1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

Im

пруг і ЕРС. Дійсною частиною комплексних гармонік є миттєві значення в косинусоїдній формі запису, а уявною − миттєві значення, записані в синусоїдній формі. Комплексні гармоніки у виразах (3.7) − (3.9) мають однакову частоту, що відповідає усталеному режиму кола з синусоїдними джерелами однакової частоти.

На рис.3.9, а на комплексній площині показана комплексна гармоніка з тими ж параметрами, що і струм, миттєві значення якого зображені на рис.3.7 у

~

вигляді проекцій вектора i (t) , що обертається.

Комплексні миттєві значення в показниковій формі можна записати як добуток трьох співмножників:

Перші співмножники у виразах (3.10) є амплітудами гармонік, другі − визначаються початковими фазами гармонік. Третій співмножник

e jωt = cosωt + j sin ωt ,

однаковий в кожному з виразів (3.10), визначає швидкість обертання векторів і називається оператором обертання.

У момент часу t = 0 вирази (3.10) перетворюються в комплексні величини, які мають важливе значення в методах аналізу кіл синусоїдного струму і на-

зиваються комплексними амплітудами:

tРисунок 3.9 – Подання синусоїдного струму

вкомплексній формі

Комплексна амплітуда синусоїдного струму, напруги або ЕРС ( I m , U m ,

Em ) − це комплексне число, модуль якого дорівнює амплітуді ( Im , Um , Em ), а аргумент − початковій фазі ( ψi , ψu , ψe ) відповідно струму, напруги або ЕРС.

На комплексній площині комплексні амплітуди є нерухомими векторами

(рис.3.9, б).

Поряд з комплексними амплітудами застосовують комплексні діючі значення ( I, U , E ), які відрізняються від комплексних амплітуд тільки модулями.

Подання гармонічних процесів однакової частоти в комплексному вигляді дозволяє спростити їх алгебраїчне підсумовування. Для цього використовують властивість комутативності векторів. Наприклад, алгебраїчне підсумовування трьох гармонічних напруг виконуватиметься так:

u(t) =u1(t) −u2 (t) +u3(t) =

=Um1 cos(ωt +ψu1) −Um2 cos(ωt +ψu2 ) +Um3 cos(ωt +ψu3) =

=Re U m1e jωt −Re U m2e jωt + Re U m3e jωt = Re U m1e jωt −U m2e jωt +U m3e jωt =

=Re (U m1 −U m2 +U m3 )e jωt = Re U me jωt = Re Ume j(ωt +ψu ) =Um cos(ωt +ψu ),

де U m =Ume jψu =U m1 −U m2 +U m3 − комплексна амплітуда

результуючої напруги.

Отже, щоб алгебраїчно підсумовувати миттєві значення синусоїдних струмів (напруг або ЕРС), достатньо провести алгебраїчне підсумовування комплексних амплітуд цих струмів (напруг або ЕРС) і від здобутої комплексної амплітуди перейти до миттєвого значення.

На рис.3.10, а показані вектори, які відповідають комплексним амплітудам трьох напруг, що підсумовуються у наведеному вище прикладі, і результат алгебраїчного підсумовування комплексних амплітуд (рис.3.10, б). Результуючий вектор U m (рис.3.10, б) замикає ламану лінію, утворену векто-

рами, що алгебраїчно підсумовуються при їх паралельному перенесенні.

Сукупність векторів, які відповідають комплексним амплітудам (комплексним діючим значенням) синусоїдних струмів, напруг або ЕРС і алгебраїчно підсумовуються за законами Кірхгофа, називається векторною діаграмою.

На основі комплексних амплітуд синусоїдних струмів і напруг вводиться поняття комплексного опору і комплексної провідності.

Комплексний опір − це відношення комплексних амплітуд (або комплекс-

У показниковій формі комплексний опір має вигляд:

Z = Ze jϕ ,

де Z =Um / Im =U / I − модуль комплексного опору – повний опір; ϕ = ϕu −ϕi − аргумент комплексного опору.

Величина, обернена комплексному опору, називається комплексною провідністю

Основні поняття, пов'язані з комплексним поданням синусоїдних струмів, напруг і ЕРС, зведені до табл.3.5.

Таблиця 3.5 − Комплексне подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС

Особливості застосування комплексного подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС ілюструють приклади 3.1 − 3.4.

Приклад 3.1. Записати комплексне миттєве значення, комплексну амплітуду і комплексне діюче значення напруги: u(t) = 5cos(109 t −3π/ 4) В.

Розв’язання. Використовуючи визначення, запишемо комплексне миттєве значення, комплексну амплітуду і комплексне діюче значення даної напруги у вигляді:

дувати графік (часову діаграму) миттєвого значення струму.

Розв’язання. Визначимо комплексну амплітуду та перейдемо від алгебраїчної форми до показникової:

I m=(−4 + j4) 2 = 4 2(−1+ j1) = 4 2 (−1)2 +12 e j[arctg(−1)+π]=8e j3π / 4 мА.

Комплексне число, що відповідає комплексній амплітуді струму, лежить у другій чверті. Тому, визначаючи аргумент комплексної амплітуди ψi (див. табл.3.3),

до головного значення arctg(−1) = −π/ 4 додаємо π.

Перейдемо від комплексної амплітуди до миттєвого значення:

i(t) = Re[I me j(2πft) ]= Re 8e j(3π/ 4) e j(2π5 107 t) = 8cos(π108 t +3π/ 4) мА.

На графіку i(t) (рис.3.11) по осі ординат відкладемо струм у міліамперах, по

осі абсцис − дві змінні: час в наносекундах (1нс = 10−9 с) і фазу в радіанах. Період коливань і зсув максимуму струму відносно початку координат у часі становлять:

Рисунок 3.11 – Часова діаграма струму i(t) у прикладі 3.2

Приклад 3.3. Для вузла кола (рис.3.12, а) вибрані напрями трьох струмів у вітках і задані миттєві значення двох з них:

i1(t) = 2cos(2π106 t −π/ 2) мА; i2 (t) =1,41cos(2π106 t +3π/ 4) мА.

Визначити струм i3 (t) , побудувати векторну діаграму струмів для вузла. Розв’язання. Визначимо шуканий струм з рівняння за першим законом Кірх-

I m3 згідно з першим законом Кірхгофа.

Приклад 3.4. На деякій пасивній ділянці кола комплексні амплітуди напруги і струму становлять: U m = −4 В; I m = −1 + j 3 мА. Знайти комплексний опір і ком-

плексну провідність даної ділянки.

Розв’язання. Подамо задані комплексні величини в показниковій формі і застосуємо співвідношення (3.13) і (3.14): U m = −4 = 4e jπ B;

3.5 Елементи R, L, C в колах синусоїдного струму

Елемент R в колах синусоїдного струму називається активним опором. Введення цього терміну викликане необхідністю розрізнювати цей елемент і введені вище комплексний опір (3.13) і повний опір, а також розглянуті нижче декілька видів опорів для даного режиму кіл. Термін активний опір підкреслює

Збільшення опору резистора з підвищенням частоти пояснюється поверхневим ефектом і випромінюванням.

Нехай через лінійний ідеальний активний опір R проходить синусоїдний

З виразу (3.16) виходить, що амплітуда напруги на активному опорі Um пов'язана за законом Ома з амплітудою струму Im : Um = RIm , а початкові фази напруги і струму збігаються: ψu = ψi . Отже, миттєві значення напруги і струму

в активному опорі є коливаннями, які перебувають у фазі (рис.3.14, б).

Від співвідношень (3.15) і (3.16), що описують миттєві значення струму і напруги в активному опорі, можна перейти до комплексних амплітуд:

I m = Ime jψi ; U m = RIme jψi =Ume jψu .

Отримані комплексні амплітуди дозволяють побудувати векторну діаграму у вигляді двох однаково спрямованих векторів (рис.3.14, в) і визначити комплексні опір і провідність:

де I , U − відповідно діючі значення струму і напруги.

індуктивності перебувають «у квадратурі». Графіки миттєвих значень напруги і струму в індуктивності показані на рис.3.15, б.

На відміну від активного опору, в якому миттєва потужність завжди позитивна, в індуктивності миттєва потужність є знакозмінною (рис.3.15, г). В інтервалах часу, коли pL (t) > 0, індуктивність накопичує енергію, а коли

pL (t) < 0 , - віддає енергію. Середнє за період значення миттєвої потужності в індуктивності дорівнює нулю. Ця принципова відмінність характеру зміни по-

тужностей в індуктивності й активному опорі обумовила появу терміну реактивний елемент. До реактивних елементів належать індуктивність і ємність.

Кількісною характеристикою миттєвої потужності реактивного елемента є її максимальне значення, яке називається реактивною потужністю і вимірюється у варах (ВАр). В індуктивності реактивна потужність