двополюснику виключаються всі джерела енергії і розраховується вхідний опір отриманого пасивного двополюсника. Виключення джерел полягає в тому, що затискачі ідеальних джерел напруги замикаються, а ідеальних джерел струму розмикаються; у реальних джерел залишаються їх внутрішні опори. Для розрахунку Rвх доцільно застосовувати

прийоми еквівалентних перетворень (див. табл. 2.1).

Приклад 2.7. Розрахувати методом еквівалентного генератора струм I1 у колі (рис.2.27), якщо E1 = 20В; E2 =30 B; Iдж =80 мА; R1 = 3кОм; R2 = 2 кОм.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі опір R1 є навантаженням, а інша частина

схеми, окреслена на рис.2.27 пунктиром, − активним двополюсником.

Щоб визначити Rвх , виключаємо джерела і в отриманому пасивному двополюснику (рис.2.28, а) знаходимо: Rвх = R2 = 2кОм.

Для розрахунку Uх.х складемо рівняння за другим законом Кірхгофа для виб-

раного на рис.2.28, б контуру: Uх.х + IджR2 = E1 + E2 , звідки

Uх.х = −IджR2 + E1 + E2 = −80 10−3 2 103 + 30 + 20 = −110 В.

За знайденими значеннями Uх.х і Rвх визначимо шуканий струм:

I1 =Uх.х /(R1 + Rвх) = −110/5 103 = −22 10−3 А= −22 мА.

Отриманий результат збігається з результатом розрахунку струму I1 , здобутого методом накладання у прикладі 2.6.

Приклад 2.8. Методом еквівалентного генератора визначити в загальному вигляді струм I5 у колі (рис.2.29, а).

Розв’язання. Виключаючи джерело ЕРС, отримуємо схеми (рис.2.30) для визначення вхідного опору даного активного двополюсника.

Щоб розрахувати Rвх , використовуємо прийоми еквівалентних перетворень опорів. Враховуючи, що пари опорів R1 , R2 і R3 , R4 з’єднані паралельно, а

еквівалентні опори цих пар − послідовно, отримуємо:

Rвх = R1R2 /(R1 + R2 ) + R3R4 /(R3 + R4 ).

Складаємо схему для визначення напруги холостого ходу (рис.2.29, б), де вибираємо напрям напруги холостого ходу, який збігається з вказаним на рис.2.29,а напрямом струму I5 , і контур, до складу якого входить Uх.х . Визначаємо необхідні

моста», а вітки з опором R5 і джерелом Е − «діагоналі моста». Характерним для мостової схеми є режим баланса «моста», за яким I5 = 0 . Виходячи з рівності

нулю чисельника у виразі (2.35), балансу «моста» відповідає рівність добутків опорів протилежних «плечей моста»:

Режим балансу «моста» використовується для визначення невідомого опору R1, якщо відомі опори R2 , R3 , R4 , за якими досягається баланс «моста»:

R1 = R2R4 / R3.

Застосувати баланс «моста» для вимірювання опорів вперше запропонував Уітстон3. Подібний принцип використовується в режимі синусоїдного струму для вимірювання параметрів індуктивних котушок і конденсаторів.

2.7 Енергетичні співвідношення в колах постійного струму

Енергетичні співвідношення в колах постійного струму в загальному вигляді описуються рівнянням балансу потужностей (2.15). Найбільше практичне значення має задача аналізу енергетичних співвідношень для одного з опорів кола (наприклад, n-го опору Rn ) за умови зміни його величини в таких випад-

ках:

1)потужність в опорі Pn = Rn In2 досягає максимальної величини,

2)коефіцієнт корисної дії η, який є відношенням потужності Pn до су-

марної потужності джерел кола, досягає заданого значення.

Безпосереднє застосування рівняння балансу потужностей (2.15) для розв’язання поставлених вище задач призводить до громіздких розрахунків, пов'язаних з аналізом потужності Pn і ККД η у рівняннях:

де N R , N E , N I − відповідно кількість опорів, джерел напруги і струму.

Для розв’язання таких задач доцільніше використовувати метод еквівалентного генератора, вважаючи опір Rn навантаженням ( Rн = Rn ), а іншу

частину схеми − активним двополюсником (рис.2.31, а). Заміна активного двополюсника еквівалентним джерелом напруги (струму) дозволяє виразити потужність у навантаженні через основні параметри активного двополюсника:

− для схеми з еквівалентним джерелом напруги (рис.2.31, б)

3 Уітстон Чарлз, Wheatstone (1802–1875) – англійський фізик, член Лондонського королівського товариства. Займався дослідженнями у галузі акустики та електрики. Розробив і запатентував один з перших телеграфних апаратів. Сконструював ряд приладів, у тому числі так званий «місток Уітстона».

Потужність у навантаженні для схем з еквівалентними джерелами може бути розрахована також на основі рівнянь балансу потужностей. Для схеми (рис.2.31, б) рівняння балансу потужностей має вигляд:

Співвідношення (2.39), (2.40), (2.42), (2.44) еквівалентні з точки зору аналізу потужності Pн . Вибір того або іншого співвідношення визначається по-

становкою задачі. Однак рівняння балансу потужностей (2.41) і (2.43) кількісно відрізняються, якщо Rн ≠ Rвх . Це пояснюється тим, що при перетворенні дже-

рел еквівалентними є тільки режими у навантаженні.

У схемах (рис.2.31) струм, напруга і потужність в опорі навантаження під час змінювання Rн змінюються однаково. Оскільки для граничних значень

опору навантаження ( Rн = 0 і Rн →∞) потужності в навантаженні дорівнюють нулю ( Pн = 0), то при деякому значенні опору навантаження потужність в ньо-

му буде максимальною. Режим, при якому досягається передача максимальної потужності від активного двополюсника у навантаження, називається режимом узгодження навантаження з джерелом, а опір (провідність) навантаження, що забезпечує цей режим, позначається відповідним індексом Rн.узг (Gн.узг ).

Рисунок 2.31 – Застосування методу еквівалентного генератора для аналізу енергетичних співвідношень у навантаженні

Щоб визначити Rн.узг або Gн.узг , необхідно дослідити на екстремум функції Pн(Rн) або Pн(Gн) , які описуються відповідно виразами (2.39) і (2.40).

Оскільки функції Pн(Rн) і Pн(Gн) є дуальними, можна обмежитися

Отже, для передачі максимальної потужності від активного двополюсника до навантаження необхідно, щоб опір (провідність) навантаження дорівнював вхідному опору (провідності) активного двополюсника.

Підстановка у вирази (2.39) і (2.40) відповідно Rн.узг = Rвх і Gн.узг =Gвх

дає співвідношення для максимальної потужності в навантаженні:

Pнmax =Uх2.х / 4Rвх = Iк2.з / 4Gвх .

У режимі узгодження навантаження з джерелом ηU = ηI = 0,5, тобто ККД

становить 50 %. Режим узгодження широко застосовується у так званих малострумових пристроях, для яких величина ККД не має великого значення. Для енергетичних пристроїв, навпаки, ККД має вирішальне значення.

Загалом, якщо Rн ≠ Rн. узг , для розглядуваних еквівалентних схем значен-

ня ККД відрізняються. Такий висновок виходить з аналізу формули для обчислення ККД схеми (рис.2.31, б) − ηE і ККД схеми (рис.2.31, в) − ηIдж :

або ηIдж ) від провідності та струму навантаження ( Gн , Iн ) для еквівалентних

схем з джерелом напруги і з джерелом струму зображені відповідно на рис.2.32 і 2.33. Для зручності побудови графіків для струму Iн вибраний рівномірний

масштаб, а для провідності Gн − логарифмічний.

З аналізу графіків видно, що ηE =ηIдж тільки за умови (2.45), а для інших

режимів ККД даних схем не однакові. Так, в режимі холостого ходу ηE =1, а ηIдж = 0. В режимі короткого замикання, навпаки: ηE = 0, а ηIдж =1.

Приклад 2.9. Для кола, розглянутого в прикладі 2.7, розрахувати енергетичні співвідношення (потужності та ККД) у навантаженні R1 методом еквівалентного ге-

нератора напруги і струму. Визначити опір R1 , коли в ньому буде виділятися макси-

мальна потужність, і розрахувати цю потужність.

Розв’язання. У прикладі 2.7 визначено струм у навантаженні R1 і параметри еквівалентного джерела напруги: I1 = 22мА; Uх.х =110 В; Rвх = 2 кОм.

Виходячи з цих даних, розрахуємо параметри еквівалентного джерела струму:

Для еквівалентного джерела напруги розрахуємо потужність джерела, а також потужності в навантаженні та внутрішньому опорі джерела:

PE =Uх.хI1 =110 22 10−3 = 2,42 Вт; Р1 = R1I12 =3 (22 10−3)2 =1,452Вт;

РRвх = RвхI12 = 2 (22 10−3)2 = 0,968 Вт.

Р ηE , %

Uх.хIк.з 100

ηE

PE

Рисунок 2.32 – Енергетичні співвідношення для кола з еквівалентним джерелом напруги

Перевіримо виконання умови балансу потужностей і розрахуємо ККД:

Р ηIдж , %

Uх.хIк.з 100

ηIдж

0,5Uх.хIк.з 50

Рн

0,25Uх.хIк.з

2.8 Принцип взаємності

Принцип взаємності (зворотності) встановлює зв'язок між режимами (струмом або напругою) двох ділянок кола при перенесенні з першої ділянки до другої єдиного для цього кола ідеального джерела (напруги або струму). При цьому можливі два варіанти: